第一讲勾股定理及勾股定理逆定理.docx

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第一讲勾股定理及勾股定理逆定理

第一讲勾股定理及勾股定理逆定理

一、知识梳理

1、勾股定理：

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

2、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足关系，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：

满足

的三个，称为勾股数。

4、常用勾股数：

356

789

91215

5、直角三角形斜边上的高等于。

二、精讲精练

1.三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_______

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则BC=　　　　,S△ABC=　　　　,斜边AB上的高CD=　　　　.

3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A.24cm2B.36cm2

C.48cm2D.60cm

4.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）

A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里

5.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

6.如图,一棵10m高的树在一次台风中被刮断,求这棵树从几米处折断?

7.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形和一个边长为c的正方形,四个直角三角形的两直角边长分别是a,b,斜边长为c,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.

（1）画出拼成的图形的示意图;

（2）证明勾股定理.

8.如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图3，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了多少米?

9.在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A'处,则AE的长为。

10.如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）．

A．3B．4C．5D．6

11.△ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=___________．

12.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.以上答案都不对

13.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________.

14.某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定公路相距25km的A，B两站之间E点修建一个土特产加工基地，如图，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要使C、D两村到E点的距离相等，那么基地E应建在离A站多少km的地方？

15.已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD,如图所示.现计划在该空地上种植草皮,经测量∠B=90°,AB=400m,AD=1300m,CD=1200m,BC=300m,请计算种植草皮的面积.

16.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

17.若a、b、c为△ABC的三边长,且a、b、c满足等式（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0.

（1）求出a、b、c的值;

（2）△ABC是直角三角形吗?

请说明理由.

18.如图，△ABC中，AB=10,BC=9,AC=17，求△ABC的面积。

19.已知

与

互为相反数，试判断以

为三边的三角形的形状.

20.如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D'处,BC交AD'于点E,AB=6cm,BC=8cm,求阴影部分的面积.

三、拔高培优

1.如图，在直线

上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=（）

A3.65B2.42C2.44D2.65

2.若

的三边长

满足条件

，试判断

的形状。

3.如图，

和

都是等边三角形，

，试说明：

4.在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF。

（1）说明：

若BE=12,CF=5，试求

的面积。

四、课后作业

1.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（　　）

A.13　　B.26　　C.47　　D.94

2.已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三条边边长的平方为（　　）

A.25　　B.7　　C.7或25　　D.不确定

3.如图,一个长为2.5米的梯子,一端放在离墙角1.5米处,另一端靠墙,则梯子顶端距离墙角（　　）

A.0.2米　　　B.4米

C.2米　　　　D.4米

4.将一根24cm的筷子置于底面直径为15cm,高为8cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外的长度为hcm,则h的取值范围是（　　）

A.h≤17　　B.h≥8　　C.15≤h≤16　　D.7≤h≤16

5.如图1-1-8,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行（　　）

A.8米　　B.10米　　C.12米　　D.14米

6.如图,每个小正方形的边长为1,△ABC的三边a,b,c的大小关系是（　　）

A.a

7.已知:

如图1-1-11,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则阴影部分的面积为。

8.如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是（　　）

A.3cm　　B.4cm　　C.5cm　　D.6cm

9.如图,以△ABC的三边为直径分别向三角形外侧作半圆,其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积,则此三角形的形状为。

10.分别以下列四组数为一个三角形的边长:

（1）0.6,0.8,1;

（2）5,12,13;（3）8,15,17;（4）4,5,6.其中能构成直角三角形的勾股数的组数为（　　）

A.1　　B.2　　C.3　　D.4

11.已知一直角三角形的木板,三边的平方和为800cm2,则斜边长为（　　）

A.40cm　　B.20cm　　C.80cm　　D.30cm

12.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则有（　　）

A.b2+c2=a2B.c2=3b2C.3a2=2c2D.c2=2b2

13如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以AC为直径的圆恰好过点B.若AB=8,BC=6,则阴影部分的面积是（　　）

A.100π-24　　B.100π-48　　C.25π-24　　D.25π-48

14在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动,则BP的最小值是. 

15.如图，是一个直角三角形纸片,∠C=90°,BC、AC的长分别为3cm、4cm.现要给它再拼接一个直角三角形纸片,两纸片不重叠且无缝隙,使得拼成的图形形状是等腰三角形,则拼接成的等腰三角形的周长为. 

16.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是（　　）

17.能够成为直角三角形的三边长的三个整数称为勾股数,观察下面的几组勾股数:

由勾股数3、4、5有32=9=4+5=2×1×2+5;

由勾股数5、12、13有52=25=12+13=2×2×3+13;

由勾股数7、24、25有72=49=24+25=2×3×4+25;

由勾股数9、40、41有92=81=40+41=2×4×5+41.

可以发现,在一组勾股数中,当最小的数为奇数时,它的平方恰好等于另外两数之和,用关于n的代数式表示第n组的勾股数应为、、. 

18.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,

（1）求四边形ABCD的面积;

（2）求∠ABC的度数.

19.如图，铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，若DA=10km,CB=15km，现要在AB上建一个周转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？

20.“交通管理条例”规定：

小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置A处正前方30米的C处，过了2秒后，测得小汽车所在位置B处与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？