双曲线经典内容.docx
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双曲线经典内容
双曲线的标准方程
知识要点：
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1||PF21|2a）。
注意：
①、上式中是差的绝对值，在02a|F1F21条件下；|PR||PF2|2a时为双曲
线的一支（含F2的一支）；|PF2||PF1|2a时为双曲线的另一支（含£的一支）；
②、当2a|F1F2|时，||PF1||PF2||2a表示两条射线；③当
||PF1||PF2||2a不表示任何图形；④两定点
焦距。
椭圆和双曲线比较：
椭
|PF1||PF2|
2
x
~2
a
2a
F1,F2叫做双曲线的焦点，
IF1F2I时，|F1F2|叫做
定义
方程
焦占
八'、八\、
2
y
F（c,0）
2a（2a
2
x
b7
圆
IF1F21）
2
L1
2
a
2x~2a
双曲
||PF1||PF2||2a（2a
2
y_1
b21
2y
2a
线
IF1F2I）
2
乙1
b21
（2）
双曲线的性质
①、范围：
从标准方程
a
侧。
即x2a2，x
2
②、对称性：
双曲线务
a
称轴，原点是双曲线
F（0,c）
F（c,0）
F（0,c）
2
--y21，看出曲线在坐标系中的范围：
双曲线在两条直线xa的外
b2
a即双曲线在两条直线xa的外侧。
2
y_
b2
2
x
~2
a
1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对
2
1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
b2
③、顶点：
双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
轴，所以令y0得xa，因此双曲线和
2
x
~~2
a
22
在双曲线笃与1的方程里，对称轴是x,y
ab
x轴有两个交点A（a,0）A2（a,0），他们是双曲线
2
1的顶点。
b2
1）注意：
双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：
线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：
线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长
4、渐近线：
注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲
22
线的渐近线。
从图上看，双曲线—丿y1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接
a2b2
近。
5、等轴双曲线：
1）定义：
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式：
ab；
2）等轴双曲线的性质：
（1）渐近线方程为：
yx；
（2）渐近线互相垂直
注意：
以上几个性质与定义式彼此等价。
亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：
x2寸（0）
当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上
2222注意乞乙i与1169916
有焦点所在的坐标轴也变了。
（3）、理解双曲线应注意的几点
1、椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据•同样，双曲线的离心率是描述双曲
线“张口”大小的一个重要数据，由于
从接近1逐渐增大时，
的值就从接近
逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大．
2、要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．
把标准方程
中的“1”用
替换即可得出渐近线方程．
3、已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：
①、渐近线方程为
的双曲线的方程为：
且为常数）
②、与双曲线
有共同渐近线的双曲线的方程
可设为
且为常数）
例题：
1已知圆C:
（x3）2y24,定点A（-3,0），则过定点A且与圆C外切的动圆圆心P
的轨迹方程
3
2、双曲线的渐近线方程为y=-x,则双曲线的离心率为
4
22
3、若kR,试写出方程=1表示双曲线的一个充分不必要条件
k3k3
22
4、已知圆C过双曲线—-^=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到
916
双曲线中心的距离是
22
5、已知曲线方程为X+_^=i，当k的取值范围是时，方程表示双曲线。
k25k
22
6、已知双曲线—-^=1的焦点为Fi、F2,点M在双曲线上且MRx轴，则Fi到直线F2M
63
的距离为
7、一条双曲线x2-y2=1的左焦点为Fi，点P在双曲线左支的下半支上（不含左顶点），
则直线PF1的斜率的取值范围是
22
xy
8、双曲线-=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1PF2,则点P到
916
x轴的距离为
2
9、设F1和F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足F^F2=60，
4
贝yf1pf2的面积为
22
10、已知双曲线务-£=1（a>0,b>0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双
a2b2
曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
x2y2
11、双曲线—-亍=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30的直
ab
线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为
2
x
12、若F1、F2为双曲线—
a
线的离心率为（）
.3
14、求适合下列条件的双曲线标准方程：
53
（1）虚轴长为12,离心率为一
（2）顶点间距离为6,渐近线方程为y=-x
42
15、已知圆C:
x2y2
（3）求与双曲线x22y21有公共渐近线，且过点M（2,-2）的双曲线方程。
6x4y80.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦
点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为?
322
16、已知双曲线的渐近线方程为y=x,且焦点都在圆xy100上，求双曲线方程
4
个公共点。
18、双曲线的中心在原点，实轴在
x轴上，且与圆x2y25交于点P（2，-1）。
如果过点
P的圆的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴的上端点的连线，求双曲线的方程
19、已知双曲线的中心在原点，焦点F,、F2在坐标轴上，离心率为2且过点（4，-"0）
（1）求双曲线方程
（3）求F,MF2的面积
（1）求双曲线C的方程；
（2）P是双曲线C上一点A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限,
—-一1
若APPB,,2，求AOB面积的取值范围
3
21、已知三点P（5，2）、F1（-6,0）、F2（6,0）。
（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P、F；、F?
，求以F；、F?
为焦点且过点P的双曲线的标准方程.
习题练习：
1•动点P到点M（1,0）及点N（3,0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）
A•双曲线B•双曲线的一支C•两条射线D•一条射线
2.设双曲线的半焦距为c,两条准线间的距离为d，且cd，那么双曲线的离心率e等于（）
A•2B•3C.、2D•、3
3•过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点”PFiQ-，则双曲线的离心率e等于（）
A...21B.,2C.21
4.双曲线
2mx
2
y
1的虚轴长是实轴长的2倍，则m（）
1
1
A.
—
B.4C.4
D.-
4
4
2
2
5.双曲线
x
2
y
1（a,b0）的左、右焦点分别为
F1，F2，点P为该双曲线在第象限
a
b2
2,则该双曲线的方程为
1
的点，△PF1F2面积为1,且tanPF1F2,tanPF2F1
2
（）
22
&若曲线—y1表示双曲线，则k的取值范围是
4k1k
9.若双曲线
2
J1的渐近线方程为y
m
9，则双曲线的焦点坐标是
10.双曲线与椭圆有共同的焦点F1（0,5）,F2（0,5），点P（3,4）是双曲线的渐近线与椭圆的一
个交点，求渐近线与椭圆的方程。
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