实际应用问题精讲中考数学高频考点突破全攻略解析版.docx
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实际应用问题精讲中考数学高频考点突破全攻略解析版
【课标解读】
实际应用问题是以贴近现实生活中的话题为背景，运用方程与不等式、函数与不等式等来解决的一类实际生活中的问题，这类问题往往文字信息量大，背景复杂，要求学生具有较强的阅读、收集信息及建立模型的能力，从而解决问题．
【解题策略】
实际应用问题解决的关键是理解题意，从中找出等量关系、不等关系或函数关系，建立数学模型来解决，当信息量较大，可以借助图表等方式帮助理解．
【考点深剖】
★考点一方程与不等式的综合应用
【典例1】（2018•湘潭）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？
最少是多少元？
【分析】
（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；
（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．
（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，
根据题意得，意，
，
∴50≤y≤52，
∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3种方案；
即：
温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
根据题意，费用为50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000，
当y=52时，所需资金最少，最少是9800元．学科&网
★考点二函数与方程的综合应用
【典例2】（2018•陕西•8分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国，小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：
商品
红枣
小米
规格
1kg/袋
2kg/袋
成本（元/袋）
40
38
售价（元/袋）
60
54
根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4．2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；
（2）根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg．假设这后五个月，销售这种规格的红枣味x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．
【答案】
（1）前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500袋，销售小米750袋；
（2）小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元．
【详解】
（1）设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣a袋，销售小米b袋，
根据题意得：
，解得：
，
答：
前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500袋，销售小米750袋；
（2）根据题意得：
y＝（60－40）x＋（54－38）×
＝12x＋16000，
∵k=12>0，∴y随x的增大而增大，
∵x≥600，∴当x＝600时，y取得最小值，
最小值为y＝12×600＋16000＝23200，
∴小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元．
★考点三函数与不等式的应用
【典例3】（2018•青岛）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
【分析】
（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题；
★考点四函数的综合应用
【典例4】（2018•眉山）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y=
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？
最大利润是多少元？
（利润=出厂价﹣成本）
【分析】
（1）把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
①0≤x≤6时，w=（4﹣2）×34x=68x，当x=6时，w最大=408（元）；
②6＜x≤10时，w=（4﹣2）×（20x+80）=40x+160，
∵x是整数，
∴当x=10时，w最大=560（元）；
③10＜x≤20时，w=（4﹣0.1x﹣1）×（20x+80）=﹣2x2+52x+240，
∵a=﹣3＜0，
∴当x=﹣
=13时，w最大=578（元）；
综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578．
★考点五方程、不等式、函数综合应用
【典例5】（2018•温州）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．
（1）根据信息填表
产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可获利润（元）
甲
15
乙
x
x
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．
【分析】
（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据
（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可；
（3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式，用x表示总利润利用二次函数性质讨论最值．
（2）由题意
15×2（65﹣x）=x（130﹣2x）+550
∴x2﹣80x+700=0
解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去）
∴130﹣2x=110（元）
答：
每件乙产品可获得的利润是110元．
【讲透练活】
变式1：
（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．
（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？
（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1：
2，且里程数之比为2：
1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：
从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
【分析】
（1）根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列不等式可得结论；
（2）先根据道路硬化和道路拓宽的里程数之比为2：
1，设未知数为2x千米、x千米，列方程可得各自的里程数，同理可求得每千米的道路硬化和道路拓宽的经费，最后根据题意列方程，并利用换元法解方程可得结论．
【解答】解：
（1）设道路硬化的里程数是x千米，则道路拓宽的里程数是（50﹣x）千米，
根据题意得：
x≥4（50﹣x），
解得：
x≥40．
答：
原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米．
由题意得：
13（1+a%）•40（1+5a%）+26（1+5a%）•10（1+8a%）=780（1+10a%），
设a%=m，则520（1+m）（1+5m）+260（1+5m）（1+8m）=780（1+10m），
10m2﹣m=0，
m1=0.1，m2=0（舍），
∴a=10．
变式2：
（2018•郴州）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
【分析】
（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【解答】解：
（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，
根据题意得：
，
解得：
．
答：
A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．
（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，
根据题意得：
16a+4（100﹣a）≤900，
解得：
a≤
．
∵a为整数，
∴a≤41．
答：
A种奖品最多购买41件．学科&网
变式3：
（2018·吉林长春·8分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．
（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．
（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．
（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为 分钟．
【解答】解：
（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5分钟；
（2）设y=kx+b（k≠0）
把（3，15）（5.5，25）代入
解得
∴当3≤x≤5.5时，y与x之间的函数关系式为y=4x+3
变式4：
（2018•十堰）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？
最大利润是多少？
【分析】
（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；
（2）根据题意可以得到利润与x之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．
【解答】解：
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
，得
，
即y与x之间的函数关系式是y=﹣0.5x+110；
（2）设合作社每天获得的利润为w元，
w=x（0.5x+110）﹣20（0.5x+110）=0.5x2+100x﹣2200=0.5（x+100）2﹣7200，
∵60≤x≤150，
∴当x=150时，w取得最大值，此时w=24050，
答：
房价定为150元时，合作社每天获利最大，最大利润是24050元．
变式5：
（2018•威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：
提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
【解答】解：
（1）设直线AB的解析式为：
y=kx+b，
代入A（4，4），B（6，2）得：
，
解得：
，
∴直线AB的解析式为：
y=﹣x+8，
同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：
y=﹣
x+5，
∵工资及其它费用为：
0.4×5+1=3万元，
∴当4≤x≤6时，w1=（x﹣4）（﹣x+8）﹣3=﹣x2+12x﹣35，（
当6≤x≤8时，w2=（x﹣4）（﹣
x+5）﹣3=﹣
x2+7x﹣23；
（2）当4≤x≤6时，
w1=﹣x2+12x﹣35=﹣（x﹣6）2+1，
∴当x=6时，w1取最大值是1，（8分）
当6≤x≤8时，
w2=﹣
x2+7x﹣23=﹣
（x﹣7）2+
，
当x=7时，w2取最大值是1.5，
∴
=
=6
，
即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．
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