江苏省届高三数学下学期期初调研检测试题.docx
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江苏省届高三数学下学期期初调研检测试题
江苏省四校(南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学)2019届高三数学下学期期初调研检测试题
6.从3个男生、2个女生中随机抽取2人,则抽中的2人不全是男生的概率是▲.
7.已知正四棱锥的体积为4,底面边长为2,则该正四棱锥的侧棱长为▲.
3
注意事项
8.若将函数y=cosx-3sinx的图象向左平移m(m>0)个单位后,所得图象关于y轴对称,则实
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,包含填空题(第1题~第14题,共14题)、解答题(第15题~第20
9.
数m的最小值为▲.
函数f(x)=a·ex-e-x在x=0处的切线与直线y=2x-3平行,则不等式f(x2-1)+f(1-x)<0
题,共6题)两部分。
本次考试时间为120分钟。
考试结束后,只要将答题卡交回。
的解集为▲.
2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在
10.
首项为7的数列{an}满足:
(n+1)an+1-(n+2)an=0,则a2019-a2018的值为▲.
答题卡上,并用2B铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑,如需改动,请用橡皮
擦干净后,再正确涂写。
3.答题时,必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效。
4.如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。
→→
11.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,AB·AC=5,则cos∠CAB=▲.
(第11题)
参考公式:
1.锥体的体积公式为:
V=1Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高;
3
n--
2.一组数据x1,x2,…,xn的方差为:
s2=1
n
∑(xi-x)2,其中x是数据x1,x2,…,xn的
i=1
13.在平面直角坐标系xOy中,M,N是两定点,点P是圆O:
x2+y2=1上任意一点,满足:
平均数.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答.题.卡.相.应.位.置.上..
1.已知集合A={1,2,3},B={2,3,4,5},则A∩B=▲.
PM=2PN,则MN的长为▲.
2.已知复数z满足(1-i)z=3+i(i为虚数单位),则z=▲.
3.一组数据96,98,100,102,104的方差为▲.
4.一个算法的伪代码如下图所示,执行此算法,已知输出值y为2,则输入值x为▲.
Readx
Ifx≤0Then
y←ex
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
Else
y←x2+1
(共10页)
(共10页)
EndIf
Printy
(第4题)
5.已知双曲线x2-y2=1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0),则它的离心率为▲.
16.(本小题满分14分)
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知点M为棱BC上异于B,C的一点.
(1)若M为BC中点,求证:
A1C//平面AB1M;
(2)若平面AB1M⊥平面BB1C1C,求证:
AM⊥BC.
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
x2+y2=1(a>b>0),过左焦点F(-3,0)的直线l与椭
a2b2
圆交于A,B两点.当直线l⊥x轴时,AB=1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在y轴上,且ΔPAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,求直线AB的方程.
(第16题)
17.(本小题满分14分)
如图,l1是经过城市O与城郊小镇A的东西方向公路,城市O与小镇A相距83km,l2是经过城市O的南北方向的公路.现准备在城市O的西北区域内选址P,建造开发区管委会,并开发
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=lnx+m(m∈R)的极大值为1.
x
(第18题)
三角形区域PAO与PBO.其中,AB为计划修建的经过小镇A和管委会P的绕城公路(B在l2上,
且位于城市O的正北方向),PO为计划修建的管委会P到城市O的公路,要求公路PO与公路
PA的总长为16km(即PO+PA=16).设∠BAO=θ.
(1)记PA=f(θ),求f(θ)的函数解析式,并确定θ的取值范围;
(2)当开发的三角形区域PAO的面积最大时,求绕城公路AB的长.
(1)求m的值;
(2)设函数g(x)=x+1,当x0>1时,试比较f(x0)与g(x0)的大小,并说明理由;
ex
(3)若b≥2,证明:
对于任意k<0,直线y=kx+b与曲线y=f(x)有唯一公共点.
e
l2
北
东B20.(本小题满分16分)
P已知q为常数,正.项.数列{an}的前n项和Sn满足:
Sn+(an-Sn)q=1,n∈N*.
(1)求证:
数列{an}为等比数列;
l1AO
()若∈
,且存在∈
,使得
-为数列
中的项.
2qN*
tN*
3at+2
4at+1
{an}
(共10页)
(共10页)
(第17题)
①求q的值;
n
②记b=log
an+1
列.
an+2,求证:
存在无穷多组正整数数组(r,s,k),使得br,bs,bk成等比数
2019届期初数学学科调研测试试卷
数学II(附加题)
注意事项
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内.作.答.,解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为x2=2py(p>0),过点P(m,0)(m≠0)的直线l与抛
→→→→
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共2页,均为解答题(第21~23题)。
本卷满分为40分,考试时间为30分钟。
考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上,并用2B铅笔正确填涂考试号。
3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它
位置作答一律无效。
如有作图需要,用2B铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。
物线C交于A,B两点,与y轴交于点Q,设PA=λQA,PB=μQB(λ,μ∈R).
(1)当Q为抛物线C的焦点时,直线l的方程为y=1x+1,求抛物线C的标准方程;
3
(2)求证:
λ+μ为定值.
21.【选做题】本题包括A、B、C共3小题,请.选.定.其.中.两.小.题.,并.在.相.应.的.答.题.区.域.内.作.答..
若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修42:
矩阵与变换](本小题满分10分)
-11
23.(本小题满分10分)
(第22题)
已知m∈R,矩阵A=
(1)求实数m;
的一个特征值为-2.
m0
设集合M={1,2,3,…,m},集合A,B是M的两个不同子集,记|A∩B|表示集合A∩B的元素个数.若|A∩B|=n,其中1≤n≤m-1,则称(A,B)是M的一组n阶关联子集对((A,B)与(B,
(共4页)
(共4页)
(2)求矩阵A的逆矩阵A-1.
B.[选修44:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点P是曲线E:
{x=cosθ,y=2+2cosθ(θ为参数)上的一点.以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,以C为圆心的圆的极坐标方程为ρ=
2cosθ,求线段PC长的最大值.
C.[选修45:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知x>0,求证:
x3+y2+3≥3x+2y.
A)看作同一组关联子集对),并记集合M的所有n阶关联子集对的组数为an.
(1)当m=3时,求a1,a2;
(2)当m=2019时,求{an}的通项公式,并求数列{an}的最大项.
一、填空题
江苏省海门中学2019年期初数学学科调研测试试卷
数学I参考答案
(2)过B作BPB1M,垂足为P
平面AB1M平面B1BCC1
平面AB1M平面B1BCC1B1M
BP平面BB1C1C
∴BP平面AB1M
1.{2,3}2.1+2i3.84.15.23
3
6.7
10
7.38.2π
3
9.(0,1)10.7
2
11.57
14
AM平面AB1M
12.(-∞,-
e
]∪[
e,+∞)13.3
14.2+3
∴BPAM
直四棱柱ABCDABCD中,BB平面ABCD
ee25
二、解答题
11111
AM平面ABCD
15.
(1)因为cosB=-5
,B∈(0,π),
∴BB1AM
5
所以sinB=1-cos2B=1-(-5)2=25.
55
在三角形ABC中,
sinA=sin(π-(B+C))=sin(B+C)=sin(B+π)=sinBcosπ+cosBsinπ.
444
故sinA=25×2+(-5)×2=10.
又BPBB1B
BP,BB1平面BB1C1C
∴AM平面BB1C1C
又BC平面BB1C1C
∴AMBC.…………………14分
525210
8×10
17.解:
(1)如图,在PAO中,设PAx,l2
则因为POPA16,所以PO16x,北
由正弦定理知AC=BC,所以BC=AC·sinA=10=22.…………………6分
又因为AO83,BAO,B
sinB
sinA
sinB25
5
所以由余弦定理得:
东
x2(83)2283xcos(16x)2,……2分P
(2)在三角形ABC中,
cosA=cos(π-(B+C))=-cos(B+π)=-cosBcosπ+sinBsinπ,
解得x
4.………4分
l
444
23cos
1AO
故cosA=5×2+25×2=310.
当POAπ时,(83)2(16x)2x2,解得x14,
(第17题)
5252102
因为cos2A=2cos2A-1=2(310)2-1=4,
此时,cos8343.
105
sin2A=2sinAcosA=2×310×10=3,
147
π43
10105
设0,且cos
2
,则结合P位于城市O的西北区域内,B在l2上,
7
因此cos(2A+π)=cos2Acosπ-sin2Asinπ=4×2-3×2=2.…………………14分π
444525210
且位于O北,得,
2
16.证明:
(1)连接A1B交AB1于N
∵直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1B1B为平行四边形
综上,公路PA段长关于的函数解析式为PA
2
4
3cos
,的取值范围为(,π),
2
∴N为A1B的中点
π43
其中,0,且cos.………………………6分
又M为BC中点
∴MN//A1C
又A1C平面AB1M
2
(2)由
(1)PA
2
4
3cos
7
,π,结合AO83,BAO,
2
MN平面AB1M
∴A1C//平面AB1M.…………………6分
得开发的三角形区域PAO面积:
S()1AOPAsin
2
1834
sin
(共10页)
(共10页)
22
3cos
163sin
,π.
23cos2
0
所以S()
163[cos(2
3cos)
3sin2]
则xx
83k2
(2
3cos)2
1214k2
163(2cos3),π.
12k24
xx
(2
3cos)22
1
214k2
由S()0,得π,因为cosπ
343,所以π,
∴AB
1k2|xx|
1k2
(xx)24xx
6
因此可得下表:
6276
121212
16(1k2)4(1k2)
(,π)
6
π
6
(π,π)
62
S()
0
S()
↗
↘
22
1k2
14k
AB中点为M的横坐标为
14k
43k2
14k2
所以,当π时,[S()]
S(π)163,
PM
1(
143k2
2
)2||
6max6
k14k
22
此时,ABAO
8316,
∴21
(1)2|43k
|4(1k)
cosπ3
62
即开发的三角形区域PAO面积最大时,绕城公路AB的长为16km.…………14分
k
∴k1
14k2
14k2
c3
11
直线AB的方程为y
1(x
11
3)或y
1(x3)
11
b2
18.解:
(1)由已知,得
21
综上:
直线AB的方程为y
1(x
3)或y
1(x
3)或y0.……………16分
a1111
a24
解得
b21
a2b2c2
19.解:
(1)f'(x)=1-m-lnx,令f'(x)=0得:
x=e1-m,
x2
所以f(x)在(0,e1-m)单调增,在(e1-m,+∞)单调减.
21-m
1
4
e1m
2
(2)PAB为P为直角顶点的等腰直角三角形,
设AB中点为M,∴AB2PM
(2)f(x0)-g(x0)=lnx0+
1-x0+1=1(lnx0+1-x0
(ⅰ)直线AB与x轴垂直,AB1,OF3,
x0
不合题意,舍.
2
∴椭圆E的标准方程为:
x
y21.…………………4分
所以f(x)=f(e
)==1,得m=1.……………3分
-
+x0)
ex0x0
ex0
(ⅱ)直线AB与y轴垂直,AB4,P为(0,2)或(0,2),适合题意。
令h(x)=lnx+1-x+x(x>1),
ex
(ⅲ)直线AB不与x轴垂直时,设AB:
yk(x
3),
则h'(x)=1--x2+x+1=ex+x3-x2-x=(ex-x)+(x3-x2)>0,
2xex
xex
xex
x
与椭圆方程
4
y21联立得:
(14k2)x283k2x12k240
∴h(x)在(1,+∞)单调增,
∴h(x)>h
(1)=1-2>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2)
e
∴f(x0)>g(x0).…………………………8分
lnx1
(3)kxb可化为
x
lnx1
x2
bk0
x
(共10页)
(共10页)
lnx1b
令h(x)k
x2x
12lnxb
12lnx1
所以q2,qN,
∴h'(x)
(b)
令(x)
x3
2lnx1
x
x2x2x
(x0)
所以3q24q4,即qpt4,
结合t,pN*,得ptN*.
当pt3时,qpt(3q24q)q3(3q24q)
12lnx
∴'(x),令'(x)0得:
xe
x2
q(q2
3q4)0,(*)不成立;
5
∴(x)在(0,
e)增,(
e,)减
当pt1时,(*)得3q24qq,解得q0或q(舍);
3
∴(x)max
(
e)2
e
当pt2时,(*)得3q24qq2,解得q0(舍)或q2;
综上,q2.……………………………10分
'()1(
2lnx11(
2)01
hxb
x2
)
xx2
b
e
②由①得an=2n-1,则bn=n+1=1+
nn
所以数列{bn}单调递减,
∴h(x)在(0,)单调递增。
由br,bs,bk成等比数列,不妨设r<s<k,
s1
r1
k1
s1rk
当x1时,h(x)lnx1bkbk
则bsrk
2
2
2=bb,即()
即()
x2xxb
srk
s2(r+1)
sr1
k1
所以x1且x11时,h(x1)0
所以k=.
k
1lnx1bb
2sr+r-s2
当0x时,h(x)kk
令2sr=s2即s=2r,得k=(2r)2(r+1)=4r2+4r.
ex2xx
b1
r
所以存在无穷多组(r,2r,4r2+4r)(r∈N*)符合条件.……………………………16分
∴0x2且x2时,h(x2)0
ke
又yh(x)在(0,)的图象是不间断的,
∴h(x)0在(x1,x2)有唯一解,
即对于任意k0,直线ykxb与曲线yf(x)有唯一公共点.………………16分
20.
(1)【证明】由Sn+(an-Sn)q=1,n∈N*,得:
a1=1,(1-q)Sn+qan=1(i),所以(1-q)Sn+1+qan+1=1(ii),(ii)-(i)得:
(1-q)an+1+qan+1-qan=0,即an+1=qan,
因为an>0,所以an+1=q,n∈N*,且q>0,
an
结合q为常数,得数列{an}为等比数列.……………………………4分
(2)解:
①由
(1)得an
qn1,
t2
所以存在tN*,使得3a
4at1
是数列an中的项
t2
存在t,pN*,使得3a
4at1
ap
(共10页)
(共10页)
存在t,pN*,使得3qt14qtqp1,即3q24qqpt(*).
因为qN,且q1时,(*)显然不成立,
21.【选做题】
数学II(附加题)参考答案
【必做题】
22.解:
(1)∵直线l的方程为y1x1
3
令x0,则y1,即Q(0,1)
21.A.解析:
(1)f()
1
1
=(+1)m
p得:
p2
m∴21
因为2是一个特征值,所以f
(2)0
所以m2.……………………………5分
11
∴抛物线C的标准方程为x24y
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)
由