椭圆双曲线的经典结论.docx
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椭圆双曲线的经典结论
椭圆双曲线的经典结论
一、椭圆
1.点P处的切线PT均分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT均分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
若P0（x0,y0）在椭圆
x2
y2
1上，则过
x0x
y0y
1.
2
2
P0的椭圆的切线方程是
b2
a
b
a2
6.
若P0（x0,y0）在椭圆
x2
y2
1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为
P1、P2，则切点
a2
b2
弦PP的直线方程是
x0x
y0y
1.
1
2
a2
b2
7.
椭圆x2
y2
1（a
＞b＞0）的左右焦点分别为
F1，F2，点P为椭圆上随意一点
a2
b2
F1PF2
，则椭圆的焦点角形的面积为
SFPF
2
b2tan.
1
2
8.
椭圆x2
y2
1（a＞b＞0）的焦半径公式：
a2
b2
|MF1|
a
ex0,
|MF2|
a
ex0（
F1（c,0）
F2（c,0）M（x0,y0））.
9.
设过椭圆焦点F作直线与椭圆订交
P、Q两点，A为椭圆长轴上一个极点，连接
AP和
AQ分别交相应于焦点
F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10.
过椭圆一个焦点
F的直线与椭圆交于两点
P、Q,A、A为椭圆长轴上的极点，
AP和AQ
1
2
1
2
交于点M，AP和AQ交于点N，则MF⊥NF.
2
1
11.
AB是椭圆x2
y2
1的不平行于对称轴的弦，M（x0,y0）为AB的中点，则
a2
b2
kOM
kAB
b2
a
2，
即KAB
b2x0。
a2y0
12.
若P0（x0,y0）
x2
y2
1内，则被
Po
在椭圆
b2
所均分的中点弦的方程是
a2
x0xy0y
x02
y02
a2
b2
a2
b2.
13.
若P0（x0,y0）
x2
y
2
1
Po
在椭圆
2
b2
内，则过
的弦中点的轨迹方程是
a
x2
y2
x0x
y0y
2
2
a
2
2.
a
b
b
二、双曲线
1.点P处的切线PT均分△PF1F2在点P处的内角.
2.PT均分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线订交.
4.以焦点半径
PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆
相切.（内切：
P在右支；外切：
P在左支）
5.
若P0（x0,y0）
x2
y2
＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程
在双曲线
2
21（a＞0,b
a
b
是x0x
y0y
1.
a2
b2
6.
若P0（x0,y0）
x2
y2
1（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切
在双曲线
2
b2
a
线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
x0x
y0y
1.
a2
b2
7.
双曲线x2
y2
1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为
1
2
a2
b2
F，F，点P为双曲线上随意
一点
F1PF2
，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2
b2cot.
2
8.
双曲线x2
y2
1（a＞0,b
＞o）的焦半径公式：
（F1（
c,0）,F2（c,0）
a2
b2
当M（x0,y0）在右支上时，|MF1|ex0a,
|MF2|
ex0
a.
当M（x0,y0）在左支上时，|MF1|
ex0a,|MF2|
ex0
a
9.
设过双曲线焦点F作直线与双曲线订交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个极点，
连接AP和AQ分别交相应于焦点
F的双曲线准线于
M、N两点，则MF⊥NF.
10.
过双曲线一个焦点
F的直线与双曲线交于两点
P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的极点，
A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11.
AB是双曲线x2
y2
1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，
M（x0,y0）为AB
a2
b2
的中点，则KOM
KAB
b2x0
，即KAB
b2x0
。
a2y0
a2y0
12.
若P0（x0,y0）在双曲线
x
2
y
2
1（a＞0,b＞0）内，则被
Po所均分的中点弦的
a
2
b2
方程是x0x
y0y
x0
2
y0
2
a2
b2
a2
b2.
13.
若P0（x0,y0）在双曲线
x
2
y
2
1
（a＞0,b＞0）内，则过
Po的弦中点的轨迹方
a
2
b2
程是
x2
y2
x0x
y0y
2
2
a
2
b
2.
a
b
椭圆与双曲线的对偶性质
--（会推导的经典结论）
椭
圆
1.
椭圆x2
y2
1（a＞b＞o）的两个极点为
A1（a,0）,
A2（a,0）
，与y轴平行的直
a2
b2
线交椭圆于P
P时AP与AP交点的轨迹方程是
x2
y2
1.
1
、2
1
1
2
2
a2
b2
2.
过椭圆x2
y2
1（a
＞0,b
＞0）上任一点A（x0,y0）随意作两条倾斜角互补的直
a2
b2
线交椭圆于B,C两点，则直线
BC有定向且kBC
b2x0
（常数）.
a2y0
3.
若P为椭圆
x2
y2
1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点
F1,F2是焦点,
b2
a2
PF1F2
a
c
cot
.
PF2F1，则
tan
a
c
2
2
4.
设椭圆
x2
y2
1（a＞b＞0）的两个焦点为
F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上
a2
b2
随意一点，在△
PFF中，记
F1PF2,
PF1F2,F1F2P
，则有
1
2
sin
c
e.
sin
sin
a
5.
若椭圆x2
y2
1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1、F2，左准线为
L，则当0
a2
b2
＜e≤
21时，可在椭圆上求一点
P，使得PF是P到对应准线距离d与PF的比
1
2
例中项.
6.
P为椭圆x2
y2
1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内必定点，
a2
b2
则2a
|AF2
||PA|
|PF1|
2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成
立.
（x
x）2
（y
y
）2
7.
椭圆
0
0
1与直线Ax
By
C0有公共点的充要条件是
a
2
b2
A2a2
B2b2
（Ax0
By0
C）2.
8.
已知椭圆x2
y2
1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.
a2
b2
（1）
1
1
1
1
22
4a2b2
2
2
2
2;
（2）|OP|+|OQ|
的最大值为
a
2
b
2;（3）SOPQ
|OP|
|OQ|
a
b
a2b2
的最小值是
a2
b2.
9.
过椭圆x2
y2
1（a＞b＞0）的右焦点
F作直线交该椭圆右支于
M,N两点，弦
a2
b2
MN的垂直均分线交
x轴于P，则|PF|
e.
|MN|2
10.
已知椭圆x2
y2
1（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直均分
a2
b2
线与x轴订交于点P（x0,0）,
a
2
b2
a2
b2
则
a
x0
.
a
11.
设P点是椭圆x2
y2
1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点
F1、F2为其焦点
a2
b2
记F1PF2
，则
（1）
|PF1||PF2|
1
2b2
.
（2）
SPF1F2
b2tan
.
cos
2
12.
x2
y2
1（a＞b＞0）的长轴两头点，
P是椭圆上的一点，
设A、B是椭圆
b2
a2
PAB
PBA
BPA
，c、e
分别是椭圆的半焦距离心率，则有
（1）|PA|
2ab2|cos
|.
（2）
tan
tan1
e2.（3）SPAB
2a2b2cot.
a2
c2cos2
b2
a2
13.
已知椭圆x2
y2
1（a＞b＞0）的右准线l与x轴订交于点E，过椭圆右焦点F
a2
b2
的直线与椭圆订交于
A、B两点,点C在右准线l上，且BC
x轴，则直线AC经
过线段EF的中点.
14.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，
与以长轴为直径的圆订交，
则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直.
15.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，
则该点与焦点的连线必与焦
半径相互垂直.
16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e（离心率）.
（注:
在椭圆焦三角形中,非焦极点的内、外角均分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,心里将内点与非焦极点连线段分红定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比率中项.
双曲线
1.
双曲线x2
y2
1（a＞0,b＞0）的两个极点为A1（
a,0）,
A2（a,0），与y轴
a2
b2
平行的直线交双曲线于
P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
x2
y2
1.
a2
b2
2.
过双曲线x2
y2
1（a＞0,b＞o）上任一点
A（x0,y0）随意作两条倾斜角互
a2
b2
补的直线交双曲线于
B,C两点，则直线BC有定向且kBC
b2x0
（常数）.
a2y0
3.
x2
y2
1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除极点外的任一点
F1,
若P为双曲线
b2
a2
F
2是焦点,
PF1F2
PF2F1
，则
c
a
tan
cot
（或
c
a
c
a
2
2
cot
）.
c
tan
a
2
2
4.
x2
y2
1（a＞0,b＞0）的两个焦点为
F1
、F2,P（异于长轴端点）
设双曲线
b2
a2
为双曲线上随意一点，在△PFF
中，记
F1PF2
1
2
PF1F2
F1F2P
sin
c
e.
，则有
）
a
（sinsin
5.
x2
y2
1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为
F1、F2，左准线为L，
若双曲线
b2
a2
则当1＜e≤
2
1时，可在双曲线上求一点
P，使得PF是P到对应准线距离
1
d与PF的比率中项.
2
6.
P为双曲线x2
y2
1（a＞0,b
1
2
a2
b2
＞0）上任一点,F
F
为二焦点，A为双曲线
内必定点，则
|AF2|
2a
|PA|
|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且
P和
A,F2在y轴同侧时，等号建立.
7.
x2
y2
1（a＞0,b＞0）与直线Ax
By
C
0有公共点的充要条
双曲线
b2
a2
件是A2a2
B2b2
C2.
8.已知双曲线
x2
y2
1（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，
a2
b2
且OPOQ.
1
1
1
1
2
2
4a2b2
（1）
2
2
a
2
2;
（2）|OP|
+|OQ|
的最小值为
b
2
a
2;（3）SOPQ
|OP|
|OQ|
b
a2b2
的最小值是.
22
ba
9.
过双曲线x2
y21
（a＞0,b＞0）的右焦点
F作直线交该双曲线的右支于
a2
b2
M,N两点，弦MN的垂直均分线交x轴于P，则|PF|
e.
|MN|
2
10.
x2
y2
1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段
AB的
已知双曲线
b2
a2
x轴订交于点
P（x0,0）,
则x0
a2
b2
a2
b2
垂直均分线与
a
或x0
.
a
11.
设P点是双曲线x2
y2
1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点
F1、F2
a2
b2
F1PF2
，则
（1）
2b2
.
（2）
为其焦点记
|PF1||PF2|
1cos
SPFF
b2cot.
1
2
2
12.
设A、B是双曲线x2
y2
1
（a＞0,b＞0）的长轴两头点，P是双曲线上的
a2
b2
一点，
PAB
PBA
BPA
，c、e
分别是双曲线的半焦距
离心率，则有
（1）|PA|
2ab2|cos
|
|a2
c2cos2
.
|
（2）
tan
tan
1
2
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