七年级秋季班第1讲整式的基本概念.docx

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七年级秋季班第1讲整式的基本概念

代数式是七年级数学上学期第一节内容，主要根据题意，会用规范的格式用字母表示数，掌握代数式的值的概念，能用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值，理解单项式．多项式和整式的定义．重点是理解代数式的值的意义并能准确求出代数式的值，正确理解单项式．多项式及整式的概念，会把一个多项式按某个字母降幂排列或升幂排列．难点是会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数，能够正确区分单项式和多项式，通过这节课的学习为我们后期学习整式计算提供依据．

1．字母表示数

字母可以表示运算律；字母可以表示公式；字母可以表示数量关系或方程里的求知量；字母可以表示探究得出规律的数．

2．字母表示数的规范要求

（1）数字与字母及字母与字母间的乘号省略，且数字要写在字母之前；

（2）当数字是带分数时，要写成假分数；

（3）除法运算中的除号要用分数线来表示．

【例1】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（）．

①1⋅x2y

②ab÷c2

③2⨯（a+b）

④ab⋅2

27a

1xy

34

A．1个B．2个C．3个D．4个

【例2】某种商品降价x％后，售价为a元，则原售价是（）．

A．ax元B．a⎛1+

x⎫元C．100a元D．a元

100ç100⎪xx

⎝⎭1-

100

【例3】某次数学测试，班级中男生20名平均得a分，女生25名平均得b分，此次测验全班的平均分是多少？

【例4】一个两位数为x，三位数为y，将x放在y的左边得到一个五位数，用含x．y代数式表示这个五位数．

【例5】画一个正方形，使它的边长为2厘米，它的面积是平方厘米．再取各边中点，再连成第2个正方形，它的面积是平方厘米．

再取第2个正方形的各边中点，连成第3个正方形，它的面积是平方厘米．

如果依此方法画出第4个．第5个正方形······那么第20个正方形的面积是平方厘米，第n个正方形的面积是平方厘米．

b2b5

【例6】

（1）一组按规律排列的式子：

-，

aa2

b8

，-，

a3

b11a4

，…（ab≠0），其中第7个

式子是，第n个式子是（n为正整数）．

（2）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②．图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管.

①②③

1．代数式

（1）用运算符号和括号把数或字母连结而成的式子叫做代数式．（这里的运算符号一般指加、减、乘、除，以及以后要学的乘方，开方）

（2）单独一个数字或者一个字母也是代数式．

（3）因为等号和不等号不是运算符号，所以等式和不等式不是代数式．

【例7】下列各式中，是代数式的有（）．

①3xy2

②2πR

③S=πr2

④b⑤5+1>2

⑥ab

2

A．3个B．4个C．5个D．6个

【例8】下列代数式中，书写规范的是（）．

A．51⨯7ab

3

B．2a2⨯b-6

C．6ab÷9

D．1a2b

3

【例9】下列代数式的值一定是正数的是（）．

A．2

x+y2

B．x-y

C．2x2+3

D．（x+y）2

【例10】某项工程，甲队完成需要a小时，乙队完成需要b小时，则甲．乙两队合作1小

时可完成该工程的（）．

A．1+1

ab

B．1

a+b

C．1

ab

D．1÷⎛1+1⎫

⎝⎭

【例11】用语言描述3a-15的数量关系，其中错误的是（）．

A．a的3倍与15的差B．3a与15的相反数的和

C．a与5的差的3倍D．a与15的差的3倍

【例12】下列语句中，不正确的是（）．

A．代数式x2-y2的意义是x与y的平方差．

B．代数式1（x-y）的意义是x与y的差的一半．

2

C．x的7倍与y的和的一半，用代数式表示是7x+y．

2

D．x的1

6

与y的1

8

差，用代数式表示是

1x-1y．

68

【例13】用文字语言表示下列式子：

（1）2a+1；

（2）3（a-2）；（3）a-5．

【例14】汽车每小时耗油10升，油箱中已装油a升．

（1）当a=80时，汽车行驶多少小时后，油箱中剩余油为20升？

（2）用代数式表示汽车行驶x小时后，油箱中剩余的油量y．

⎣⎦

【例15】正方形的边长为acm，边长增加2cm后，面积增加（）．

A．4cm2

B．（a2+4）cm2

C．（a+2）2cm2

D．⎡（a+2）2-a2⎤cm2

【例16】船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为2千米/时（x>2），若A、B两地相距

s千米，则在A、B间往返一次共需小时．

【例17】浓度为80％的酒精a克，加水10克后的浓度是多少？

1．代数式的值

用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．

2、求代数式的值的方法

直接代入法；整体代入法．

【例18】当x2+y2=1，3x-2y2=-2时，4x-y2的值是（）．

A．-2

B．-1

C．3D．6

【例19】求代数式

x-y

2x+3y

的值，其中

（1）x=-2，y=-5；

（2）x=2，y=5．

1b

【例20】若a=3，b=0.3，则3=．

2a

【例21】如果x-3+（y-2）2=0，则yx=．

【例22】如果a2+ab=5，b2+3ab=9，则a2-2ab-b2=．

【例23】若代数式2a2+3a+1的值是5，求代数式6a2+9a-8的值．

【例24】已知a-4与a+2b互为相反数，求代数式10（a-b）3-8（a-b）2+9（b-a）3+

7（b-a）2的值．

【例25】

（1）当a=1，b=1及a=3，b=1时，分别计算a2-2ab+b2及（a-b）2的值，

342

并观察所得代数式的值，有什么发现？

可猜想出什么规？

（2）应用你发现的规律，计算：

101.232-2⨯101.23⨯1.23+1.232．

【例26】已知a+19=b+9=c+8，求（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2．

0123456

【例27】已知：

（2x2-x-1）3=ax6+ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a．求：

（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6的值；

（2）a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6的值；

（3）a0+a2+a4+a6的值．

1、单项式

由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．单独一个数或字母也是单项式．

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

2、多项式

由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．

在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．

3、多项式的升幂或降幂排列

（1）把一个多项式按其一个字母的指数从高到低的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．

（2）把一个多项式按某一个字母的指数从低到高的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．

4、整式

单项式．多项式统称为整式．

【例28】下列说法正确的是（）．

A．1不是单项式B．b是单项式

2a

C．x的系数是0D．3x-2y是整式

2

【例29】32005x2y2是次单项式．

【例30】把多项式a3-3ab+5b3-6a2b按a的降幂排列为．

【例31】已知-2ab3-7an-1b2与-32π2x3y5的次数相等，则（-1）n+1=．

【例32】多项式

3a2b-2a5-4b+ab

6

的一次项是，三次项系数是，常

数项是．

【例33】多项式3xn-2+2xn-4xn+3-3xn-1（n是大于3的整数），按x的升幂排列为

．

【例34】m、n都是正整数，多项式xm+yn+3m+n的次数是（）

A.2m+2n

B.

m或n

C.

m+n

D.

m、n中的较大数

【例35】一个n次多项式，它的任何一项次数都．

【例36】若多项式x4-ax3+x3-5x2-bx-3x-1不含x的奇次项，求a+b的值．

【例37】若多项式x4-n+2xn+1-3是三次三项式，求n的值．

【例38】若关于x、y的多项式（a-4）xay+（4-a）xa-1y+（2-b）

x2ya-2+5aa-3

y2是一个四

次三项式，求a、b的值，并写出此三项式．

【习题1】将下列代数式分别填入相应的括号内：

1ab2a1

221

x-2121

，，，x+x，mn-mn+3n-2，，，x+-3

2b333

x+yx2

单项式（）；

多项式（）；

二项式（）；

二次多项式（）；

整式（）．

【习题2】已知关于x的多项式（m-2）x2-mx+3中的x的一次项系数为-2，则这个多项式是次项式．

【习题3】在下列各式中，符合书写格式要求的有（）．

a2，1÷x，11m，-3，3⨯（x+2y），1m2n3，7ab，ac÷b2．

2y3

A．1个B．2个C．3个D．4个

【习题4】把多项式5x3y-y4-3xy3+2x2y2-7

（1）按x的升幂排列；

（2）按y的降幂排列．

【习题5】某学生参加教育储蓄，把1000元存入银行，如果月利率是0.2％，那么x个月后，本金与利息的和是元（教育储蓄不计利息税）．

【习题6】买a支水笔用了50元，毛笔每支比水笔贵2元，那么买a支毛笔需元钱．

【习题7】已知：

x=（-1÷1⨯3⨯1）3，则代数式1+x+x2+x3+⋅⋅⋅+x2012+x2013的值是（）．

26

A．2013B．2012C．1D．0

【习题8】已知：

a-2b=4，求代数式3（a-2b）+3（a+2b）的值．

a+2b

4（a+2b）

a-2b

【习题9】-23a2b3的系数是，次数是．

【习题10】先观察多项式：

x，-3x2，5x3，-7x4，⋅⋅⋅⋅⋅⋅按这些单项式的系数和指数变化规律写出第50个单项式；再求当x=1时，前50个单项式和的值．

【习题11】观察下列图形，则第（4n+2）个图形中三角形的个数是．

【习题12】当x=1时，代数式ax3+bx+1的值为2014，求当x=-1时代数式ax3+bx+1的值．

【习题13】点A1、A2

、A3

、……、An（n为正整数）都在数轴上．点A1在原点O的左

边，且A1O=1；点A2在点A1的右边，且A2A1=2；点A3在点A2的左边，且A3A2=3；点A4在点A3的右边，且A4A3=4；……，依照上述规律，点A2008．A2009所表示的数分

别为（）．

A．2008、-2009

B．-2008、2009C．1004、-1005

D．1004、-1004

【习题14】如图，点A．B对应的数是a．b，点A在-3．-2对应的两点（包括这两点）之间移动，点B在-1．0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（）．

-3a-2-1b0

A．b-a

B．1

b-a

C．1-1

ab

D．（a-b）2

【作业1】指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？

①2x+1

②3ab2

③0④

a⨯10n

⑤a+b=b+a

⑥3>2

⑦S=πR2

⑧3+4=7⑨π

【作业2】三个连续奇数，中间的一个是2n+1，用代数式表示这三个连续奇数的和是

；当n=2时，这个代数式的值是．

【作业3】代数式（x-2）2+3有（）．

A．最大值B．最小值

C．既有最大值，又有最小值D．既无最大值，也无最小值

【作业4】某商品进价为每件a元，商品按进价提高40％作为零售价销售，在销售旺季过

后，又以8折价开展促销，求促销时每一件商品的售价．

【作业5】找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.

2xy2；-a；a；mn+3；25t7；-3a2b3c；2；-x

3bc2π

【作业6】同时都含有a，b，c，且系数为1的7次单项式共有（）个

A．4B．12C．15D．25

【作业7】当a=时，式子3a-b+9化简后是单项式．

【作业8】当m取什么值时，（m+2）xm2-1y2-3xy3是五次二项式？

【作业9】一个多项式按x的降幂排列，前几项如下：

x10-2x9y+3x8y2-4x7y3+...试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？

【作业10】已知（2x-1）7=a+ax+ax2+...+ax7对任意x的值都成立，求下列各式的值：

0127

（1）a0+a1+a2+...+a7；

（2）a1+a3+a5+a7．

【作业11】图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2．图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）

A．25B．66C．91D．120

图1

图2

图3