分段函数的理解.docx

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分段函数的理解

分段函数的理解

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数。

1、它是一个函数，不是几个不同函数的组合,是同一函数在自变量X的不同取值范围内的不同表达式。

2、最简单的分段函数是一次函数的分段函数。

分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。

谈谈中考中的分段函数

在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，分段函数是近几年中考数学中一种重要的题型。

分段函数的应用题多设计成两种（段）情况以上，解答时需分段讨论。

它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。

这些分段函数都是直线型，通常是由正比例函数的图像和一次函数的图像构成。

下面我们归纳分析如下，供学习时参考。

一、两段型分段函数

1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数

解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。

例1、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：

（１）月通话为100分钟时，应交话费______元；

（２）分别写出当0≤x≤100,x≥100时，x与y之间的函数关系式；

（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？

分析：

本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y（元）是月通话时间x（分钟）的正比例函数,当x≥100时, 月话费y（元）是月通话时间x（分钟）的一次函数.

解：

（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；

（2）当0≤x≤100时,设y与x之间的函数关系式为y=kx，x=100时,y=40 所以y=2/5x

           x≥100时, 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b

由图知：

x=100时,y=40；x=200时，y=60  则有      ,解之得 k=1/5,b=20

　       所求函数关系式为y=1/5x+20

（3）把x=280代入y=1/5x+20,得y=1/5x280+20=76，　即月通话为280分钟时，应交话费76元．

【巩固练习】

1、水费中的分段函数

某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图

（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;

（2）若某户该月用水21吨, 则应交水费多少元?

2、电费中分段函数

今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：

（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时， y与x的函数关系式；

（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；

（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？

若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？

1.2一次函数与一次函数构成的分段函数

1、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．

（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？

（2）分别写出当0≤x≤20和x≥20时， y与x的函数关系式；

（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？

1.3常数函数与一次函数构成的分段函数

例1、有甲、乙公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．

（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是         元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为        元；

（2）分别写出当0≤x≤100和x≥100时， y与x的函数关系式

（3）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？

如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？

二、三段型分段函数

 如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（  ）

三、四段型分段函数

例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y（千米）与时间x（时）的函数图像。

已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。

（1）小强家与游玩地的距离是多少？

（2）分别写出当0≤x≤2,2≤x≤5,x≥s时， y与x的函数关系式

（3）妈妈出发多长时间与小强相遇？

四、五段型分段函数

例1、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象.

（1）根据图象回答：

小明到达离家最远的地方需几小时？

此时离家多远？

（3）分别写出当0≤x≤1,1≤x≤2,2≤x≤3,3≤x≤4和4≤x≤6时， y与x的函数关系式

（4）求小明出发两个半小时离家多远？

（4）求小明出发多长时间距家12千米？

《分段函数的理解》答案

1、解：

在函数y=3X+2中，令x=0,得y=2,因此图象交y轴与点（0,2）

令y=0,得3x+2=0,得x=-2/3，因此图象交x轴与点（-2/3,o）

∴ S=1/2×|-2/3|×|2|=2/3

2、解; 由题意得：

令X＝0，得Y＝m，令Y＝0，得x=-2m

∴  S=1/2|m||-2m|=36    ∴   m2=36     ∴m=6或－6

（2） y=x/2+6,  y>0,即x/2+6>0, 得x>-12  或 y=x/2-6,  y>0,即x/2-6>0,  得x>12

3、解:

 ∵ y=kx+b经过点（-2，0），  ∴  -2k+b=0,  b=2k

∴   y=kx+2k在x,y轴的截距：

-2,2k即与两个坐标轴的交点为（0,2k  ），（-2,0）

∴S=|-2|*|2k|/2=6    解得  |k|=3    ∴  k=3或 -3  ∴函数解析式 y=-3x-6或y=3x+6

4、解：

y=kx+3与x轴的交点为（-3/k,0），与y轴的交点为（0,3）

∴ S=1/2×|3|×|-3/k|=9  即 |-3/k|=6  ∴-3/k=6 或 -3/k=-6  得：

k=±1/2

5、解：

设L的方程是：

y=kx+b（k≠0）  ∵直线l经过点A（-2,2）∴-2k+b=2;即：

b=2k+2;

∴l的方程是：

y=kx+2k+2  ∴L和坐标轴的交点分别是：

（0,2k+2）,（-（2k+2）/k,0）

∴ L和两个坐标轴围成的三角形的面积是：

 S=|2k+2|*|-（2k+2）/k|/2=2（k+1）2/|k|=1

（1）当K>0时 S=2（k+1）^2/k=1（此方程无解）

（2）当K<0时 S=2（k+1）^2/k=-1

解的：

k=-2;k=-1/2所以有：

b=-2;b=1   所以这样的直线有两条：

 y=-2x-2    y=-x/2+1

1、解：

（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元；  

当0≤x≤20时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k1x+150，同时，图象过点（20，200），所以，200=k1×20+150，解得：

k1=2.5，所以，y=2.5x+150，

当20＜x时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k2x+b，同时，图象过点（20，200），（30，240），

所以  ，    ，解得：

k2=4，b=120，所以，y=4x+120，

所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；

如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励   

（2）从图象上可知道，小强工作20 小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元，大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超过20小时，所以应选择分段函数中当20＜x时的一段，所以，由题意得，4x+120=250，

解得：

x=32.5             

答：

当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份得到的费用为250元．

评析：

本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对分段函数的选择能力。

2、解析：

1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，

当0≤t≤100时，话费金额y=20；

当t＞100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b，且函数经过点（100，20）和（200，40），

所以，   ,解得：

k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,

所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；

2）仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,

当0≤t≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5k≤15+2.5=17.5,

所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；

因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，

所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；

因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；

因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙公司；

3、解析：

1）、当0≤x≤1，y=1/2×x×2=x；如图8所示；

2）、当1＜x≤3，y=1×2-1/2×1/2×2-1/2×（x-1）×1-1/2×1/2×（3-x）=5/4-1/4x；如图9

 3）当3＜x≤3.5，y=1/2×（7/2-x）×2=7/2-x；如图10所示；

所以C、D两个选项是错误的，又因为函数y=5/4-1/4x中的k=-1/4＜0，所以直线整体应分布在二、一、四象限，所以选项B错误,选A。

评析：

对于运动型问题，关键是根据题意借助分类的思想用变量x分别出图形的面积。

在表示面积时，要注意整体思想的运用。

4、解析：

 1）当0≤x≤2，路程y（千米）是时间x（时）的正比例函数，且k=15，所以y=15x；

所以，当x=2时，y=2×15=30，所以，小强家与游玩地的距离是30千米。

2）当2＜x≤5，路程y（千米）是时间x（时）的常数函数，所以y=30；

当5＜x，路程y（千米）是时间x（时）的一次函数，且k=-15，所以，设y=-15x+b，

又图象过点（5，30），所以30=-75+b，所以b=105，所以直线BD的解析式为：

y=-15x+105；

仔细观察图象，可知道点C的坐标为（14/3，0），且k=60，所以，设y=60x+b，

所以0=280+b，所以b=-280，所以直线CD的解析式为：

y=60x-280；

设妈妈出发t小时出与小强相遇，所以，60t-280=-15t+105，解得，t=77/15，

所以，妈妈出发经过77/15-14/3=7/15小时与小强相遇。

5、解：

（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米

（2）设直线CD的解析式为y=k1x+b1,由C（2，15）、D（3，30），代入得：

y=15x-15（2≤x≤3）

当x=2.5时，y=22.5（千米）

答：

出发两个半小时，小明离家22.5千米.

（3）设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2，由E（4，30）、F（6，0），代入得y=-15x+90,（4≤x≤6），

        过A、B两点的直线解析为y=kx，∵B（1，15）∴y=15x.（0≤x≤1）

分别令y=12，得x=26/5（小时），x=4/5（小时）

答：

小明出发经过4/5小时或26/5小时，离家12千米。