第三章弹性应力应变关系.docx
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第三章弹性应力应变关系
第三章弹性应力一应变关系，弹性问题的求解
理想弹性体：
1）物体是连续的，由连续介质组成，没有间隙，应力、应变和位移等是连续的;
2）物体是均匀的，各部分具有相同性质，弹性常数不随位置坐标改变；
3）物体各向同性；
4）物体是完全弹性的。
线性弹性理论非线性弹性理论塑性理论
§3・1广义虎克定律
v为横向变形系数，又称泊松比纯剪切应力状态时：
12=G12
G为剪切弹性模量，G=-
2（1。
）
一、广义虎克定律：
物理方程，本构方程，描述弹性体内任一点应力分量与应变分量之间的关系。
j1=°11"11C12'22C|333C14-12C15‘23C16‘31
'G22'22'G23'33'G24"12'G25"23'C26'31
33=务’11©2'220^3'33034'120^5'230^6"31
12=Q111'042T2'043"33'044"12'045"23'046"31
J23=岛11'052"22°53"33054"12°55"23°56"31
31=Q1'11032'22033'33034'12035"23036"31
或；11=S1；111SS2號二13S33二14S<2S5二2
'33
12=11'®2；-22'S43；-33'S44；-12'S45；-23'®6；-31
；23=Si1；「11'S52；「22'S53；「33'S54；「12'S55；「23'Si6；「31
；31=&1；-11'&2；-22'$3；-33'S6^12'S6^23'&6；-31
对各向同性的弹性材料，独立的弹性常数只有两个。
二、各向同性条件下的广义虎克定律
1
=己［二11-：
（二22二33）］
1
二己［二22一（二11二33）］
1
E［二33一（二11二22）］
1
12
2G
1
三、体积虎克定律
1-2
EL11二22二33）
31-2-
k称体积弹性模量，体积应变与平均正压力成正比。
四、用应变表应力的广义虎克定律
1
午二JS「f一：
（二11—2=「33）］
1
*［£J-3_］
1■■E
=_[i二11一.-Cm]
E
1-2。
E
11_
1+u
亠°E
；11r
（1）（1-2：
）
E
Gi_‘e•2」•；仆匚22_，e•2」22
或=33='-■ije'2=；ij
■,」为拉梅（Lame）弹性常数
§3・2弹性应变能
弹性应变能密度
单位体积内积蓄的弹性应变能U0
1CT
单拉时：
u0：
22E
1
纯剪时；U0=—•
2
三维应力时，正应力遇另外两个方向正应变分量垂直、且正应力分量与剪应变无关,
剪应变只与剪应力有关，故
Uo
利用广义虎克定律，有
1222和1
Uo（5j+存22+^33）—£（5^22+^22^33+^33^11）+亦（＜112+^23+631）］
1222Uo-i=2E［C711=）一2（；干2二产3—）］
Uo（qi）［（三….--）2G（；2；2；2）2G（；2；2；2）］
2112233112233122331J
Uo（；ij）匚—JG（；„；2）
：
Uo-ij
—S
-：
UoGj
j
■-'ij
、体积变化应变能密度和形状变化应变能密度
单位体积的体积改变积蓄的弹性应变能UV0
单位体积的形状改变积蓄的弹性应变能U0
31—2u2
"Uv0JF"=6EdF
Uvo取决于材料的弹性常数及平均正应力
U0二Uo-UV0
2E4G
U-0取决于材料的弹性常数及八面体剪应力.8
§3.3虚功原理（虚位移原理）
虚功原理：
在外力作用下处于平衡状态的物体,当经受微小虚位移u时，外力在虚位移ui
所作的总虚功W，等于虚位移ui在物体内部所引起的总虚应变能U。
W=U
!
!
!
'•■「•；jdv二FrUidv亠i.i.iTr'-Uids
VVV
【证明】：
设物体在体力Fi和面力Tj作用下处于平衡，则
、W=Fi、Uidv亠iiiTi、mds
VV
:
illFrudv亠III一n、：
udSi
VV
二FtUidv亠111（G、：
Ui）•jds（高斯定理）
VV
—；「ij,jFi）门Uidv亠|||'.‘j・：
fUi,jds
VV
:
jdV—U
V
虚功原理适用于任何连续体，不只限于弹性体。
§3.4最小总势能原理
在所有满足给定的几何边界条件的位移场中，其真实的位移场总是使总势能取最小值。
U=U（；訂二U（uJ、U=:
;订、门
hi（ujdv=F「udv亠inTruids
VVs
假定物体从平衡位置有微小的虚位移5ui，物体的尺寸和形状变化可忽略不计，则Fi和
Ti的大小及方向不变，符号可提出积分外。
[iiiU（Ui）dvinFUidviiiTiUids=O
VVs
[U-W]=0
二p为系统总势能，在给定外力作用下，实际位移总使总势能的一阶变分为零，即总势
能取驻值，而稳定平衡物体在有虚位移而偏离平衡位置时，势能总是增加，故驻值为极小值。
§3.5弹性问题得求解
、未知量与基本方程
15个未知量'■ij（X1,X2,X3）,；耳（为公2必），5（%,X2,X3）
15个基本方程
、边界条件与求解方法
基本方程给出通解，必须加上定解条件，
定解条件有初始条件和边界条件两方面，初始条件时指在某特定时刻得情况（一般不考虑动态问题时不讨论），边界条件时指弹性边界上外力和位移情况。
弹性力学中，边界条件有
1）应力边界条件（Fj,Tj已知）
33
=■e2U3
代入平衡方程式中，得
e2
cx1
ea」'2u
cx2
（八卩）皂十旳2出亦3=0丿
色3
（丸+丛）Uj,ji+^5」+F=0
不计体力时（丸+卩）Uj,ji+PUj,ji=0
上述以位移表示平衡方程为拉梅位移方程。
若给定位移边界则简单，若是应力边界，则
GP1二222-日2=3丁
匚e+2»和」
+n*
异U1'
CU3CUi
+
=Ti、
（欣1氐丿
ICX1Cx3j
。
1n广◎2^3"2。
Q3=3T
§3.6圣文南原理和线性叠加原理
一、圣文南原理
如果将作业在弹性体表面得某一个不大得局部面积上得力系，同作用在同一局部面积上的
另外形式得静力等效力所代替，那么载荷得这种不同分布对弹性体内应力分布得影响，只有
在距离载荷作用的局部面积很近得地方才显著,忽略不计。
而在距离载荷作用得局部面积较远得地方可
在求解弹性力学问题时，可利用圣文南原理，学，代替真实作用得复杂力学，可使问题大大简化,二、线性叠加原理
T—PA
改变一下边界条件，用简单得静力学等效力而且可使求解得解是足够精确。
设某一弹性体在面力T和体力Fi作用下得解为▽⑴打，同一弹性体在面力T和体力Fi作
用下解为賈2）ij,j，则就是这一弹性体在面力T,+T2，体力R+F2作用下的应力状态。
二⑵ij,j'F
（2）j=0壬刁］二二
（2）ijnj
二⑴ij,j；「
（1）ij,j〕亠〔F（i）i*F
（2）i=0T（ii厂T（2尸二i（jiyi（R）j
叠加原理只适用于小变形（线弹性条件），对弹性稳定问题及弹塑性问题，叠加原理不适用。
§3.7矩形截面梁的纯弯曲
M，梁在力偶M的作用下
设有一矩形截面梁，它两端作用这大小相等，方向相反得力偶发生弯曲，不计自重，求梁内任一点的应力、应变及位移。
、梁内任一点应力
足的，对应力边界条件,
因此，材力的解是弹性力学的解。
二、梁内任一点应变
22二’33=j'11
-MX
2
EI3
12
23
31
三、梁内任一点位移
Mx2
EI3
M
UiX/2flX2,X3
EI3
-：
u2
Mx2
-
.:
x2
EI3
U2
2EI3
2
X2f2X“X3
（a）
.:
u2
Mx2
-
.:
x2
EI3
U3
M上
X2X3f3X!
X2
EI3
由于I2=；23
.：
Xi；：
X2
=0
讦2Xi,X3fX2,X3M
丰=—
.Xi；X2
Xi
EI3
/U3込
X；：
X3
-0
讦3XXfXX
.X2:
X
MX3
EI3
.：
X3?
X1
-0
-：
fiX2,X3汗3Xi,X2
—；；二0
-X3-Xi
（c）
（d）
（e）
（c）对x2求偏导
（e）对x3求偏导
2
:
-fiX2,X3
0
-2
X3
二fiX2,X3
=ax2bx3cx2x3d
（d）对xi求偏导
2
：
：
f2Xi,X3
（e）对x3求偏导
（d）对x2求偏导
EI3
EI3
2EI32EI3X3
exifx3gXiX3h
：
：
2f3Xi，X2=0
■2
；X3
（e）对Xi求偏导
：
：
2f3Xi，X2=0
■2
：
X3
f3Xi,X3=
lix2xm
将fi,f2,f3代入（c）（d）（e）,有
eaj亠Igcx3=0
kf字:
;（Ig）%二0
kf-0
ib=0
c=0且e,k,i可用-a,-f,-b替换，即
Ui
EI3
bx
1vM2f2x1,X3i—2e~X2
3
x
2EI3
'1
M2
x3_a%fx3h
2EI3
M
u3xx3—b%-fx2m
El3
其中六个待定常数可由边界条件给出选取梁左端面中点o,则位移边界条件为
U30=0
=d=h=m=0
=i电）」£=
fa、
CU2
_f弧'
fA\
CU3
◎丿0
®3丿°5丿0
<^X3J
0
l&1J
0
'、®2g
=0
选取
CU3
fr、
CU3
cu1
®丿
0忌丿
0
疋念丿0
=a=b=f=0
EI3
X1X2
U2:
2EI3
X-
X2
U3
M
EI3
X2X3
此即梁的位移场。
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