关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨曲面曲线的基本公式.docx

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关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨曲面曲线的基本公式

２００８年１月第２ｌ卷

第１期内蒙古师范大学学报（教育科学版）

Ｊｏｕｒｎａｌ

ｏｆＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＮｏｒｍａｌ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＥｄｕｃａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

Ｊａｎ．，２００８

Ｖ０１．２ｌ

Ｎｏ．１

关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨

——“曲面曲线的基本公式及其系数的几何意义”的教学设计

。

苏雅拉图１，额尔敦巴雅尔２

（１．内蒙古师范大学数学科学学院；２．内蒙古师范大学附属中学，内蒙古呼和浩特０１００２２）

内容摘要：

大多数微分几何教材在介绍曲面论的内容时，给出法曲率、测地曲率、曲率线、渐近线、测地线和

测地挠率之后才出现曲面曲线的基本公式。

本文在曲面曲线特有的基本三棱形的框架下，首先推导出曲面曲线的基本公式，并利用基本公式中的系数定义法曲率、测地曲率、测地挠率、曲率线、渐近线和测地线，进而讨论法曲率、测地曲率和测地挠率的几何意义及其相似之处和不同之处。

这样处理后，教学内容紧紧围绕曲面曲线的基本公式而展开，不仅体现了内容的系统性，而且体现了基本公式中系数的优越性和系数所包含的几何意义。

关键词：

微分几何；曲面曲线基本公式；法曲率；测地曲率；测地挠率；教学设计

中图分类号：

０１８６．１

文献标识码：

Ａ文章编号：

１６７１－０９１６（２００８）０１－０１２７－０３

一、基本公式的推导

空间曲线论的基本公式就是伏雷内（Ｆｒｅｎｅｔ）公式，即＆＝Ｋｐ，卢＝一Ｋｔｌｔ＋ｒｙ，ｙ＝一ｒ卢，它是基于空间曲线的基本三棱形［口，ｐ，ｙ］而建立起来的重要公式。

对于曲面三上的曲线，：

，＝，（ｆ）而言，如果把曲线厂看作空间曲线（从曲面上分离开来），则对曲线，有一个基于它的基本三棱形［口，卢，ｙ］而建立起来的伏雷内公式；如果把曲线，看作曲面三上的曲线，则曲面曲线，有一个曲面曲线所特有的另一个基本三棱形［口，ｓ，ｎ］（除基本三棱形［口，ＪＢ，ｙ］外）存在，因此基于这基本三棱形［口，ｓ，ｎ］可建立类似伏雷内公式的一个重要公式，我们称之为曲面曲线的基本公式。

设曲面三的方程为三：

，＝ｒ（ｎ，秽），Ｐ为三上一点，它的Ⅱ一曲线在Ｐ点的切向量为，。

，ｔ，一曲线在Ｐ点的切向量为，，，并设，。

×，，≠０，于是

，

×ｒ

ｎ＝『＿上告就是曲面三在Ｐ点的单位法向量。

设

ｒ。

Ｘｒ口ｌ

，：

，＝，（ｓ）（ｓ为自然参数）为三上的一条曲线，则口＝≯（ｓ）是曲线，的单位切向量，卢（ｓ），ｙ（ｓ）分别为曲线，的主法向量和副法向量。

令Ｅ＝以×口，则口，￡，ｎ是两两垂直的三个单位向量，并且构成右手系，它们所构成的三棱形［口，￡，ｎ］是曲面互上曲线Ｊ１的（除基本三棱形［口，卢，ｙ］外）一种随Ｐ点沿曲线移动而改变的活动三棱形（见图１）。

设

＆＝ｎｌｌ口＋ａ１２ｓ＋Ｏ＂１３ｎ，（１）套＝Ｏ，２１口＋０２２￡＋ａ２３ｎ，

（２）ｎ＝０＂３１口＋ａ３２Ｅ＋０＂３３＾。

（３）

因口，Ｅ，露满足

口・口＝Ｅ・￡＝露・疗＝１．口・￡＝ｎ・￡＝ｄ・露＝０．

口・矗＝奢・量＝一・矗＝０．

所以等式（１），（２），（３）两边分别点乘口，Ｅ，ｎ，得

口ｌｌ＝０，口２２＝０，ａ３３＝０。

在等式

ｄ・Ｅ＝刀・￡＝口・厅＝０

两边求导，得

五・，ＩＳ＝一ｄ・杏，五・ｎ＝一口・Ｊｉ，吾・矗＝一￡・五。

在等式（１）两边分别点乘￡，ｎ，得

收稿日期：

２００７—１０－１３作者简介：

苏雅拉图（１９６０一），男，蒙古族，内蒙古师范大学数学科学学院教授。

１２７

苏雅拉图，额尔敦巴雅尔／关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨

仨磊

率向量在曲面的单位法向量ｎ上的投影，这就是法曲率的几何意义。

口和以所确定的平面与曲面三的交线厂称为曲面三的法截线（它的曲率设为ｉ），对于法截线，，卢＝±＾（即０＝０或仃），当０＝０（此时法截线朝露的方向弯曲）时，Ｋ。

＝ｉ，即法曲率就是法截线的曲率（见图２），这就是为什么把Ｋ。

称为法曲

，“

率的原因；当０＝仃（此时法截线朝一的反方向弯、个，

曲）时，Ｋ。

＝一－ｏ

公式（唪）就是曲面曲线的基本公式。

下面利用公式（木）的系数来定义法曲率、测地曲率、测地挠率、曲率线、渐近线和测地线。

称Ｋ．为曲面三在Ｐ点沿，方向的法曲率、称Ｋ．为曲线，在Ｐ点的测地曲率、称

ｒ。

为曲面三在Ｐ点沿Ｊ１方向的测地挠率、Ｋ。

＝０的曲线称为曲面三上的渐近曲线、Ｋ。

＝０的曲线称为曲面三上的测地线、７，＝０的曲线称为曲面三上的曲率线。

图１

下面推导公式下，＝ｒ＋口。

由图１可知，露＝ｐＣＯＳ口＋７ｓｉｎ０，

Ｅ＝厣ｓｉｎ一一ｙｓｉｎ口，

所以

，ｉ＝（一Ｋ口＋下７）ＣＯＳ０一ｐ

０ｓｉｎ

０一下卢ｓｉｎ

０＋

ｙ口ＣＯＳ口＝一ＫＣＯＳ口口一ｒ（ｆｌｓｉｎ０‘一Ｔｃｏｓ０）一Ｏ（ｆｌｓｉｎ０—７ｃｏｓｐ）＝一ＫＣＯＳ０ａ一下ｓ一０ｅ＝一ＫＣＯＳ０ａ一（７＋口）￡，

此等式两边点乘一￡可得，一五・￡＝（．ｒ＋０），于是ｒ，＝（ｒ＋ｐ）。

二、法曲率、测地曲率和测地挠率的几何意义

（一）法曲率

设￡（ｎ，ｐ）＝０，贝９Ｋ。

＝五・ｎ＝，ｃ卢・露＝

，ｃＣＯＳ口（Ｋ为曲线厂：

，＝，．（ｓ）的曲率），由于印是与

曲线厂：

，＝ｒ（ｓ）的曲率．Ｉｃ有关的向量，我们称Ｋｐ为

曲线Ｆ：

，＝，（ｓ）的曲率向量，于是法曲率Ｋ。

就是曲

１

２８

（Ｉ）由Ｋ。

＝ＫＣＯＳ０可看出，法曲率Ｋ。

的符号取决于曲面的单位法向量露的选择。

（２），ｃ。

＝五・露可导出法曲率Ｋ。

与曲面三的第一和二基本形式Ｉ和Ⅱ之间的关系，即

．

．．

ｄ２，

ｄ２，・ｎ

Ⅱ

Ｋｎ。

∥ｎ州Ⅶ２孑Ⅶ。

１ｒ

２了。

ａ＾

ｎＪ

Ｌ

哆

图２

（二）测地曲率

测地曲率的几何意义：

测地曲率的绝对值等于

曲线在切平面上正投影曲线的曲率。

事实上，把曲线，投影于切平面仃的投影柱面设为三‘，于是投影曲线ｆ’是投影柱面三＋和切平面仃的交线，，’在Ｐ点的切平面是口和ｎ所确定的平面。

因，＋在Ｐ点的切线既在三’的切平面上，又

在厂‘所在的平面７ｒ上，而口和刀所确定的平面和切平面仃的交线恰好是厂的切线，这说明，＋和，在Ｐ点有相同的切线。

现把厂和厂‘都看作投影柱面三’上的曲线，它们都经过Ｐ点且在Ｐ点有相同的切线，Ｊ１’对于投影柱面三’而言是法截线，因此Ｊ１’的曲率Ｋ‘（即正投影曲线的曲率）等于投影柱面三‘沿曲线厂方向的法曲率的绝对值，即曲率向量，ｃ卢在￡上投影的绝对值，于是Ｋ＋＝ｌＫ卢・￡Ｉ＝Ｉ

Ｋ，Ｉ。

（１）由Ｋ。

＝矗・￡＝，ｃ卢・８＝Ｋ卢・（ｎｘ口）＝Ｋ（ｄｘ卢）・ｎ＝，（ｙ・珏可看出，法曲率Ｋ，的符号取决于曲面的单位法向量ｎ的选择，并且

ｌＫ，ｌ＝ｌＫｙ・ｎ

ｌ＝ｌ，ｃＣＯＳ（９００±ｐ）Ｉ

２

Ｋｓｉｎ—ｏ

（２）由Ｋ。

＝五・￡可导出测地曲率，ｃ，与曲面三的第一基本形式Ｉ和投影柱面三＋的第二基本形式

苏雅拉图，额尔敦巴雅尔／关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨

Ⅱ‘之问的关系，即

．

一

ｄ２ｒｄ２，．￡Ｈ’

Ｋｓ

２

Ｋ一２旷￡吖叩２孑叩２可５

Ｔ。

（三）测地挠率

测地挠率的几何意义：

若曲面三上的测地线Ｊｒｌ不是直线，则沿，方向的测地挠率等于，的挠率。

事实上，设曲线，：

，＝，（ｓ）为曲面三上的测地线，则由ＩＫ，Ｉ＝ｘｓｉｎ０＝０，，ｃ≠０可知，ｐ＝±ｎ，于是ｐ＝±五，这时曲线厂的挠率

ｒ＝口・ｙ＝（口，口，卢）＝

（±而，口，±ｎ）＝（口，ｎ，五），－

且

丁。

＝叠‘ｎ＝一￡・，ｉ＝

一（ｎ×口）・，ｉ＝（ｄ，ｎ，元），

故ｆｇ＝ｒ．

三、关于法曲率、测地曲率和测地挠率的讨论

（一）Ｋ。

，ｌＩｃ。

，丁。

的相似之处

（１），ｃ。

，Ｋ，，ｒ。

都是曲面曲线的基本方程的系数，其值可以是等于零，大于或小于零；

（２）当Ｋ。

＝Ｋ。

＝ｒ。

＝０时，都能对应到曲面上的一个特殊曲线；

（３）Ｋ。

，Ｋ。

，ｆ；都具有鲜明的几何意义；

（４），ｃ。

，Ｋ。

的符号取决于曲面的单位法向量ｎ的选择；

（５），ｃ。

，＿Ｉｃ，的绝对值分别等于是某种特殊曲线

的曲率，丁。

等于某种特殊曲线的挠率；

（６），ｃ。

，Ｋ。

分别是曲率向量在不同的单位向量（这两个不同的单位向量都垂直于切方向）上的投影或投影的绝对值。

（二），ｃ。

，Ｋ。

，ｒ。

的不同之处

（１），ｃ。

（或，ｃ。

）是曲率，而丁。

是挠率；

（２），（。

等于，ｃ和ＣＯＳ０的乘积，Ｋ。

等于，ｃ和

±ｓｉｎ

０的乘积，ｆ。

等于，ｃ和０的和。

参

考文献：

［１］

ＭＰｄｏＣａｒｍｏ．ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＧｅｏｍｅｔｒｙｏｆＣｕｒｖｅｓａｎｄＳｕｒ．

ｆａｃｅｓ［Ｍ］．ＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇａｓＰｒｅｎｔｉｃｅ—Ｈａｌｌ，Ｉｎｃ，１９７６．

［２］

王幼宇，刘继志．微分几何讲义［Ｍ］．北京师范大学出版社，２００５．

（３］梅向明，黄敬之．微分几何［Ｍ］．高等教育出版社，

２００４．

［４］姜国英，陈维恒．微分几何［Ｍ］．高等教育出版社，

１９９２．

［５］

陈省身，陈维恒．微分几何［Ｍ］．北京大学出版社，

１９８３．

［６］吴大仁．微分几何［Ｍ］．人民教育出版社，１９８２．［７］

苏步青，胡和生，沈纯理，等．微分几何［Ｍ］．人民教育出版社，１９８０．

［责任编辑

陈汉忠］

（上接第９６页）

目的在于减少人为因素，使教学质量更趋于真实。

要以教研室为单位，组织教师根据中国古代史课程的教学大纲进行命题，输入计算机，建立试题库。

考试时从计算机试题库中随机调用。

学生考完后，要实行集体流水阅卷。

此外，还要注意定期改进和更新试题库的内容，以保证试题内容与知识更新速度一致。

实行教考分离有利于教师按照教学大纲的要求进行授课，形成良好的教风，提高教学水平，检查教学效果，保证教学质量；有利于激发学生学习的积极性和主动性，端正学风，注重平时的努力学习，避免考前突击性复习，更好地巩固所学知识，培养学生的自学能力和创新精神；有利于完善教学环节，规范教学文件，改善教学工作，加强教学管理，督促教学目标的实现。

总之，中国古代史课程考试改革只有紧紧围绕

培养学生的创新意识、开拓学生的创新思维、提高学生的创新能力这一核心问题开展工作，才能取得符合时代要求的积极效果。

参

考文献：

［１］

王跃．改革现行考试制度，适应素质教育［Ｊ］．松辽学

刊，２００２（４）．

［２］惠泱河．开展考试改革，构建综合性全程考试新模式［Ｊ］．中国高等教育，２００３（７）．

［３］曾名勇．构建多样化的考试模式培养高素质创新人才［Ｊ］．中国大学教学，２００５（１０）．

［４］丁兰．改革高等学校考试形式的探讨［Ｊ］．高等教育研究，１９９９（１）．

［５］张继红．对高校考试改革的几点思考［Ｊ］．中国高教研究，２０００（５）．

［责任编辑石俊梅］

１２９

关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨——"曲面曲线的基本公式及其系数的几何意义"的教学设计

作者：

苏雅拉图，额尔敦巴雅尔

作者单位：

苏雅拉图（内蒙古师范大学,数学科学学院，额尔敦巴雅尔（内蒙古师范大学,附属中学,内蒙古,呼和浩特,010022

刊名：

内蒙古师范大学学报（教育科学版）

英文刊名：

JOURNALOFINNERMONGOLIANORMALUNIVERSITY（EDUCATIONSCIENCE年，卷（期：

2008,21（1

参考文献（7条

1.MPdoCarmoDifferentialGeometryofCurvesandSurfaces19762.王幼宇.刘继志微分几何讲义20053.梅向明.黄敬之微分几何20044.姜国英.陈维恒微分几何19925.陈省身.陈维恒微分几何19836.吴大仁微分几何1982

7.苏步青.胡和生.沈纯理微分几何1980

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