江苏省届高三数学下学期期初调研检测试题.docx
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江苏省届高三数学下学期期初调研检测试题
江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）2019届高三数学下学期期初调研检测试题
6.从3个男生、2个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是男生的概率是▲.
7.已知正四棱锥的体积为4，底面边长为2，则该正四棱锥的侧棱长为▲．
3
注意事项
8．若将函数y＝cosx－3sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于y轴对称，则实
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20
9.
数m的最小值为▲．
函数f（x）＝a·ex－e－x在x＝0处的切线与直线y＝2x－3平行，则不等式f（x2－1）＋f（1－x）＜0
题，共6题）两部分。
本次考试时间为120分钟。
考试结束后，只要将答题卡交回。
的解集为▲．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在
10.
首项为7的数列{an}满足：
（n＋1）an＋1－（n＋2）an＝0，则a2019－a2018的值为▲．
答题卡上，并用2B铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮
擦干净后，再正确涂写。
3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
→→
11.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，AB·AC＝5，则cos∠CAB＝▲．
（第11题）
参考公式：
1．锥体的体积公式为：
V＝1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高；
3
n－－
2．一组数据x1，x2，…，xn的方差为：
s2＝1
n
∑（xi－x）2，其中x是数据x1，x2，…，xn的
i＝1
13.在平面直角坐标系xOy中，M，N是两定点，点P是圆O：
x2＋y2＝1上任意一点，满足：
平均数．
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝▲．
PM＝2PN,则MN的长为▲．
2．已知复数z满足（1－i）z＝3＋i（i为虚数单位），则z＝▲．
3.一组数据96，98，100，102，104的方差为▲.
4.一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，已知输出值y为2，则输入值x为▲．
Readx
Ifx≤0Then
y←ex
二、解答题：
本大题共6小题，共90分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
Else
y←x2＋1
（共10页）
（共10页）
EndIf
Printy
（第4题）
5．已知双曲线x2－y2＝1（a＞0）的一个焦点坐标为（2，0），则它的离心率为▲．
16．（本小题满分14分）
如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知点M为棱BC上异于B，C的一点.
（1）若M为BC中点，求证：
A1C//平面AB1M；
（2）若平面AB1M⊥平面BB1C1C,求证：
AM⊥BC．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2＋y2＝1（a＞b＞0），过左焦点F（－3，0）的直线l与椭
a2b2
圆交于A，B两点．当直线l⊥x轴时，AB＝1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在y轴上，且ΔPAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线AB的方程．
（第16题）
17.（本小题满分14分）
如图，l1是经过城市O与城郊小镇A的东西方向公路，城市O与小镇A相距83km，l2是经过城市O的南北方向的公路．现准备在城市O的西北区域内选址P，建造开发区管委会，并开发
19．（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝lnx＋m（m∈R）的极大值为1．
x
（第18题）
三角形区域PAO与PBO．其中，AB为计划修建的经过小镇A和管委会P的绕城公路（B在l2上，
且位于城市O的正北方向），PO为计划修建的管委会P到城市O的公路，要求公路PO与公路
PA的总长为16km（即PO＋PA＝16）．设∠BAO＝θ．
（1）记PA＝f（θ），求f（θ）的函数解析式，并确定θ的取值范围；
（2）当开发的三角形区域PAO的面积最大时，求绕城公路AB的长．
（1）求m的值；
（2）设函数g（x）＝x＋1，当x0＞1时，试比较f（x0）与g（x0）的大小，并说明理由；
ex
（3）若b≥2，证明：
对于任意k＜0，直线y＝kx＋b与曲线y＝f（x）有唯一公共点．
e
l2
北
东B20．（本小题满分16分）
P已知q为常数，正．项．数列{an}的前n项和Sn满足：
Sn＋（an－Sn）q＝1，n∈N*．
（1）求证：
数列{an}为等比数列；
l1AO
（）若∈
，且存在∈
，使得
－为数列
中的项．
2qN*
tN*
3at＋2
4at＋1
{an}
（共10页）
（共10页）
（第17题）
①求q的值；
n
②记b＝log
an＋1
列．
an＋2，求证：
存在无穷多组正整数数组（r，s，k），使得br，bs，bk成等比数
2019届期初数学学科调研测试试卷
数学II（附加题）
注意事项
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2＝2py（p＞0），过点P（m，0）（m≠0）的直线l与抛
→→→→
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共2页，均为解答题（第21~23题）。
本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。
3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它
位置作答一律无效。
如有作图需要，用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
物线C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设PA＝λQA，PB＝μQB（λ，μ∈R）．
（1）当Q为抛物线C的焦点时，直线l的方程为y＝1x＋1，求抛物线C的标准方程；
3
（2）求证：
λ＋μ为定值．
21．【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．
若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修42：
矩阵与变换]（本小题满分10分）
－11
23．（本小题满分10分）
（第22题）
已知m∈R，矩阵A＝
（1）求实数m；
的一个特征值为－2．
m0
设集合M＝{1，2，3，…，m}，集合A，B是M的两个不同子集，记|A∩B|表示集合A∩B的元素个数．若|A∩B|＝n，其中1≤n≤m－1，则称（A,B）是M的一组n阶关联子集对（（A，B）与（B，
（共4页）
（共4页）
（2）求矩阵A的逆矩阵A－1．
B．[选修44：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点P是曲线E:
{x＝cosθ，y＝2＋2cosθ（θ为参数）上的一点．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以C为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝
2cosθ，求线段PC长的最大值．
C．[选修45：
不等式选讲]（本小题满分10分）
已知x＞0，求证：
x3＋y2＋3≥3x＋2y．
A）看作同一组关联子集对），并记集合M的所有n阶关联子集对的组数为an．
（1）当m＝3时，求a1，a2；
（2）当m＝2019时，求{an}的通项公式，并求数列{an}的最大项．
一、填空题
江苏省海门中学2019年期初数学学科调研测试试卷
数学I参考答案
（2）过B作BPB1M,垂足为P
平面AB1M平面B1BCC1
平面AB1M平面B1BCC1B1M
BP平面BB1C1C
∴BP平面AB1M
1.{2，3}2.1+2i3.84.15.23
3
6.7
10
7.38.2π
3
9.（0，1）10.7
2
11.57
14
AM平面AB1M
12.（－∞，－
e
]∪[
e，＋∞）13.3
14.2＋3
∴BPAM
直四棱柱ABCDABCD中,BB平面ABCD
ee25
二、解答题
11111
AM平面ABCD
15.
（1）因为cosB＝－5
，B∈（0，π），
∴BB1AM
5
所以sinB＝1－cos2B＝1－（－5）2＝25．
55
在三角形ABC中，
sinA＝sin（π－（B＋C））＝sin（B＋C）＝sin（B＋π）＝sinBcosπ＋cosBsinπ．
444
故sinA＝25×2＋（－5）×2＝10．
又BPBB1B
BP,BB1平面BB1C1C
∴AM平面BB1C1C
又BC平面BB1C1C
∴AMBC．…………………14分
525210
8×10
17.解：
（1）如图，在PAO中，设PAx，l2
则因为POPA16，所以PO16x，北
由正弦定理知AC＝BC，所以BC＝AC·sinA＝10＝22.…………………6分
又因为AO83，BAO，B
sinB
sinA
sinB25
5
所以由余弦定理得：
东
x2（83）2283xcos（16x）2，……2分P
（2）在三角形ABC中，
cosA＝cos（π－（B＋C））＝－cos（B＋π）＝－cosBcosπ＋sinBsinπ，
解得x
4．………4分
l
444
23cos
1AO
故cosA＝5×2＋25×2＝310．
当POAπ时，（83）2（16x）2x2，解得x14，
（第17题）
5252102
因为cos2A＝2cos2A－1＝2（310）2－1＝4,
此时，cos8343．
105
sin2A＝2sinAcosA＝2×310×10＝3，
147
π43
10105
设0，且cos
2
，则结合P位于城市O的西北区域内，B在l2上，
7
因此cos（2A＋π）＝cos2Acosπ－sin2Asinπ＝4×2－3×2＝2．…………………14分π
444525210
且位于O北，得，
2
16．证明：
（1）连接A1B交AB1于N
∵直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1B1B为平行四边形
综上，公路PA段长关于的函数解析式为PA
2
4
3cos
，的取值范围为（,π），
2
∴N为A1B的中点
π43
其中，0，且cos．………………………6分
又M为BC中点
∴MN//A1C
又A1C平面AB1M
2
（2）由
（1）PA
2
4
3cos
7
，π，结合AO83，BAO，
2
MN平面AB1M
∴A1C//平面AB1M.…………………6分
得开发的三角形区域PAO面积：
S（）1AOPAsin
2
1834
sin
（共10页）
（共10页）
22
3cos
163sin
，π．
23cos2
0
所以S（）
163[cos（2
3cos）
3sin2]
则xx
83k2
（2
3cos）2
1214k2
163（2cos3），π．
12k24
xx
（2
3cos）22
1
214k2
由S（）0，得π，因为cosπ
343，所以π，
∴AB
1k2|xx|
1k2
（xx）24xx
6
因此可得下表：
6276
121212
16（1k2）4（1k2）
（,π）
6
π
6
（π,π）
62
S（）
0
S（）
↗
↘
22
1k2
14k
AB中点为M的横坐标为
14k
43k2
14k2
所以，当π时，[S（）]
S（π）163，
PM
1（
143k2
2
）2||
6max6
k14k
22
此时，ABAO
8316，
∴21
（1）2|43k
|4（1k）
cosπ3
62
即开发的三角形区域PAO面积最大时，绕城公路AB的长为16km．…………14分
k
∴k1
14k2
14k2
c3
11
直线AB的方程为y
1（x
11
3）或y
1（x3）
11
b2
18．解：
（1）由已知，得
21
综上：
直线AB的方程为y
1（x
3）或y
1（x
3）或y0.……………16分
a1111
a24
解得
b21
a2b2c2
19.解：
（1）f'（x）＝1－m－lnx,令f'（x）＝0得：
x＝e1－m,
x2
所以f（x）在（0，e1－m）单调增，在（e1－m，＋∞）单调减.
21－m
1
4
e1m
2
（2）PAB为P为直角顶点的等腰直角三角形，
设AB中点为M，∴AB2PM
（2）f（x0）－g（x0）＝lnx0＋
1－x0＋1＝1（lnx0＋1－x0
（ⅰ）直线AB与x轴垂直，AB1，OF3,
x0
不合题意，舍.
2
∴椭圆E的标准方程为：
x
y21．…………………4分
所以f（x）＝f（e
）＝＝1,得m＝1.……………3分
－
＋x0）
ex0x0
ex0
（ⅱ）直线AB与y轴垂直，AB4，P为（0,2）或（0,2），适合题意。
令h（x）＝lnx＋1－x＋x（x＞1），
ex
（ⅲ）直线AB不与x轴垂直时，设AB:
yk（x
3），
则h'（x）＝1－－x2＋x＋1＝ex＋x3－x2－x＝（ex－x）＋（x3－x2）＞0，
2xex
xex
xex
x
与椭圆方程
4
y21联立得：
（14k2）x283k2x12k240
∴h（x）在（1，＋∞）单调增，
∴h（x）＞h
（1）＝1－2＞0．
设A（x1,y1）,B（x2,y2）
e
∴f（x0）＞g（x0）．…………………………8分
lnx1
（3）kxb可化为
x
lnx1
x2
bk0
x
（共10页）
（共10页）
lnx1b
令h（x）k
x2x
12lnxb
12lnx1
所以q2，qN，
∴h'（x）
（b）
令（x）
x3
2lnx1
x
x2x2x
（x0）
所以3q24q4，即qpt4，
结合t，pN*，得ptN*．
当pt3时，qpt（3q24q）q3（3q24q）
12lnx
∴'（x），令'（x）0得：
xe
x2
q（q2
3q4）0，（*）不成立；
5
∴（x）在（0,
e）增，（
e,）减
当pt1时，（*）得3q24qq，解得q0或q（舍）；
3
∴（x）max
（
e）2
e
当pt2时，（*）得3q24qq2，解得q0（舍）或q2；
综上，q2．……………………………10分
'（）1（
2lnx11（
2）01
hxb
x2
）
xx2
b
e
②由①得an＝2n－1，则bn＝n＋1=1+
nn
所以数列{bn}单调递减，
∴h（x）在（0,）单调递增。
由br，bs，bk成等比数列，不妨设r＜s＜k，
s1
r1
k1
s1rk
当x1时，h（x）lnx1bkbk
则bsrk
2
2
2＝bb，即（）
即（）
x2xxb
srk
s2（r＋1）
sr1
k1
所以x1且x11时，h（x1）0
所以k＝．
k
1lnx1bb
2sr＋r－s2
当0x时，h（x）kk
令2sr＝s2即s＝2r，得k＝（2r）2（r＋1）＝4r2＋4r．
ex2xx
b1
r
所以存在无穷多组（r，2r，4r2＋4r）（r∈N*）符合条件．……………………………16分
∴0x2且x2时，h（x2）0
ke
又yh（x）在（0,）的图象是不间断的，
∴h（x）0在（x1,x2）有唯一解，
即对于任意k0，直线ykxb与曲线yf（x）有唯一公共点．………………16分
20．
（1）【证明】由Sn＋（an－Sn）q＝1，n∈N*，得：
a1＝1，（1－q）Sn＋qan＝1（i），所以（1－q）Sn＋1＋qan＋1＝1（ii），（ii）－（i）得：
（1－q）an＋1＋qan＋1－qan＝0，即an＋1＝qan，
因为an＞0，所以an＋1＝q，n∈N*，且q＞0，
an
结合q为常数，得数列{an}为等比数列．……………………………4分
（2）解：
①由
（1）得an
qn1，
t2
所以存在tN*，使得3a
4at1
是数列an中的项
t2
存在t，pN*，使得3a
4at1
ap
（共10页）
（共10页）
存在t，pN*，使得3qt14qtqp1，即3q24qqpt（*）．
因为qN，且q1时，（*）显然不成立，
21．【选做题】
数学II（附加题）参考答案
【必做题】
22．解：
（1）∵直线l的方程为y1x1
3
令x0，则y1，即Q（0,1）
21．A．解析：
（1）f（）
1
1
=（+1）m
p得：
p2
m∴21
因为2是一个特征值，所以f
（2）0
所以m2．……………………………5分
11
∴抛物线C的标准方程为x24y
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）
由
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