中值定理的证明题.docx

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中值定理的证明题

第五讲中值定理的证明技巧

一、考试要求

1、理解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,有界性定理,介值定理),并会应用这些性质。

2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理),了解并会用柯西中值定理。

掌握这三个定理的简单应用(经济)。

3、了解定积分中值定理。

二、内容提要

1、介值定理(根的存在性定理)

(1)介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.

(2)零点定理

设f(x)在[a、b]连续,且f(a)f(b)<0,则至少存在一点,ce(a、

b),使得f(c)=0

2、罗尔定理若函数/(兀)满足:

(1)加在嗣上连续

(2)几力)在@上)内可导

(3)f(a)=f(b)

则一定存在弘(。

劝使得m=o

3、拉格朗日中值定理若函数于(力满足:

(1)/⑴在[。

,切上连续

(2)/(X)在仗上)内可导

则一定存在§E,使得f(b)-f(a)=a)

4、柯西中值定理若函数/(x),g(x)满足:

(1)在[“]上连续

(2)在(°上)内可导

(3)g©)H°

则至少有一点歹w(Q,b)使得g(b)-gS)g'(§)

5、泰勒公式

如果函数/(X)在含有兀的某个开区间内具有直到n+1阶导数,则当兀在(G上)内时,/(X)可以表示为兀-九的一个〃次多项式与一个余项KO)之和,即

/3)=/(兀)+广(兀)3-兀)+寺厂(Xo)(X-X°),+…+十严(兀。

)0-兀)”+恥)

恥)=:

偌箸(x-xo)"+i

其中S+1)!

&介于X。

与兀之间).

在需要用到泰勒公式时,必须要搞清楚三点:

1.展开的基点;

2.展开的阶数;

3.余项的形式.

其中余项的形式,一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式,在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式.

而基点和阶数,要根据具体的问题来确定.

6、积分中值定理

若f(x)在[a、b]上连续,则至少存在一点cC[a、b],使得「f(x)dx二f(c)(b~a)

Ja

三、典型题型与例题

题型一、与连续函数相关的问题(证明存在回使/(G=0或方程f(x)=0有根)方法:

大多用介值定理f(x)满足:

在[a,b]上连续;f(a)f(b)<0.

思路:

1)直接法

2)间接法或辅助函数法

例]、设/(X)在[a,b]上连续,a0(i=1,2,--,n),证明存在^E[a,b],使得

广(訂=仃/(“)+3(七)++“m”)

5+6+…+c“

例2、设b>a>Q,f(x)在[a,b]上连续、单调递增,且/(x)>0,证明存在使得a2f(b)+b2f(a)=2鬥(§)

例3、设/(X)在[a,b]上连续且/(x)>0,证明存在g(a,b)使得

例4、设/(x),g(x)在[a,b]上连续,证明存在^e(a,b)使得g@)打⑴dx=/@)J;g⑴dx

例5、设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)

2x-^f(t)dt=l在(0,1)内有且仅有一个实根。

例6、设实数",…厲满足关系式仆分…+(-旷語=0,证明方程qcosx+込cos3x+…+°”cos(2n-l)x=0,在(0,兰)内至少有一实根。

例7、(0234,6分)

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点^e[a,b]使得

『f(x)g(x)dx=f^)\bg(x)dx

题型二、验证满足某中值定理

3-x2

x<1

例8、验证函数={2,在[0,2]上满足拉格朗日中值定理,并

丄,x>l

lx

求满足定理的§

题型三、证明存在囲,使匡⑥…)

方法:

思路:

例9、设/(X)在[a,b]上可导且f;(a)f:

(b)<0f证明至少存在一个

使得广(§)=0

例10、设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且

/(0)+/

(1)+/

(2)=3,/(3)=1,证明存在一个ge(0,3)使得广⑷=0

例11、设/(力在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数且

lim丿竺=0,2匸f(x)dx=f

(2)f证明存在兵(0,2)使得厂(§)=0r_J.cosnx

题型四、证明存在囤使厂(劭刁方法:

思路:

(1)用罗尔定理

1)原函数法:

步骤:

例12、设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g'(x)H0(xw(d,b)),求证存在§w(a,b)使得=厶字

g(§)—g(b)g(§)

例13、

(0134)设仏)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且

1

/(I)=kxel~xf(x)dx,k>1

证明:

在(0,1)内至少存在一点,使广@)=(1-刖)几歹).

例14、

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且

f(a)f(b)>0,f(a)•/(—y—)<0,g(x)在[a,b]上连续,试证对使得T@)=g(少©••

例15、设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内一阶可导,且

£f(x)dx=0,[xf(x)dx=0.

试证:

3^g(0,1),使得广(§)=(1+劝©.

[证]令F(x)=[Xf(t)dt,贝ijF(0)=F(l)=0.又

Jo

fxf{x)dx=J1xdF(x)=xF(x)1-fF(x)dx=一fF(x)dx=0=>3c,F(c)=0.于是3<1g(0,c),^g(c,1),使F©)=F©)=0,即他)=悠)=0.设仪x)=丄e-xf(x),贝IJ畑=0©)=0n北w©,$)u(0,1),使得

x'

0©=0,即广@)=(1+K§).

2)常微分方程法:

适用:

步骤:

例16、设/"(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,Kf(a)=f(b)=A,证明存在ggb)使得+=A

例17、设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(l)=l,

证明:

对任意实数入必存在gw(0,1),使得|厂©-2[/(勺一幻=1

(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、

例19、

设八兀)在仪上]上连续,在仗上)内可导,求证存在花(“),使得

设八兀)在仪上]上连续,在仗上)内可导,求证存在花(“),使得

例20、设f(x)在[“上]上连续,在(a,b)内可导(Ovavb),求证存在gw(a,b)使得f(b)-f(a)=^hi-fr^)

a

例21、设f(x)在[«,/>]±连续,在(a,b)内可导(0

b-a3了

 

例22、

设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(l)=0,试证至少存在一个

兵(0,1)|,使广,(◎=半学

例23、(012,8分)设念)在[-a,a](a>0)±具有二阶连续导数,f(0)=0

(1)写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。

(2)证明在[-a,a]±至少存在一个〃使得

川厂(")=3匸/(x)dx

例24、设f(x)在[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(-l)=O,f(l)=l,f(0)=0,证明:

在(-1,1)内存在一点,使得|厂"©=3.

例25、设f(x)在[―a,a]上具有三阶连续导数,且满足f\x)=x2+[,JO

f(0)=0,证明:

在[-a,a]内存在一点,使得a7w(^)=12£|/(x)|dx.

[证]由/'(X)=+£tf(x-0^=+£~u)f(u)du

=x2+x£f(ii)du-£uf(ii)du,

知广(0)=0,f\x)=2x+\xf(t)dt,f\Q)=o.

JO

根据泰勒公式,有

=/(o)+『⑼x+1/w2+為伽‘=:

m疋

2!

3!

o

其中〃介于o与X之间,卜巳—

于是詈*[”(x)|dx=(卿朴<答’

其中M、m为|O|(由题设可推知厂⑴|在[-a,a]上连续)在[-a,a]上的最大值、最小值.进一步有m<\f(x)\dx

故存在^e[-a9a],使得厂(歹)=,即a4fm^)=12^\f(x)\dx.

题型六、双介值问题|尸@,〃,)=0方法:

例26、设/(X)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,Ovavb,求证存在使得W)普切)

例27、(051,12分)己知函数/(兀)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且

/(0)=0,/

(1)=1证明:

(1)存在兵(0,1),使得y«)=i-4:

(2)存在两个不同的点“,gw(O,l)使得/'(〃)广(§)=1

题型七、综合题

例28、(011,7分)

设函数几初在(-1,1)内具有二阶连续导数,且厂(兀)工0,试证

(1)对于(-1,1)内的任意心0,存在唯一的&⑴g(0,1)使得

f(x)=/(0)+xf\0(x)x)成立

(2)liin&(x)=—

、to2

例29、试证明若/(x)在[a,b]上存在二阶导数,且广@)=广@)=0,则存在ge(“)使得|厂(钊>

例30、设e

在(a,b)内存在唯一的点§,使得

ae~aIna

be~bInb=0

 

Ina

ln/?

F(a)=F(b)=0=>F'©=0

为证唯一性,再证F"(x)>0

be~a—ae~b

F'\x)=e~x[blna-alnb]+;

InX

令/U)=—=>广⑴e)=>/(67)>fib)X

g(x)=xex=>g©)>0ng(b)>g(a)

F,f(x)>0,=>Ff(x)T=>唯一性.

题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题

1)反证法

例30、设f(x)在[-2,2]上连续,在(-2,2)内二阶连续可导,且|/(x)|1,.求证存在g*22),使厂'©=0

[证]反证若对Vxe(-2,2),f,r(x)不变号

1)厂(x)>0,f⑵二f(0)+厂(0)2+土厂©).2‘,.w(02)

=>扌(/

(2)-/(0))=广(0)+厂(勺)>1,与左端小于等于1矛盾.

2)厂⑴vO,f(-2)二f(0)-广(0)2+*厂(冬)・2訂臭g(-2,0)

-*[/(-2)-/(0)]=广(0)-厂©),同理矛盾

=>广'(x)变号,从而结论成立.

2)隐含问题

例31、(2000年)设f(x)在[0,1]上连续,£/(x)Jx=0,g(x)在[0,1]上有连续的导数且在(0,1)内g'(x)H0,并且[f(x)g(x)dx=O.证明:

至少存在两个不同的点缶"0,1),使/©)=*)=0.

[证]F(x)=ff(t)dt=>F(0)=F(l)=0

Jo

又£f(x)g(x)dx=£g(x)dF(x)=g(x)F(x):

一£F(x)g\x)dx

=-£F(x)g'G)dx=0=>毋w(0,1),F©g©=0

aF(0)=F(g)=F(l)=0二>结论.

(注:

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