全国版五年级数学思维教材秋季.docx
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全国版五年级数学思维教材秋季
第一讲质数与合数
小热身：
判断下面的数能否拆成两个数的乘积（拆出的数要大于1）
6、9、11、24、29、35、37、87、10、16
知识精讲
什么是质数?
每一个数都能写成若干个数相乘的形式,考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式,所以不考虑1作为乘数的情况:
6=2×3,8=2×4=2×2×2、
12=2×6=3×4=2×2×3……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式,我们把这样的数称为合数.而像2、3、7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数,我们称之为质数.如果说得形象一点,质数就是“折不开”的数,合数就是拆得开的数.
严格说来,质数就是只能被1和自身整除的数;合数是除了1和它本身之外,还能被其它数整除的数,注意：
1既不是质数也不是合数.
100以内的质数有：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.
质数是我们后面学习的基础,因此同学们一定要牢牢记住常见的质数.
当然,上面的这些质数只是质数大军中的冰山一角.在100以上还有无穷多个质数,比如接着100的就有四个质数:
101、103、107、109.
例1：
下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：
美少年华朋会友、幼长相亲同切磋；
比赛联谊欢声响、念一笑慰来者多；
九天九霄志凌云、九七共庆手相握；
聚起华夏中兴力、同唱移山壮丽歌.
将诗中56个字第一行左边第一字起逐字编为1-56号、再将号码中的质数由小到大找来、将它们对应的字依次排成一行、组成一句话、请写出这句话.
练1：
自然数N是一个两位数、它是一个质数、而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有哪几个？
知识精讲
两个不同质数相加，如果和是奇数、根据奇+偶=奇、其中一个加数肯定是2、因为2是唯一的质偶数；如果和是偶数、根据奇+偶=偶、两个加数都是奇数.
例2：
如果两个不同的质数相加等于25、那么这两个质数的乘积是多少？
练2：
如果两个不同的质数相加等于15、那么这两个质数的乘积是多少？
例3：
如果两个不同的质数相加等于26、那么这两个质数的乘积可能是多少？
请全部写出.
练3:
如果两个不同的质数相加等于16、那么这两个质数的乘积可能是多少？
请全部写出.
例4：
三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？
请全部写出.
练4：
如果三个互不相同的质数相加、和为52、这三个质数可能是多少？
思维拓展
甲、乙两人的年龄和为一个两位质数、这个数的个位与十位数字的和是13、甲比乙大13岁、那么乙今年多大？
第二讲分解质因数
小热身：
尝试把下面的数分别拆成两个数的乘积（拆出的数要大于1）：
12、25、39、87、121、134、345.
知识精讲
通过前面的学习、我们知道了质数与和合数的概念.而每个合数也都可以写成几个质数相乘的形式、比如30=2×3×5.其中质数2、3、5、我们称之为30的质因数、那么这个拆分的过程就叫做分解质因数.同学们请注意：
分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好、每个数分解质因数的形式是唯一的.
我们一般使用短除法来分解因数.如下图所示、我们将30分解质因数、在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性.
能整除30的质数
230相除后得到的商
315
5
100在分解质因数时也可以写成：
100=2²×5²；280在分解因数时也可以写成
280=2²×5×7.这种写法更简洁更方便、其中位于质因数右上角、表示质因数个数的数叫作指数、如：
指数
指数
100=2²×5²280=2³×5×7
这里280的分解式中5和7的指数都是1、写的时候可以省略.
例1：
请把下面的数分解质因数：
（1）360；
（2）539；（3）999.
练1：
请把下面的数分解质因数：
（1）370；
（2）12660
知识精讲
分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法、大家一定要能熟练的将一个数分解质因数、这应该作为一项基本的能力来培养.下面我们来看看如何利用分解质因数来解决问题.
例2：
三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数.求这三个数.
练2：
3个连续自然数的乘积是210，这三个自然数分别是多少？
知识精讲
通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处.它就像手术刀一样、把整数解剖开来、让我们把整数的组成结构看得一清二楚.很多看似复杂的问题、如果从分解质因数的角度来看、就变得非常简单.
例3:
算式1×2×3×…×100的计算结果的末尾有多少个连续的0？
练3:
算式1×2×3×…×30的计算结果的末尾有多少个连续的0？
例4:
算式31×32×33×…×200的计算结果的末尾有多少个连续的0？
练4:
算式11×12×13×…×75的计算结果的末尾有多少个连续的0？
思维拓展
三个连续自然数的乘积等于39270、那么这三个数的和等于多少？
第三讲格点图形面积
小热身：
（1）已知一个三角形的一条边长为8、这条边上的高是6、那么三角形的面积是多少？
（2）已知一个长方形的面积为60、长为12、那么宽是多少？
（3）已知一个正方形的边长为6、那么面积是多少？
（4）已知一个平行四边形的面积为20、底为5、该底所对应的高是多少？
知识精讲
在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方
形、平行四边形、三角形和梯形面公式，你还记得这些公式吗？
这一讲我们将学习格点图形的面积、用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形.
虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面
积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点.
将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每
个图形都很容易分割，有时我们把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的
面积减去空白部分的面积、这种方法称为“添补法”.
分割法，正所谓“大事化小”、把不规则的大图形化为規则的小图形.
添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便
于计算.
使用割补法的时候，一般应该从形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面
积找到联系或者利用垂直等性质.
例1：
图中每个小正方形的面积是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？
练1：
图中相邻两格点间的距离均为1厘米、那么阴影部分的面积分别是多少平方厘米？
知识精讲
对于简单的格点图形、都可以使用割补法计算面积，但是对于复杂的格点图形，使用割补法会非常繁琐，有没有更简单明了的方法呢？
我们接下来看一个简单快捷的方法，从格点数入手.
围成阴影部分的边线、经过了一些格点.这些边界上的格点叫做边界格点、简称边点；格点图形还完全盖住了一些格点、这些图形内部的格点叫做内部格点、简称内点.
正方形格点图形面积＝（内点＋边点÷2-1）×单位正方形面积；
三角形格点图形面积＝（2×内点＋边点－2）×单位三角形面积.
例2：
图中相邻格点围成的小正方形的面积均为1平方厘米.这个多边形的面积是多少平方厘
米？
练2：
图中相邻格点围成的最小正方形面积为1平方厘米，这个多边形的面积是多少平方厘米？
例3：
如图，每一个最小正方形的面积是3平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米？
练3：
如图、每一个最小正方形的面积是3平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米？
例4：
如图、每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
练4:
如图、每个最小等边三角形的面积都是2平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
思维拓展
图中每个小三角形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
第四讲割补法求面积
小热身：
（1）已知一个长方形的面积为72、长是12、那么宽是多少？
（2）已知一个正方形的边长为5、那么面积是多少？
（3）已知一个正方形的对角线为6、那么面积是多少？
（4）已知一个平行四边形的面积为10、底为5、那么这个底所对应的高是多少？
知识精讲
我们学习了如何计算格点图形的面积、介绍了正方形格点面积计算公式.根据公式、我们可以求出正方形格点面积是最小正方形面积的几倍.随着几何学习的步步深入大家会发现除了用公式法直接求面积之外、还有很多简介求面积的方法.尤其是对于不规则图形、我们并不知道这些图形的面积公式、但是通过分割、添补等各种方法把它们变换为规则的图形.
例1：
图中的数分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积.（单位：
厘米）
练1：
图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积.（单位：
厘米）
例2：
如图所示、正方形ABCD内部有一个长方形EFGH.已知正方形ABCD的边长是6厘米、图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积.
练2：
如图所示、在正方形ABCD内部有一个长方形CEF.已知正方形ABCD的边长是12厘米，图中线段AE、AF都等于4厘米.求三角形CEF的面积是多少平方厘米？
例3：
如图所示、大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形最近的一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？
练3：
如图所示、大正三角形的边长为10平方厘米.连接大三角形的各边中点得四个小正三角形、取各个小正三角形的中心、再将小正三角形的中点和顶点相连、得到三个一样的小三角形、那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？
例4：
如图，是把两个同样大小的正方形分别分成的方格表.左图阴影部分的面积是162、请问：
右图中阴影部分的面积是多少？
练4：
如图，把两个相同的正三角形分别分成三等分和四等分、并连接这些等分点。
已知左图中阴影部分的面积是48平方分米.请问：
右图中阴影部分的面积是多少平方分米？
思维拓展
如图所示、已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数、这个四边形的面积是多少平方厘米？
（单位：
厘米）
第五讲流水行船问题
小热身：
小高和小斯相距360米、小高和小斯的跑步速度分别为5米/秒和7米/秒、同时出发、那么如果两个人相向跑去、要多久相遇？
如果小斯在后面追小高、要多久追上？
知识精讲
如同飞机在飞行的时候会受到风速的影响一样,当船在水中航行时,也会受到水速的影响,具体是怎样的影响,我们现在就来研究一下.
当船在水中航行时,如果水是静止不动的,那船的行驶速度就只由船本身决定,这个速度称为船的静水速度,即船本身的速度.
大家可以设想一下,如果船本身停止运动,那么它还是会顺着水流前进,这时的速度等于水流的速度,我们可以把水流的速度简称为水速.
当船顺水而行时,船的静水速度和水速会叠加起来,行驶速度会变快,此时的速度我们称之为顺水速度;反之,如果船逆水而行,水速会抵消掉一部分船本身的速度,行驶速度会变慢,此时的速度我们称之为逆水速度.
下面的两个基本公式就给出了对应的计算方法:
顺水速度=静水速度+水速；
逆水速度=静水速度一水速；
很容易的,根据和差问题的计算方法,我们可以得到如下结论:
水速=（顺水速度一逆水速度）÷2；
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2.
这四个公式是流水行船问题中最基本的速度计算公式.下面我们就利用这四个公式,解决几个典型的流水行船问题.
例1:
甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度.
练1:
一艘飞艇，顺风6小时行驶了900千米、在同样的风速下、逆风行驶600千米，也用了6小时.那么在无风的时候，这艘飞艇行驶1000千米要用多少小时？
例2:
甲河是乙河的支流、甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米.一艘船沿甲河顺水7小时后到达乙河，共航行133千米.这艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少小时？
练2:
A.B两港相距120千米.甲船的静水速度是20千米/时，水流速度是4千米/时.那么甲船在两港间往返一次需要多少小时？
知识精讲
下面我们来看看流水行船问题中的相遇与追及问题.通过一些具体的例子我们可以发现，如果两船相向而行，两船的速度和就是静水速度之和；如果两船同向而行、两船的速度差就是静水的速度之差.因此、相遇时间和追及时间与水速大小无关.
例3:
A.B两码头之间河流河流长为300千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时起航.如果相向而行5小时相遇，如果同向而行10小时甲船追上乙船.求两船在静水中的速度.
练3:
A、B两码头间河流长为24千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航.如果相向而行2小时相遇，如果同向而行12小时甲船追上乙船.求甲船在静水中的速度.
例4:
小高在河里游泳，逆流而上.他在A处掉了一只水壶，向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到.假定小高在静水中的游泳速度为每分钟60米，求水流速度.
练4:
小斯在河里游泳，逆流而上.他在A处掉了一只水壶、向前又游了10分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处1千米的地方追到.假定小高在静水中的游泳速度为每分钟70米，求水流速度.
思维拓展
甲、乙两船分别从A港出发逆流而上行驶180千米外的B港、静水中甲船每小时航行15千米、乙船每小时行12千米、水流速度每小时3千米.乙船出发两小时、甲船出发、当甲船追上乙船的时候、甲已离开A港多少千米？
若甲船到达B港之后立即返回、则甲、乙两船相遇地点离刚才甲追上乙船的地点多少千米？
第六讲位值原理
小热身：
（1）1000+200+30+4=___________.
（2）20000+200+2=____________.
知识精讲
在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定．比如一个数由1、2、3三个数字组成、我们并不能确定这个数是多少、因为1、2、3能组成很多数、例如213、321、123、132、……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123.
123
1个1002个103个1
从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：
个位上的数字代表几个1；
十位上的数字代表几个10；
百位上的数字代表几个100；
……
那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123＝1x100＋2×10＋3x1，这个结论被称为位值原理，有的时候，为了分析问题方便，我们井不将多位数逐位展开，而是采用整体展
开的办法，如23456＝23×1000+45×10＋6、我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用.
例1：
一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数.
练1：
一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？
例2：
在一个两位数的数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数.
练2：
在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数.
例3：
一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位
数和原三位数的差的个位数字是7．试求两个数的差．
练3：
把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数
最大可以是多少?
知识精讲
在出现若干个多位数的位值原理问题中、单个的多位数条件有限、无从下手、这个时候可以考虑、先用位值原理将字母表示的多位数展开、观察特性、从而更轻松地解决问题.
例4：
从1至9这9个数字中取出三个数字，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，
若这六个三位数之和是1998，这三个数字和是多少？
这六个三位数中最大的数是多
少？
练4：
从1至9这9个数字中取出三个数字，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，
若这六个三位数之和是2886，这三个数字和是多少？
这六个三位数中最大的数最大是多
少？
思维拓展
在等式
=
×五÷月”中、相同的汉字代表相同的数字、不同汉字表示不同数字，”其中“五”代表“五”、“月”代表“8”、那么
”所代表的五位数是多少？
第八讲倍数关系求面积
小热身：
1、有一个大三角形和一个小三角形、大三角形的底是小三角形底的2倍、它们高相等、那么大三角形的面积是小三角形面积的几倍？
2、如右图、已知A、B、C的面积分别是6、3、2、那么D的面积是多少？
知识精讲
迄今为止、同学们已经学会了很多图形计算面积的方法。
在计算这些面积的时候、只要知道相应线段的长度、然后利用公式即可计算.例如计算长方形的面积、只需要计算长方形的长和宽、即可利用长方形的面积=长×宽进行计算.但很多时候、提努中并不给出长和宽、那怎么来求面积呢？
对于长方形、我们总结出：
如果两个长方形的长（宽）相等、那么它们的面积的比等于它们宽（长）之比.例如：
如图所示的长方形ABCD与长方形BEFC宽BC相同、那么
长方形ABCD的面积：
长方形BEFC的面积=AB:
BE.
进一步可以有结论：
S1×S4=S2×S3.
从上面可以看出、求一个图形的面积不一定要通过公式、有些时候我们也可以利用图形各部分之间的关系进行计算.
实际问题中、各图形的形状各异.我们很难直接看出图形面积间的关系、更容易发现的是长度之间的倍数关系.本章重点就是长度的倍数关系与面积倍数关系的转化
例1：
如图，有9个小长方形、其中的6个小长方形的面积分别为4、8、8、12、16、20平方米.其余3个长方形的面积分别是多少平方米？
4
8
12
8
16
20
练1：
如图，有7个小正方形，其中的5个小长方形的面积分别为20、4、6、8、10平方厘米.那么阴影长方形的面积是多少平方厘米？
20
4
6
8
10
例2：
把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增加了50平方厘米，那么原正方形的面积为多少平方厘米？
练2：
把一个正方形的相邻两边分别增加3厘米和6厘米，结果面积增加了108平方厘米，那么原正方形的面积为多少平方厘米？
知识精讲
过三角形一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形、则这两个小三角形面积之比等于该直线分对边所得的两条线段长度之比、这是由两个小三角形有共同的高决定的.
三角形ABD的面积：
三角形ADC的面积=BD:
DC
例3：
下图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍.那么三角形ABE的面积是多少平方厘米？
练3：
如图、三角形ABC中，D为AB的中点，E为BC的中点，F为BE的中点，如果三角形ABC的面积是120平方厘米，那么三角形DEF的面积是多少？
知识精讲
在实际问题中、给出的图形结构往往只能满足上述形式的一部分.比如知道两条线段的长度关系、却找不到合适的图形引出面积关系.此时、我们可以添加适当的辅助线、使得在两个图形之间可以找到一个过渡的量、这个量和两个图形都有比较紧密的联系.
除了利用图形间的长度关系寻找面积关系外、我们有时候也利用面积的倍数关系反推出长度的倍数关系.
例4：
如图、E是AB上靠近A点的三等分点、梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的4倍、那么梯形的下底长是上底长的几倍？
练4：
如图，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，且梯形的面积是三角形的5倍，那么三角形底边BE的长是多少？
思维拓展
如图、直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF、E点恰好在AB边上.又已知直角边AC长20厘米、BC长12厘米、那么正方形的边长为多少厘米?
第九讲加乘原理问题
小热身：
1.小高早上穿衣服、有3件上衣可以选；有4条裤子可以选；有5双鞋子可以选.上衣、裤子、鞋子都要选且每类只能选一件、那么小高今天有多少种搭配方式？
2.小斯早上去上学、必须先到公交站再去学校.从家到公交站有2中走法、从公交站到学校有3种路线、那么小斯从家到学校共有多少种选择方式？
知识精讲
之前我们学习了“加法原理与乘法原理”一讲,即分类相加与分步相乘.
如果完成一件事分为几个步骤,在每一个步骤中又有不同的方法,那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数一这就是乘法原理.
要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理,必质保证各步骤之间满足下面两个要求:
那么是不是只要分步骤完成整件事情就可以直接用乘法原理呢?
如图,把A.B.C三部分用三种不同的颜色涂色,要求相邻两部分不能同色,那么一共有多少种不同的涂法?
ABC
其实,整个涂色过程是需要分为三步的,即分别给其中一块涂色：
当涂色顺序为A→B→C时,那么A有3种涂法,B不能和A一样,有2种涂法,同样C有2种,那么一共就有“3x2x2”种涂法；（C→B→A同理）
当涂色顺序为B→A→C时,哪么B有3种涂法,A不能和B一样,有2种涂法,同样C有2种,那么一共就有“3×2×2”种涂法；（B→C→A同理）
当涂色顺序为A→-C→B时,那么A有3种涂法,第二步C没有限制,也有3种涂法,但是最后的B就出问题了,我们没法确定它有2种还是1种涂法,如果C和A同色,则B有两种涂法；如果C和A不同色、则B只有1种涂法─此时、根据分部相乘的方法计算整个过程的涂色方法“3×3×？
”就不再适用了.
（C→B→A同理）
因此、并不是只要分部完成整件事情就一定可以应用乘法原理、要想应用乘法原理、还必须满足第三个要求：
3.做完一步时、这一步的结果很可能会影响后面步骤的结果、但一定不能影响
响后面步骤的方法数.如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数发生变化、就不能
能直接用乘法原理计算”
─简称“前不影响后原则”
涂色问题、是应用乘法原理最常见的一类题型、其实、从上面对A,B,C三部分的涂色分析我们应该可以发现、涂色的时候、要尽量避免“隔”着涂、“跳”着涂、而且、第一步要尽量去涂“接触最多”的那一部分、这样、才使得后面的涂色过程尽量避开“前影响后.”
例1：
如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色，每部分只染一种颜色且相邻的部分不能使用同同一种颜色。
请问：
这幅图共有多少种不同的染色方法？
A
B
E
C
D
练1：
如图，把A、B、C、D这四部分用4种不同的颜色，每部分只染一种颜色且相邻的部分不能使用同同一种颜色。
请问：
这幅图共有多少种不同的染色方法？
A
B
D
C
知识精讲
在例题2中，有一个垃圾桶是有特殊要求的—易拉罐垃圾桶不能染成红色，我们通过尝试可知：
如果一开始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就会影响到易拉罐垃圾桶的染色方法数，既不能满足“前不影响后”原则，而如果首先染易拉罐垃圾桶、则不会出现该问题、所以一般而言，如果题目中有些对象是有特殊要求的，那么我们分步分析计算的时候
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