全等三角形经典模型总结材料.docx

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全等三角形经典模型总结材料

全等三角形相關模型總結

一、角平分線模型

（一）角平分線の性質模型

輔助線：

過點G作GE⊥射線AC

A、例題

1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那麼點D到直線ABの距離是cm.

2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：

AP平分∠BAC.

B、模型鞏固

1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：

∠A＋∠C＝180°.

（二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現

A、例題

輔助線：

延長ED交射線OB於F輔助線：

過點E作EF∥射線OB

例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BACの平分線，BE⊥AD於F.

求證：

.

例2、如圖，在△ABC中，∠BACの角平分線AD交BC於點D，且AB＝AD，作CM⊥AD交ADの延長線於M.求證：

.

（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全

兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC.

A、例題

1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC於P，BQ平分∠ABC交AC於Q，求證：

AB＋BP＝BQ＋AQ.

2、如圖，在△ABC中，AD是∠BACの外角平分線，P是AD上異於點Aの任意一點，試比較PB＋PC與AB＋ACの大小，並說明理由.

B、模型鞏固

1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BACの平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.

求證：

AB－AC＞PB－PC.

2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠Bの平分線交AC於D，

求證：

AD＋BD＝BC.

3、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠Aの平分線交BC於D，

求證：

AC＋CD＝AB.

二、等腰直角三角形模型

（一）旋轉中心為直角頂點，在斜邊上任取一點の旋轉全等：

操作過程：

（1）將△ABD逆時針旋轉90°，得△ACM≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形.

（2）輔助線作法：

過點C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結AM.

（二）旋轉中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動の旋轉全等：

操作過程：

連結AD.

（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導出△BDF≌△ADE.

（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，導出△BDF≌△ADE.

A、例題

1、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN＝45°，試探究BM、MN、CN之間の數量關係.

2、兩個全等の含有30°，60°角の直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BDの中點M，連接ME、MC.

試判斷△EMCの形狀，並證明你の結論.

B、模型鞏固

1、已知，如圖所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC中點，若M、N分別線上段AC、AB上移動，且在移動中保持AN＝CM.

（1）試判斷△OMNの形狀，並證明你の結論.

（2）當M、N分別線上段AC、AB上移動時，四邊形AMONの面積如何變化？

2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF為多少度.

（三）構造等腰直角三角形

（1）利用以上

（一）和

（二）都可以構造等腰直角三角形（略）；

（2）利用平移、對稱和絃圖也可以構造等腰直角三角形.

（四）將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：

A、例題應用

1、如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為三角形ABC內部一點，

滿足PB＝PC，AP＝AC，求證：

∠BCP＝15°.

三、三垂直模型（弦圖模型）

A、例題

已知：

如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點，AF⊥BD於點E，交BC於F，連接DF.

求證：

∠ADB＝∠CDF.

變式1、已知：

如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM於E，交BC於F，連接NF.

求證：

（1）∠AMB＝∠CNF；

（2）BM＝AF＋FN.

變式2、在變式1の基礎上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交於點P，

求證：

（1）PM＝PN；

（2）PB＝PF＋AF.

四、手拉手模型

1、△ABE和△ACF均為等邊三角形

結論：

（1）△ABF≌△AEC.

（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.

（3）OA平分∠EOF.（四點共圓證）

拓展：

△ABC和△CDE均為等邊三角形

結論：

（1）AD＝BE；

（2）∠ACB＝∠AOB；

（3）△PCQ為等邊三角形；

（4）PQ∥AE；

（5）AP＝BQ；

（6）CO平分∠AOE；（四點共圓證）

（7）OA＝OB＋OC；

（8）OE＝OC＋OD.

（（7），（8）需構造等邊三角形證明）

例、如圖①，點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．

（1）求證：

△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CMの值最小，則稱點M為△ABCの費爾馬點．若點M為△ABCの費爾馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMAの度數；

（3）小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費爾馬點の簡便方法：

如圖②，分別以△ABCのAB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M即為△ABCの費爾馬點．試說明這種作法の依據．

2、△ABD和△ACE均為等腰直角三角形

結論：

（1）BE＝CD；

（2）BE⊥CD.

3、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形

結論：

（1）BD＝CF；

（2）BD⊥CF.

變式1、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，AS⊥BC交FD於T，

求證：

（1）T為FD中點；

（2）

.

變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點，TA交BC於S，

求證：

AS⊥BC.

4、如圖，以△ABCの邊AB、AC為邊構造正多邊形時，總有：

五、半角模型

條件：

兩邊相等.

思路：

1、旋轉

輔助線：

①延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF

②將△ADN繞點A順時針旋轉90°得△ABF，注意：

旋轉需證F、B、M三點共線

結論：

（1）MN＝BM＋DN；

（2）

；

（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND.

2、翻折（對稱）

輔助線：

①作AP⊥MN交MN於點P

②將△ADN、△ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線.

A、例題

例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN＝BM＋DN，

求證：

（1）∠MAN＝45°；

（2）

；

（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM.

變式：

在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分別在邊CB、DCの延長線上移動，

AH⊥MN，垂足為H，

（1）試探究線段MN、BM、DN之間の數量關係；

（2）求證：

AB＝AH

例2、在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，且滿足EF＝BE＋DF，求證：

.

變式：

在四邊形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，且

，求證：

EF＝BE＋DF.