以在等温条件下，功能公式仍然成立。
上述公式是从热力学第一和第二定律出发得到的，因此它不受变形的大小和
材料的性质的限制。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，那么由格林公式，单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此根据齐次函数的欧拉定理，可得
%=扌9禺2启+66+B打++口乙）
用张量表示，写作
设物体的体积为V，整个物体的应变能为''III'■!
广义胡克定义学习思路:
根据弹性体的应变能函数，可以确定本构方程的能量表达形式。
本节的任务是利用应变能函数推导应力和应变的一般关系。
如果将应力分量表达为应变分量的函数，可以得到应力和应变关系的一般表达式。
对于小变形问题，这个一般表达式可以展开为泰勒级数。
对于各向同性材料，根据应力与应变的性质，可以得到具有36个常数的广
义胡克定理。
学习要点:
1应力应变关系的一般表达式；2、广义胡克定理
1、应力应变关系的一般表达式
由于应变能函数的存在，通过格林公式就可求出应力。
本节将通过应变能的推导应力和应变的一般关系。
假设将应力表达为应变的函数，那么应力和应变关系的—般表达式为
6二人〔耳灼吗卩椚*』堆〕
这里的函数fi〔i=1,2,…，6〕取决于材料自身的物理特性。
对于均匀的各向同性材料，单向拉伸或压缩时，应力应变关系可以通过实验直接确定。
但是对于复杂的应力状态，即使是各向同性的材料，也很难通过实验直接确定其关系。
这里不去讨论如何建立一般条件下的应力应变关系，仅考虑弹性范围内的小
变形问题。
对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成泰勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量。
上式中〔fi〕0表达了函数f1在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。
2、广义胡克定理
根据无初始应力的假设，〔fi〕0应为零。
对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数fi对应变的一阶偏导数为常数。
因此应力应变的一般关系表达式可以简化为
6=q冉+q吗+q咼+厲样科+。
从+。
皿b厂g雇+g纬+g蚪+g心十°戒严+g几6=q冋+c毎+务务++6护加+C蚣
j=Si见+q灼+q猊+十q匕+⑺几Tys~+G応+GlF#++C菠y?
s
j=4】孔+G嘉+o晟++/尹十q几
上述关系式是胡克〔Hooke〕定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律中的系数Cmn（m,n=1,2,…，6）称为弹性常数，一共有36个。
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，Cmn是坐标X，y，Z的函数。
但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力,将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。
这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn为弹性常数。
各向异性弹性体的本构关系
学习思路：
本节应用应变能函数推导各向异性材料的本构关系。
对于完全的各向异性弹性体，本构关系有21个弹性常数，
对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，本构各向具有13个弹性常数。
对于正交各向异性材料，弹性常数有9个。
正交各向异性材料的本构方程中，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。
学习要点：
1、完全各向异性弹性体；2、有一个弹性对称面的弹性体；3、有一个弹性对称面的弹性体本构关系；4、正交各向异性弹性体；5、正交各向异性弹性体本构关系。
1、完全各向异性弹性体
下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。
根据格林公式和广义胡克定律，有
乎二s二c冋+务弓+c帆+q心+気&+g仏
对于上式，如果对切应变xy求偏导数，有
对于上式，如果对正应变x求偏导数，有
因此，C14=C41。
对于其它的弹性常数可以作同样的分析，贝UCmn=Cnm
上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。
其本构方程为
6=邑+0灼+匚1抖+口4厂心+C&严+QeXx!
巧=Og+J巧+C佔+G疗邸+6：
+3毬
6=q枫+。
春y+务£+C34打+6『严+G諾XI弋住~+©24弓+6伍+°44厂邸+C&R+G/腮
和=S迅++o曲十°心"++务人
J~°】护*+G迅+c充％+°3砂+c丑&+°曲监
2、具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹
性性质，那么称该平面为物体的弹性对称面。
垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。
假设设yz为弹性对称面，那么x轴为弹性主方向。
以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。
将x轴绕动z轴转动n角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。
新旧坐标系之间的关系为
x
y
z
x'
l1=-1
m1=0
n1=0
y'
l2=-1
m2=0
n2=0
z'
l3=-1
m3=0
n3=0
根据弹性对称性质，关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不
变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。
所以
匚x'=；「x，；「y'=；「y，二z'=；「z，x'y'=xy，y'z'=yz，z'x'=zx
乂=x，y'=y，z'=；z，x'y'=xy，y'z'=yz，z'x'=zx
根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变
3、有一个弹性对称面的弹性体本构关系
根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式
代入广义胡克定理，可得
=+6吗+G召+U必=G乙十几
=G】壬+乐弓+G遇+声
-°召4了“+Qg/a
4、正交各向异性弹性体
假设物体每一点有两个弹性对称面，称为正交各向异性弹性体。
以下根据完全
具有一个弹性对称面的各向异性弹性体本构方程
s=+q迢+q九+u込
碍=%+g病十°孟+g如
=5®+C迟+C為+U
=C必十。
4几
=©5禺+°52弓+G握+C曲声
XZ平面也是弹
-0召4了“+。
胡d
推导具有两个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。
设
性对称面，即y轴也是弹性主方向。
在具有一个弹性对称面的根底上，将y轴
绕动z轴转动二角度，成为新的Ox'y'z'坐标系，如下图
根据弹性对称性质。
关于y轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也保持不变，而关于y轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。
所以，那么新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为
:
~X=-x，-y'=-y，
:
-z'=、z，x'y'=-xy，y'z'=-yz，z'x'=zx
X'=^X，过=2y，
z'=z，x'y'=-xy，y'z'=-yz，z'x'=zx
将上述关于y轴弹性对称的应力应变关系代入具有一个弹性对称面的各向异性材料本构关系。
为保持应力和应变在坐标变换后不变，那么必有
Cl5=C25=C35=C64=0
5、正交各向异性弹性体本构关系
这样，对于具有二个弹性对称面的弹性体，如下图，其弹性常数由13个将减
少为9个。
于是其应力应变关系简化为
6=Gl孔十G泸$+
假设弹性体有3个弹性对称面，也就是说，如果设xy平面也是弹性对称面，z轴也为弹性主方向，那么类似的推导可以证明，本构方程不会出现有新的变化。
因此，如果相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，那么第三个必为弹性
对称面。
二个弹性对称面的弹性体本构方程说明：
如果坐标轴与弹性主方向一致时，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。
这种弹性体称为正交各向异性弹性体，其独立的弹性常数为9个。
各向同性弹性体学习思路:
各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任
意变换方位也无关。
根据这一原那么，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅〔Lam©弹性常数■，匸表示；也可以通过工程弹性常数E,jG表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：
1、各向同性弹性体；2、各向同性弹性体的应力和应变关系；3、应
变表示的本构关系；4、弹性常数与应力表示的本构关系。
1、各向同性弹性体
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。
这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应
力和应变关系。
对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任
意一个平面都是弹性对称面。
因此
Cl1=C22=C33,Cl2=C23=C31,C44=C55=C66
于是其应力应变关系简化为
6-0口
<7』=為+Gi弓+G為
q=q迟+G吗+°】】名
其独立的弹性常数仅为C11，C12和C44。
但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
为了简化分析，将坐标系沿Z轴旋转任一角度：
。
新旧坐标系之间的关系如下所示
X
y
z
X'
11=cos；：
m1=sin
n1=0
y'
l2=-sin：
m2=cos
n2=0
z'
13=0
m3=0
n3=1
2、各向同性弹性体的应力和应变关系
根据应力分量转轴公式，可得
匚〞--Tjsin2^+r^cos2^
根据应变分量转轴公式
7二〔弓-乞X血2®+rv皿帀
将以上两式代入应力应变关系公式的第四式厂：
一,,；，那么
扌9尸一6〞尬2貯*jcos2〔p=C^[〔sy-sin2^+打cos2^]
因为厂，一,所以二—厂丄」——i。
根据应力应变表达式，可得'-n、•」〔「1o
比拟上述两个公式，可得，2C44=C11-C120所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。
其应力和应变关系为
CF
二C’Wjt+C"弓+Cn%=氐。
+〔Gi-CiJgy=q巧+q迅+気耳=c/+〔尙-cux二扌〔G厂CJ爲二扌©-気加弓Gi-令〕?
\
其中=。
3、应变表示的本构关系
为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令
口片=兄»—q?
=2戸
那么同性材料的本构关系公式可以简化为
6=X8+2“务,
或写作张量表达式
b&=几乐爲+2"气
上述公式即为各向同性弹性材料的广义胡克（Hooke）定理，」称为拉梅（Lame）弹性常数。
如果将坐标轴选取的与弹性体内某点的应力主方向重合，那么对应的切应力分量均应为零。
根据各向同性材料的本构关系的后三式可见，此时所有的切应变分量也为零。
根据上述分析，对于各向同性弹性体内的任一点，应力主方向和应变主方
向是一致的。
因此这三个坐标轴，即应力主轴同时又是应变主轴方向，对于各向同性弹性体，应力主方向和应变主方向二者是重合的。
设体积应力为凹门.+门+「一，将拉梅公式的前三式相加，可得
®=（3Z+2p）^
上式称为体积应变的胡克定理。
4、弹性常数与应力表示的本构关系
E，，G
如果各向同性材料的本构关系用应力表示，一般用工程弹性常数表示胡克定律，有
耳二-u（巧+込）]二*[Q+巧巧-v&]
弓二+[碍勺+^）]=y[（1+p）^-170]
耳=-+竹）]=+丐-咱]
这里E为弹性模量，又称为杨氏模量；G为切变弹性模量；v为横向变形系数，简称泊松比。
工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为
由于各向同性弹性体仅有两个独立的弹性常数，因此
各个弹性常数可由实验的方法测定，通常应用材料的单向拉伸实验可以测出弹性模量E,利用薄壁管的扭转实验可以测定剪切弹性模量G。
其余的弹性常数可以通过上述公式计算得到。
各向同性弹性体的应变能
学习思路：
本节介绍各向同性材料的应变能函数表达形式。
如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，那么应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。
将本构关系表达式代入应变能函数公式，那么可以写出应变分量或者应力分量表达的应变能函数。
由于泊松比、恒小于1,所以应变能函数是恒大于零的。
这就是说，单位体积的应变能总是正的。
学习要点：
1、各向同性弹性体应变能。
1、各向同性弹性体应变能
弹性体单位体积的应变能的表达式已经作过讨论。
如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，那么应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。
根据应变能函数表达式
%=低+巧兮+%+B打+咲心+口入〕
对于各向同性弹性体，可以使用应力分量或应变分量表达单位体积的应变能，将本构关系表达式
CT=
二几&+2#耳，
=%
苍■-
=胭+2陞八
J=%
屯=
=久0+2严弓?
=叽
代入上式，那么可以写作应变分量表达的应变能函数
%=押+2"〕〔异+打+衬〕+心气+详+E+扣;++兀〕
或者利用本构方程
6二吉⑷-卜〔碍+q〕]=£[Q2〕s-回
u—1/〔6十6〕］二壬［〔1卄〕碍—1/6?
］
—心+bj=-^［〔1+V〕o-r-v&］
迟
=—[
柱、二一E
1E1
v二旦
G
写作应力分量表达的应变能函数
Un=-?
—[cr2+CT2+
石
b：
-2巩碍巧+弓q+耳丐〕+2〔1+"〕〔珂+<+<〕
由于「恒小于1所以，根据应变能函数表达式可知U0恒大于零。
这就是说,单位体积的应变能总是正的。
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