《集合的含义及其表示》知识梳理.docx
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《集合的含义及其表示》知识梳理
集合的含义及其表示
一、集合
1．集合
某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是
集合A的元素，记作bA；
（2）集合中的元素必须满足：
确定性、互异性与无序性；
确定性：
设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的
元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：
一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对
象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：
集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列
顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：
把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）
范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N;
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R。
2•集合的包含关系
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或AB）;
集合相等：
构成两个集合的元素完全一样。
若AB且BA，则称A等于B,记作A=B;若AB且A闿，则称A是B的真子集，记作A貝B;
（2）简单性质：
1）AA;2）A;
（3）若AB，BC,则AC;
（4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n-1个真子集）；
3•全集与补集
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U;
（2）若S是一个集合，AS,贝U,Cs={x|xS且xA}称S中子集A的
补集；
（3）简单性质：
1）CS（CS）=A；2）CSS=，CS=S
4．交集与并集
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合
A与B的交集。
交集AB{x|xA且xB}。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为
集合A与B的并集。
并集AB{x|xA或xB}。
注意：
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，
区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5
1）
A
A
A,A
A
B
BA;
2）
A
A,A
BBA
;
3）
（A
B）
（A
B）;
4）
A
B
A
BA;A
B
ABB；
5）
CS（
AnB）=（
（CsA）U
（C
SB），CS（AUB）
=（CsA）n（CsB）o
．集合的简单性质
、函数
1．函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:
AfB为从集合A到集合B的一个函数。
记作：
y=f（x）,x€A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）|x€A｝叫做函数的值域。
注意：
（1）“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；
（2）函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
2．构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
1自然型：
指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如:
分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
2限制型：
指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
3实际型：
解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
1配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）：
④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图像等）。
3．两个函数的相等
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示。
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：
AB”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不
同的•其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：
一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
6.常用的函数表示法
（1）解析法：
就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：
就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图像法：
就是用函数图像表示两个变量之间的关系。
7.分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这
种函数又称分段函数；
8.复合函数
若y=f（u），u=g（x）,x（a，b），u（m,n），那么y=f[g（x）]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g（x）的值域。
三、函数性质
1.奇偶性
（1）定义：
如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（-x）=—f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（—x）=f（x），则称f（x）为偶函数。
如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f（X）既是奇函数，又是偶函数。
注意：
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个X，则—X也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
2确定f（—X）与f（x）的关系；
3作出相应结论：
若f（—X）=f（x）或f（—x）—f（x）=0，则f（x）是偶函数；
若f（—X）=—f（x）或f（—X）+f（x）=0，则f（x）是奇函数。
（3）简单性质：
1图像的对称性质：
一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴对称；
2设f（x），g（x）的定义域分别是Di,D2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2．单调性
（1）定义：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内的
某个区间D内的任意两个自变量X1,X2，当X1VX2时，都有f（Xl）Vf（X2）
（f（X1）>f（X2））,那么就说f（X）在区间D上是增函数（减函数）；
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2必须是对于区间D内的任意两个自变量X1，X2；当X1f（X1）（2）如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（X）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（X）的单调区间。
（3）设复合函数y=f[g（x）]，其中u=g（x）,A是y=f[g（x）]定义域的某个区间，B是映射g:
x-u=g（x）的象集：
1若u=g（x）在A上是增（或减）函数，y=f（u）在B上也是增（或减）函数，贝U函数y=f[g（x）]在A上是增函数；
2若u=g（x）在A上是增（或减）函数，而y=f（u）在B上是减（或增）函数,则函数y=f[g（x）]在A上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1任取X1，X2€D，且X12作差f（X1）－f（X2）；
3变形（通常是因式分解和配方）；
4定号（即判断差f（Xi）—f（X2）的正负）；
5下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）
（5）简单性质
1奇函数在其对称区间上的单调性相同；
2偶函数在其对称区间上的单调性相反；
3在公共定义域内：
增函数f（x）增函数g（x）是增函数;减函数f（X）减函数g（X）是减函数；增函数f（x）减函数g（x）是增函数;减函数f（x）增函数g（x）是减函数。
3．最值
（1）定义
最大值：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x€I，都有f（x）WM;②存在xo€I，使得f（xo）=M。
那么，称M是函数y=f（x）的最大值。
最小值：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x€I，都有f（x）>M;②存在xo€I，使得f（xo）=M。
那么，称M是函数y=f（x）的最大值。
注意：
1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在Xo€I,使得f（xo）=M;
2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x€I,
都有f（x）WM（f（x）>M）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
2利用图象求函数的最大（小）值；
3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c］上单调递减则函数
y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；
如果函数y=f（x）在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数
y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；
4•周期性
（1）定义：
如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,
都有f（x+T）=f（x）,则称f（x）为周期函数；
（2）性质：
①f（x+T）=f（x）常常写作f（x中）f（x£）,若f（x）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期；②若周期函数f（x）的周期为T,则f（cox）（①丸）是周期函数，且周期为占。
5.函数图象
（1）作图方法：
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法
和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点
作函数图象的步骤：
①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。
而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。
（2）三种图象变换：
平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
1平移变换：
I、水平平移：
函数yf（xa）的图像可以把函数yf（x）的图像沿x轴方向向左（a0）或向右（a0）平移|a|个单位即可得到；
左移h右移h
1）y=f（x）y=f（x+h）；2）y=f（x）y=f（xh）；
U、竖直平移：
函数yf（x）a的图像可以把函数yf（x）的图像沿x轴方向向上（a0）或向下（a0）平移|a|个单位即可得到；
上移h下移h
1）y=f（x）y=f（x）+h；2）y=f（x）y=f（x）h。
2对称变换：
I、函数yf（x）的图像可以将函数yf（x）的图像关于y轴对称即可得
y轴
到；y=f（x）y=f（x）
U、函数yf（x）的图像可以将函数yf（x）的图像关于x轴对称即可得
X轴
到；y=f（x）y=f（x）
川、函数yf（x）的图像可以将函数yf（x）的图像关于原点对称即可得
原点
到；y=f（x）y=f（x）
W、函数xf（y）的图像可以将函数yf（x）的图像关于直线yx对称得
直线yx
到。
y=f（x）x=f（y）
V、函数yf（2ax）的图像可以将函数yf（x）的图像关于直线xa对称即可得到；
直线xa
y=f（x）y=f（2ax）。
3翻折变换：
I、函数y|f（x）|的图像可以将函数yf（x）的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留yf（x）的x轴上方部分即可得到；
y〔
yj
y=f（x）
\1■f
y=|f（x）|
\1
•
¥
'W『
a0
6一?
c咳
ao
bcx
U、函数yf（|x|）的图像可以将函数yf（x）的图像右边沿y轴翻折到y
轴左边替代原y轴左边部分并保留yf（x）在y轴右边部分即可得到
yj
1
i
J
y=f（x）
\+
\1
\
y」
I/
i/
i-■
y=f（|x|）
\1
\J
~o
bc—
\7
ao
b「C*x
4伸缩变换：
I、函数yaf（x）（a0）的图像可以将函数yf（x）的图像中的每一点横坐
标不变纵坐标伸长（a1）或压缩（0a1）为原来的a倍得到；
ya
y=f（x）y=af（x）
U、函数yf（ax）（a0）的图像可以将函数yf（x）的图像中的每一点纵坐
1
标不变横坐标伸长（a1）或压缩（0a1）为原来的-倍得到。
a
xa
f（x）y=f（x）y=f（ax）
（3）识图：
分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。
6.方程的根与函数的零点
（1）函数零点
概念：
对于函数yf（x）（xD），把使f（x）0成立的实数x叫做函数
yf（x）（xD）的零点。
函数零点的意义：
函数yf（x）的零点就是方程f（x）0实数根，亦即函数yf（x）的图象与x轴交点的横坐标。
即：
方程f（x）0有实数根函数
yf（x）的图象与x轴有交点函数yf（x）有零点。
二次函数yax2bxc（a0）的零点：
1）A>0,方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两
个交点，二次函数有两个零点；
2）厶=0，方程ax2bxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
3）AvO,方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：
如果函数yf（x）在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么函数yf（x）在区间（a,b）内有零点。
既存在
c（a,b），使得f（c）0，这个c也就是方程的根。
7.二分法
二分法及步骤：
对于在区间［a，b］上连续不断，且满足f（a）••（b）0的函数yf（x），通
过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数f（x）的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间［a，b］，验证f（a）・f（b）0,给定精度；
（2）求区间（a，b）的中点x1；
（3）计算f（x1）：
1若f（xj=0，贝U人就是函数的零点；
2若f（a）••（x1）<0，则令b=&（此时零点X。
（a,xj）;
3若f（Xi）・f（b）<0,则令a=Xi（此时零点Xo（Xi,b））;
（4）判断是否达到精度；
即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）;否则重复步骤2~4。
注：
函数零点的性质
从“数”的角度看：
即是使f（x）0的实数；从“形”的角度看：
即是函数
f（x）的图象与x轴交点的横坐标；
若函数f（x）的图象在XXo处与x轴相切，则零点Xo通常称为不变号零点；若函数f（X）的图象在XXo处与X轴相交，则零点Xo通常称为变号零点。
注：
用二分法求函数的变号零点：
二分法的条件f（a）••（b）o表明用二分
法求函数的近似零点都是指变号零点。
8.二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：
y=ax2+bx+c；y=a（x—xi）（x—X2）；y=a（x
—xo）2+n。
1
（2）
若一
b
2a则f（p）=m，
f（q）=M；
当a>o,f（x）在区间［p,q［上的最大值M,最小值m,令xo=-（p+q）
若p<2a2a
若xo-b
若—一刊，则f（p）=M，f（q）=m。
（3）二次方程f（x）=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。
①方程f（x）=O的两根中一根比r大，另一根比r小af（r）<0；
2
b4ac0,
2二次方程f（x）=0的两根都大于r—r,
a
af（r）0
2
③二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根
2a
q,
b4ac0,
af（q）0,af（p）0；
4
f（p）f（q）<0,或f（p）=0（检验）
二次方程f（x）=0在区间（p,q）内只有一根
或f（q）=0（检验）检验另一根若在（p,q）内成立。
四、基本函数
1.指数与对数运算
（1）根式的概念：
①定义：
若一个数的n次方等于a（n1,且nN），则这个数称a的n次方根。
即若xna，则x称a的n次方根n1且nN）,
1）当n为奇数时，a的n次方根记作n.a；
2）当门为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相
反数，记作n.a（a0）。
②性质：
1）（na）na;2）当n为奇数时，n.ana;3）当n为偶数时,
a（a0）
。
a（a0）
（2）幕的有关概念
1规定：
1）anaaa（nN*;
n个
2）a01（a0）;
1m——
3）ap—-（pQ,4）an2am（a0,m、nN*且n1）
ap
2性质：
1）arasars（a0,r、sQ）；
2）（ar）sars（a0,r、sQ）;
3）（ab）rarbr（a0,b0,rQ）。
注：
上述性质对r、sR均适用。
（3）对数的概念
①定义：
如果a（a0,且a1）的b次幕等于N，就是abN，那么数b称以a为底N的对数，记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN;
2）以无理数e（e2.71828）为底的对数称自然对数，logeN，记作InN;
②基本性质:
1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）loga10;
3）logaa1;4）对数恒等式：
a'°9aNN。
3运算性质：
如果a0,a0,M0,N0,则
1）loga（MN）logaMlogaN；
M
2）logalogaMlogaN；
N
3）logaMnnlogaM（nR）。
4
0）,
换底公式：
logaNlogmN（a0,a0,m0,m1,N
logma
1）logablogba1;2）logambn—logab。
m
2•指数函数与对数函数
（1）指数函数：
1定义：
函数yax（a0,且a1）称指数函数，
1）函数的定义域为R；2）函数的值域为（0,）；
3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数。
2函数图像
0I
1）指数函数的图象都经过点（o,1），且图象都在第一、二象限;
2）指数函数都以x轴为渐近线（当0a1时，图象向左无限接近x轴，当
a1时，图象向右无限接近x轴）；
3）对于相同的a（a0,且a1），函数yax与yax的图象关于y轴对称。
八0aj
a1
①x0时0y1，
①x0时y1，
②x0时y1，
②x0时y1，
③x0时y1
③x0时0y1，
（2）对数函数：
1定义：
函数ylogax（a0,且a1）称对数函数，
1）函数的定义域为（0,）；2）函数的值域为R；
3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数；
4）对数函数ylogax与指数函数yax（a0,且a1）互为反函数
2函数图像：
0a>1
1
1
o
o
f
1）对数函数的图象都经过点（0,1），且图象都在第一、四象限;
2）对数函数都以y轴为渐近线（当0a1时，图
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