函数的单调性和奇偶性同步练习 菁优网.docx
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函数的单调性和奇偶性同步练习菁优网
函数的单调性和奇偶性同步练习
一、填空题（共9小题，每小题5分，满分45分）
1．（5分）设f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序是 _________ ．
2．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么它在[﹣7，﹣3]上的 _________ （填“增”或“减”）函数，最 _________ （填“大”或“小”）值为 _________ ．
3．（5分）判断函数
的奇偶性为：
_________ ．
5．（5分）已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f（a﹣2）＜f（4﹣a2），求a的取值范围 _________ ．
6．（5分）若f（x）是偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则f（x﹣1）＜0的解集是 _________ ．
7．（5分）若f（x）是奇函数，且在区间（﹣∞，0）上是单调增函数，又f
（2）=0，则xf（x）＜0的解集为 _________ ．
8．（5分）已知奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，则实数a的取值范围是 _________ ﹒
9．（5分）已知函数y=f（x），当x＞1时，函数单调递减，又f（x）=f（2﹣x），试比较f（0），f（﹣2），f（π）的大小顺序 _________ ．
二、解答题（共2小题，满分0分）
10．设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f
（1）=﹣1
（1）求证：
f（x）是奇函数
（2）判断f（x）的单调性并证明
（3）试问当﹣3≤x≤3时f（x）是否有最值？
如果有，求出最值；如果没有说出理由
11．f（x）为奇函数且在R上单调递减，则g（x）=[f（x）]的单调性 _________ ，奇偶性 _________ ．
函数的单调性和奇偶性同步练习
参考答案与试题解析
一、填空题（共9小题，每小题5分，满分45分）
1．（5分）设f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序是 f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π） ．
考点：
函数奇偶性的性质．菁优网版权所有
专题：
证明题；数形结合；数形结合法．
分析：
由题设条件，f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，知f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，此类函数的特征是自变量的绝对值越大，函数值越大，由此特征即可比较出三数f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序．
解答：
解：
f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，
知f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，此类函数的特征是自变量的绝对值越大，函数值越大，
∵2＜3＜π∴f（﹣2＜f（3）＜f（﹣π）
故答案为f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π）
点评：
本题考点是函数的奇偶性，考查偶函数的图象的性质，本题在求解时综合利用函数的奇偶性与单调性得出判断策略，轻松判断出结论，方法巧妙！
2．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么它在[﹣7，﹣3]上的 增 （填“增”或“减”）函数，最 大 （填“大”或“小”）值为 ﹣5 ．
考点：
奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先利用奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同找到函数在[﹣7，﹣3]上的单调性，再利用奇函数的定义求出[﹣7，﹣3]上的最值即可．
解答：
解：
因为奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同且f（x）在区间[3，7]上是增函数，
所以在[﹣7，﹣3]上也是增函数，故﹣3对应为最大值．
又因为f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，故最小的变量对应最小的函数值，故有f（﹣3）=﹣f（3）=﹣5．
故答案为增，大，﹣5．
点评：
本题考查函数单调性和奇偶性的综合问题．注意奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
3．（5分）判断函数
的奇偶性为：
非奇非偶 ．
考点：
函数奇偶性的判断．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由已知函数式，此题时分段函数判断奇偶性，由题意利用解析式可以利用奇函数与偶函数的定义加以判断．
解答：
解：
有解析式可知，此函数的定义域为：
x∈R，当x＞0时，函数f（x）=﹣x2+2x﹣3，此时﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）+3=x2﹣2x+3=﹣f（x）；
当x＜0时，函数f（x）=x2+2x+3，此时﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）﹣3=﹣x2﹣2x﹣3=﹣f（x）；但是若为奇函数时，x=0时，f（0）=0时，此函数才为奇函数，由此分析此函数应为非奇非偶．
故答案为：
非奇非偶．
点评：
此题考考查了函数的奇偶性，还考查了分段函数的奇偶性应该一段一段的求解，及分段函数是一个函数它的定义域是各段的并集．
5．（5分）已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f（a﹣2）＜f（4﹣a2），求a的取值范围 （
） ．
考点：
奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
专题：
计算题；转化思想．
分析：
先利用题中条件把f（a﹣2）＜f（4﹣a2）转化为
，再解不等式即可求a的取值范围．
解答：
解：
因为f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．
所以f（a﹣2）＜f（4﹣a2）等价于
，
化简可得
解可得
＜a＜2．
故答案为（
）．
点评：
本题主要考查函数的单调性和奇偶性．本题的易错点在于：
讨论函数的单调性和奇偶性都是在其定义域内进行的．注意变量须在定义域内．
6．（5分）若f（x）是偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则f（x﹣1）＜0的解集是 （0，2） ．
考点：
其他不等式的解法；函数奇偶性的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1，即函数f（x）是偶函数我们易将f（x﹣1）＜0转化为一个整式不等式，解整式不等式即可得到答案．
解答：
解：
∵当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1
∴当x∈[0，+∞）时，f（x）＜0
即x﹣1＜0
解得：
[0，1）
又∵函数f（x）是偶函数
∴f（x）＜0的解集为（﹣1，1）
∴f（x﹣1）＜0可化为：
﹣1＜x﹣1＜1
解得：
0＜x＜2
故答案为：
（0，2）
点评：
本题考查的知识点是函数奇偶性的应用，及其他不等式的解法，根据已知将f（x﹣1）＜0转化为一个整式不等式是解答本题的关键．
7．（5分）若f（x）是奇函数，且在区间（﹣∞，0）上是单调增函数，又f
（2）=0，则xf（x）＜0的解集为 （﹣2，0）∪（0，2） ．
考点：
奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
专题：
综合题；转化思想；综合法．
分析：
本题解不等式需要根据题设所给的函数的性质及图象特征确定出函数的图象，然后根据函数的图象性质求解不等式，由于本题是一个奇函数且在区间（﹣∞，0）上是单调增函数，
又f
（2）=0，可以得出函数的图象特征．由图象特征求解本题中的不等式的解集即可．
解答：
解：
∵f（x）是奇函数，且在区间（﹣∞，0）上是单调增函数，又f
（2）=0，
∴f（﹣2）=0，且当x＜﹣2与0＜x＜2时，函数图象在x轴下方，当x＞2与﹣2＜x＜0时函数图象在x轴上方
∴xf（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）
故答案为：
（﹣2，0）∪（0，2）
点评：
本题考点是函数的奇偶性与单调性的综合，考查根据函数的性质推测出函数图象的特征，利用函数图象的特征解不等式，求解本题的不等式时要注意不等式中表达式的结构形式
xf（x）＜0，它说明自变量与函数值的符号是相反的，由此特征结合函数的图象不难得出不等式的解集．由此可以看出求解本题的关键是把函数图象特征研究清楚，以形助数．
8．（5分）已知奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，则实数a的取值范围是 1＜a＜
﹒
考点：
函数单调性的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据奇函数将f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0化简一下，再根据f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，建立不等式组进行求解即可．
解答：
解：
∵f（x）是奇函数
∴f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1）
∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数
∴
解得：
1＜a＜
故答案为1＜a＜
点评：
本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数的奇偶性的应用，属于基础题．
9．（5分）已知函数y=f（x），当x＞1时，函数单调递减，又f（x）=f（2﹣x），试比较f（0），f（﹣2），f（π）的大小顺序 f（﹣2）＜f（π）＜f（0） ．
考点：
函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有
专题：
常规题型．
分析：
利用函数的对称性把自变量﹣2，0，π对应的函数值转化到同一个单调区间内，在利用单调性即可．
解答：
解：
由f（x）=f（2﹣x）得对称轴为x=1，又当x＞1时，函数单调递减，所以x＜1时，函数单调递增，
f（π）=f（2﹣π），﹣2＜2﹣π＜0，所以f（﹣2）＜f（π）＜f（0）
故答案为：
f（﹣2）＜f（π）＜f（0）
点评：
本题考查了函数的单调性和对称性，在利用单调性解题时遵循原则是：
增函数自变量越大函数值越大，减函数自变量越小函数值越小．
二、解答题（共2小题，满分0分）
10．设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f
（1）=﹣1
（1）求证：
f（x）是奇函数
（2）判断f（x）的单调性并证明
（3）试问当﹣3≤x≤3时f（x）是否有最值？
如果有，求出最值；如果没有说出理由
考点：
奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）先令x=y=0，求得f（0），再令y=﹣x构造f（﹣x）+f（x）=f（0）得结论．
（2）先设x1＞x2，∴由主条件构造f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）由x＞0时f（x）＜0得证．
（3）由
（2）知f（x）是减函数，则在端点处取得最大值和最小值．
解答：
解：
（1）令x=y=0，f（0）=0
令y=﹣x
∴f（﹣x）+f（x）=f（0）=0
∴f（x）是奇函数
（2）设x1＞x2
∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）＜0
∴f（x）是减函数
（3）f（3）=f（2+1）=f
（2）+f
（1）=3f
（1）=﹣3
f（﹣3）=3
由
（2）知f（x）是减函数
∴最大值为3，最小值为﹣3
点评：
本题主要考查抽象函数奇偶性和单调性以及函数最值的求法，这类问题用赋值法和性质的定义比较常见．
11．f（x）为奇函数且在R上单调递减，则g（x）=[f（x）]的单调性 不存在 ，奇偶性 不存在 ．
考点：
复合函数的单调性；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有
专题：
证明题；数形结合；数形结合法．
分析：
g（x）=[f（x）]是对f（x）取整的函数，其图象为一组与x轴平行的线段，故其不具有单调性与奇偶性．
解答：
证明：
不妨令f（x）=﹣x，则g（x）=[f（x）]=
（只列出了（﹣2，2]上的解析式）由解析式可以看出
函数g（x）=[f（x）]不具有单调性与奇偶性
故答案为：
不存在不存在
点评：
本题考查函数的性质，模型函数是取整函数，本题在求解判断时用了特值法，此方法在验证某事物不是恒成立的问题时经常用到，其原理是若存在一个特例使得某个关系不成立，则这个关系就不是恒成立．
参与本试卷答题和审题的老师有：
庞会丽；minqi5；xintrl；geyanli；wodeqing；邢新丽（排名不分先后）
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2014年10月3日
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