双曲线经典试题.doc

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双曲线习题精选精讲

（1）双曲线定义——与椭圆相伴相离.

双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中.

从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三：

1.按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数（小于两定点间的距离），而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数（大于两定点间的距离）；

2.按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（e＞1），而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（0＜e＜1）；

3.按主要参数a、b、c之间的关系，双曲线要求c2=a2+b2

.而椭圆则要求a2=b2+c2

.

【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）

A.B.C.D.

【解析】椭圆的长半轴为

双曲线的实半轴为

，故选A.

【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.

【例2】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为

【分析】待求式中的是什么？

是双曲线离心率的

倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.

【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率

右准线为.作于N，交双曲线右支于P，

连FP，则.此时

为最小.

在中，令，得取.所求P点的坐标为.

（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯

对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.

双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.

【例3】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是

【解析】设所求双曲线为

点（1，3）代入：

.代入

（1）：

即为所求.

【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.

（3）共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄

将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：

.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.

【例4】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：

=1.

【证明】双曲线的离心率；

双曲线的离心率.

∴.

（4）等轴双曲线——和谐对称与圆同美

实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.

【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.

【证明】如图设等轴双曲线方程为，

直线CD：

y=m.代入

（1）：

.故有：

.

取双曲线右顶点.那么：

.即∠CBD=90°.

同理可证：

∠CAD=90°.

●通法特法妙法

（1）方程法——为解析几何正名

解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.

【例6】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该

双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双

曲线的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）

【解析1】设AB交x轴于M，并设双曲线半焦距为c，∵△是等边三角形，∴点代入双曲线方程：

.化简得：

.

（∵e＞1，∴及舍去）故选D.

【解析2】连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令由直角三角形性质知：

.

∵.

∵e﹥1，∴取.选D.

【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.

（2）转换法——为解题化归立意

【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是（）

A.e>B.1

【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就

考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，

但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线

的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的

渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与

之相交.故有如下妙解.

【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线

的倾斜角为β.显然。

当β＞α时直线与双曲线的两

个交点分别在左右两支上.由

.

∵双曲线中，故取e>.选D.

（3）几何法——使数形结合带上灵性

【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）

A． B． C. D．

【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：

.设；

于是，

故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°.

∴.选B.

【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前

不曾想到的吧？

可是，这一美妙的结果不是每个考生都能

临场发现的.

将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维

能力，这正是命题人的高明之处.

（4）设而不求——与借舟弃舟同理

减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：

【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）

A.B.C.D.

【解析】设弦的两端分别为.则有：

.

∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率.

则所求直线方程为：

，故选C.

“设而不求”具体含义是：

在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.

但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：

【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？

如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.

如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：

【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：

A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：

.

∵M（1，1）为弦AB的中点，

∴

故存在符合条件的直线AB，其方程为：

.

这个结论对不对呢？

我们只须注意如下两点就够了：

其一：

将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：

所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.

问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.

【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由

这里，故方程

（2）无实根，也就是所求直线不合条件.

此外，上述解法还疏忽了一点：

只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.

结论；不存在符合题设条件的直线.

（5）设参消参——换元自如地阔天宽

一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.

【例11】如图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.

（Ⅰ）求双曲线的标准方程；

（Ⅱ）若过点的直线与双曲线的左右

两支分别交于、两点，设，当

时，求直线的斜率的取值范围.

【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF的中点M

的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到

点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向

第（Ⅱ）中，直线的斜率是主要变量，其它包括λ都是辅助变量.斜率的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.

【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：

.其左焦点为F（-c。

0）；左准线：

.

由，得P（，1）；由

FP的中点为.代入双曲线方程：

根据

（1）与

（2）.所求双曲线方程为.

（Ⅱ）设直线的参数方程为：

.代入得：

当，方程（3）总有相异二实根，设为.

已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，∴

，.于是：

.注意到在上是增函数，

（4）代入（5）：

∵双曲线的渐近线斜率为，故直线与双曲线的左右两支分别交必须

.综合得直线的斜率的取值范围是.

双曲线

1已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P（6，6）

（1）求双曲线方程

（2）动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论

解

（1）如图，设双曲线方程为=1由已知得,解得a2=9,b2=12所以所求双曲线方程为=1

（2）P、A1、A2的坐标依次为（6,6）、（3，0）、（－3，0），∴其重心G的坐标为（2，2）

假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，设M（x1,y1），N（x2,y2）则有

，∴kl=∴l的方程为

y=（x－2）+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在

2．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？

若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

错解设符合题意的直线存在，并设、

则

（1）得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将（4）、（5）代入（3）得

若，则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。

其方程为剖析在（3）式成立的前提下，由（4）、（5）两式可推出（6）式，但由（6）式不能推出（4）（5）两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

应在上述解题的基础上，再由

得根据,说明所求直线不存在。

3已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且

（1）求直线AB的方程；

（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？

为什么？

解：

（1）设直线AB：

代入得（＊）

令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根∴且

∵∴N是AB的中点∴

∴k=1∴AB方程为：

y=x+1

（2）将k=1代入方程（＊）得或由得，∴，∵∴CD垂直平分AB∴CD所在直线方程为

即代入双曲线方程整理得令，及CD中点则，，∴，

|CD|=，，即A、B、C、D到M距离相等

∴A、B、C、D四点共圆