A*原点在圆上B*原点在圆外
C*原点在圆内D*不确定
解析 将圆的一般方程化为标准方程(x+a)2+(y+1)2=2a,因为00,所以原点在圆外*
答案 B
3*圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为( )*
A*(x-2)2+y2=5B*x2+(y-2)2=5
C*(x+2)2+(y+2)2=5D*x2+(y+2)2=5
解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0,-2),所以所求圆的方程为x2+(y+2)2=5*
答案 D
4*(·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为( )*
A*x2+y2=32B*x2+y2=16
C*(x-1)2+y2=16D*x2+(y-1)2=16
解析 设P(x,y),则由题意可得:
2=,化简整理得x2+y2=16,故选B*
答案 B
二、填空题(每小题5分,共10分)
5*以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________*
解析 由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4),再由两点间的距离公式得圆的半径为=,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=2*
答案 (x-2)2+(y-4)2=2
6*已知直线l:
x-y+4=0与圆C:
(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为________*
解析 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径,即-=*
答案
三、解答题(共25分)
7*(12分)求适合下列条件的圆的方程:
(1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:
x+y-1=0相切于点P(3,-2);
(2)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2)*
解
(1)法一 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则有
解得a=1,b=-4,r=2*
∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8*
法二 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4)*
∴半径r==2,
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8*
(2)法一 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则
解得D=-2,E=-4,F=-95*
∴所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0*
法二 由A(1,12),B(7,10),
得AB的中点坐标为(4,11),kAB=-,
则AB的垂直平分线方程为3x-y-1=0*
同理得AC的垂直平分线方程为x+y-3=0*
联立得
即圆心坐标为(1,2),半径r==10*
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100*
8*(13分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4*
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程*
解
(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),
∴直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0*
(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0*①
又直径|CD|=4,∴|PA|=2,
∴(a+1)2+b2=40,②
由①②解得或
∴圆心P(-3,6)或P(5,-2),
∴圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40*
B级 能力突破(时间:
30分钟 满分:
45分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1*(·东莞调研)已知圆C:
x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为( )*
A*8B*-4C*6D*无法确定
解析 圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则x-y+3=0过圆心,即-+3=0,∴m=6*
答案 C
2*圆心为C的圆与直线l:
x+2y-3=0交于P,Q两点,O为坐标原点,且满足·=0,则圆C的方程为( )*
A*2+(y-3)2=B*2+(y+3)2=
C*2+(y-3)2=D*2+(y+3)2=
解析 法一 ∵圆心为C,
∴设圆的方程为2+(y-3)2=r2*
设P(x1,y1),Q(x2,y2)*
由圆方程与直线l的方程联立得:
5x2+10x+10-4r2=0,
∴x1+x2=-2,x1x2=*
由·=0,得x1x2+y1y2=0,即:
x1x2-(x1+x2)+=+=0,
解得r2=,经检验满足判别式Δ>0*
故圆C的方程为2+(y-3)2=*
法二 ∵圆心为C,
∴设圆的方程为2+(y-3)2=r2,
在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的,即2+(y-3)2=,故选C*
答案 C
二、填空题(每小题5分,共10分)
3*已知平面区域恰好被面积最小的圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为________*
解析 由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,又△OPQ为直角三角形,故其圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径为=,∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5*
答案 (x-2)2+(y-1)2=5
4*已知圆C:
(x-3)2+(y-4)2=1,点A(-1,0),B(1,0),点P是圆上的动点,则d=|PA|2+|PB|2的最大值为________,最小值为________*
解析 设点P(x0,y0),则d=(x0+1)2+y+(x0-1)2+y=2(x+y)+2,欲求d的最值,只需求u=x+y的最值,即求圆C上的点到原点的距离平方的最值*圆C上的点到原点的距离的最大值为6,最小值为4,故d的最大值为74,最小值为34*
答案 74 34
三、解答题(共25分)
5*(12分)(·大连模拟)已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上*
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值*
解
(1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
根据题意得:
解得a=b=1,r=2,
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4*
(2)因为四边形PAMB的面积
S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,
而|PA|==,
即S=2*
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,
即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,
所以|PM|min==3,
所以四边形PAMB面积的最小值为
S=2=2=2*
6*(13分)(·南昌模拟)已知圆C过点P(1,1),且与圆M:
(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称*
(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值*
解
(1)设圆心C(a,b),则解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2*
(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,且·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2,
令x=cosθ,y=sinθ,
∴·=x+y-2=(sinθ+cosθ)-2
=2sin-2,
所以·的最小值为-4*
特别提醒:
祝考生考出好成绩
第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系
A级 基础演练(时间:
30分钟 满分:
55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1*(·福建)直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于( )*
A*2B*2C*D*1
解析 由题意作出图象如图,由图可知圆心O到直线AB的距离d==1,故|AB|=2|BC|=2=2*
答案 B
2*(·安徽)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( )*
A*[-3,-1]B*[-1,3]
C*[-3,1]D*(-∞,-3]∪[1,+∞)
解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为,
∴≤,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1*
答案 C
3*(·潍坊模拟)若圆x2+y2=r2(r>0)上仅有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围是( )*
A*(+1,+∞)B*(-1,+1)
C*(0,-1)D*(0,+1)
解析 计算得圆心到直线l的距离为=>1,得到右边草图*直线l:
x-y-2=0与圆相交,l1,l2与l平行,且与直线l的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离+1,故选A*
答案 A
4*(·银川一模)若圆C1:
x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2:
x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条切线,则a+b的最大值为( )*
A*-3B*-3C*3D*3
解析 易知圆C1的圆心为C1(-a,0),半径为r1=2;
圆C2的圆心为C2(0,b),半径为r2=1*
∵两圆恰有三条切线,∴两圆外切,
∴|C1C2|=r1+r2,即a2+b2=9*∵2≤,
∴a+b≤3(当且仅当a=b=时取“=”),
∴a+b的最大值为3*
答案 D
二、填空题(每小题5分,共10分)
5*(·北京)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为________*
解析 由题意得,圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2,圆心到直线x-y=0的距离d==*
设截得的弦长为l,则由2+()2=22,得l=2*
答案 2
6*(·江苏)设集合A=(x,y)(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B=∅,则实数m的取值范围是________*
解析 ∵A∩B≠∅,∴A≠∅,
∴m2≥*∴m≥或m≤0*显然B≠∅*
要使A∩B≠∅,只需圆(x-2)2+y2=m2(m≠0)与x+y=2m或x+y=2m+1有交点,即≤|m|或≤|m|,∴≤m≤2+*
又∵m≥或m≤0,∴≤m≤2+*
当m=0时,(2,0)不在0≤x+y≤1内*
综上所述,满足条件的m的取值范围为*
答案
三、解答题(共25分)
7*(12分)已知:
圆C:
x2+y2-8y+12=0,直线l:
ax+y+2a=0*
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程*
解 将圆C的方程x2+y2-8y+12=0化成标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2*
(1)若直线l与圆C相切,则有=2,解得a=-*
(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,
得
解得a=-7或a=-1*
故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0*
8*(13分)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,半径小于5*
(1)求直线PQ与圆C的方程;
(2)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A,B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程*
解
(1)直线PQ的方程为:
x+y-2=0,
设圆心C(a,b)半径为r,
由于线段PQ的垂直平分线的方程是y-=x-,
即y=x-1,所以b=a-1*①
又由在y轴上截得的线段长为4,知r2=12+a2,
可得(a+1)2+(b-3)2=12+a2,②
由①②得:
a=1,b=0或a=5,b=4*
当a=1,b=0时,r2=13满足题意,
当a=5,b=4时,r2=37不满足题意,
故圆C的方程为(x-1)2+y2=13*
(2)设直线l的方程为y=-x+m,A(x1,m-x1),B(x2,m-x2),
由题意可知OA⊥OB,即·=0,
∴x1x2+(m-x1)(m-x2)=0,
化简得2x1x2-m(x1+x2)+m2=0*③
由得2x2-2(m+1)x+m2-12=0,
∴x1+x2=m+1,x1x2=*
代入③式,得m2-m·(1+m)+m2-12=0,
∴m=4或m=-3,经检验都满足判别式Δ>0,
∴y=-x+4或y=-x-3*
B级 能力突破(时间:
30分钟 满分:
45分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1*(·南昌模拟)若曲线C1:
x2+y2-2x=0与曲线C2:
y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是( )*
A*B*∪
C*D*∪
解析 C1:
(x-1)2+y2=1,C2:
y=0或y=mx+m=m(x+1)*
当m=0时,C2:
y=0,此时C1与C2显然只有两个交点;
当m≠0时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1与直线y=m(x+1)有两交点,当圆与直线相切时,m=±,即直线处于两切线之间时满足题意,
则-综上知-答案 B
2*(·江西)如右图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点*那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是
( )*
解析 如图,建立直角坐标系,由题意可知,小圆O1总与大圆O相内