创新奥数五年级春季整数的分拆习题解答.docx

创新奥数五年级春季整数的分拆习题解答.docx

《创新奥数五年级春季整数的分拆习题解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《创新奥数五年级春季整数的分拆习题解答.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

创新奥数五年级春季整数的分拆习题解答

创新奥数五年级春季第三讲整数的分拆习题解答

练习题：

1．将210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5。

第1个数与第6个数分别是几？

解答：

15，40。

这7个数中第4个数是中间数，它是这7个数的平均数，即210÷7=30。

因为相邻2数的差都是5，所以这7个数是15，20，25，30，35，40，45。

故第1个数是15，第6个数是40。

2．将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，则至多可以分成多少组？

解答：

15组。

解：

因为要求任意两个组的人数不相等，且分得的组要尽可能地多，所以，要使每个组分得的人数尽可能地少。

由于1+2+3+4+…+14+15=120，所以将135人分成每组人数不等的15个组后还余15人。

剩下的15人不能再组成一个或几个新的小组，否则就会出现两个或两个以上的组的人数相等的情况。

因此，应将剩下的15人安插在已分好的15个组之中，所以至多可以分成15个组。

这15个组各组人数可以有多种情况，例如，分别是2，3，4，5，6，…，14，15，16人。

3．把19分成几个自然数（可以相同）的和，再求出这些数的乘积，并且要使得到的乘积尽可能大，最大乘积是多少？

解答：

972。

解：

要使乘积尽可能大，把19分成的几个自然数中，3要尽量多且不能有1，所以应把19分成5个3及1个4的和。

最大乘积为35×4=972。

4．把1999分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，一共有多少种不同的分拆方法？

求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应将1999如何分拆？

解答：

有999种方法，分成999+1000时积最大。

5．把456表示成若干个连续自然数的和。

要求写出所有的表达式（如9可以有两种表达形式：

9=4+5=2+3+4）。

解答：

456有三个大于1的奇约数3，19，57。

可得如下三种分拆方法：

456＝151+152+153

＝15+16+17+…+33

＝21+22+23+…+36

6．几个连续自然数相加，和能等于2000吗？

如果能，有几种不同的答案？

写出这些答案。

如果不能，说明理由。

解答：

能。

提示：

2000=24×53，有三个大于1的奇约数5，25，125。

对于5，有k=5，a=398；对于25，有k=25，a=68；对于125，有k=32，a=47。

所以2000共有如下三种分拆方法：

2000＝398+399+400+401+402

＝68+69+70+…+91+92

＝47+48+49+…+77+78

7．把70分拆成11个不同自然数的和，这样的分拆方式一共有多少种？

将不同的表示方法列举出来。

解答：

5种。

解：

1+2+3+…+11=66，现在要将4分配到适当的加数上，使其和等于70，又要使这11个加数互不相等。

先将4分别加在后4个加数上，得到4种分拆方法：

70＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15

＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11

＝1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11

＝1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11。

再将4拆成1+3，把1和3放在适当的位置上，仅有1种新方法：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12。

再将4拆成1+1+2或1+1+1+1+1或2+2，分别加在不同的位置上，都得不出新的分拆方法，故这样的分拆方法一共有5种。

8．有一把长为13厘米的直尺，在上面刻几条刻度线，使得这把尺子能一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。

问：

至少要刻几条线？

要刻在哪些位置上？

解答：

至少要刻4条线，例如刻在1，4，5，11厘米处，便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。

这是因为由1，4，5，11，13这5个数以及它们之间任意2个的差能够得到1到13这13个整数，见下列各式：

5-4=1，13-11=2，4-1=3，

11-5=6，11-4=7，13-5=8，

13-4=9，11-1＝10，13-1＝12。

下面我们来证明，只有3个刻度是不够的。

如果只刻了3条线，刻在a厘米、b厘米、c厘米处（0＜a＜b＜c＜13），那么a，b，C，13两两之差（大减小），只有至多6个不同的数：

13-a，13-b，13-c，c-a，c-b，b-a，再加上a，b，c，13这4个数，至多有10个不同的数，不可能得到1到13这13个不同的整数来。

顺便说明一下，刻法不是唯一的。

例如我们也可以刻在1厘米、2厘米、6厘米、10厘米这4个位置上。

创新奥数五年级春季第四讲约数与倍数习题解答

练习题：

1．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）？

在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？

解答：

求最大公约数，最多可分成40份同样的礼物，每份礼物中，有8个苹果、6个桔子、5个鸭梨.

2．将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？

（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）

解答：

假设锯完后小木块的边长为a，那么把锯得的所有小木块堆起来，适当组合以后一定可以堆成原来长方体木料的形状.这就是说3.57、1.05、0.84都是小木块边长a的倍数，反过来说a就是3.57、1.05、0.84的公约数.另外还要求小木块体积最大，也就是要求小木块的边长a最大.

所以a是3.57、1.05、0.84三个数的最大公约数.因为3.57米=357厘米，1.05米=105厘米，0.84米=84厘米，又

所以a=（357，105，84）=3×7=21.当小木块边长为21厘米时，其体积最大.

3．四个连续奇数的最小公倍数是6435，求这四个数。

解答：

9，11，13，15。

　　6435=32×5×11×13=9×11×13×5，因为［9，11，13，5］=［9，11，13，15］，

所以这四个连续奇数是9，11，13和15。

4．

解答：

黄鼠狼比狐狸先掉入陷阱.当黄鼠狼第一次掉进陷阱时，狐狸跳了

米。

5．

两数的最大公约数是12，已知

有8个约数，

有9个约数，求

和

。

解答：

24和36。

6．两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

满足条件的自然数有哪几组？

解答：

12，72与24，36两组。

　72÷12=6=1×6=2×3，所以有两组：

①12×1=12，12×6=72；②12×2=24，12×3=36。

7．大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。

亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。

问：

这个花圃的周长是多少米？

解答：

解：

（54，72）=18，54÷18=3，72÷18=4，说明小亮走4步等于爸爸走3步，其中脚印重合一次，留下4+3-1=6（个）脚印。

所以花圃周长54×4×（60÷6）=2160（厘米）=21.6（米）。

8．两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。

解答：

这两个数可能为18和180、36和90。

9．爷爷对小明说：

“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？

解答：

爷爷70岁，小明10岁。

两人的年龄差分别是6、5、4、3、2、1的倍数，为60。

10．有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少？

解答：

1111=11×101，11=1＋2＋3＋5，所以最大公约数最大能是101。

11．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。

解答：

奇数个约数的数一定是完全平方数。

361、400、441、484、529、576、625．

12．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？

解答：

甲、乙两数的公倍数即是甲的倍数，就必须包含甲的全部的质因数；乙也是。

最小公倍数是公倍数中最小的一个，因此必须包含甲、乙全部公有的质因数和各自独有的质因数，即：

最小公倍数一定是这两个数中的质因数，两个数以外的质因数一定不是它们最小公倍数的质因数。

因此：

分析最小公倍数中的质因数是解题关键。

∵[甲，乙]＝90＝2×32×5

[乙，丙]＝105＝3×5×7

[甲，丙]＝126＝2×32×7

∴甲独有质因数2（如果乙也有，那么乙和丙的最小公倍数的质因数中也必须含有2）。

同理，乙独有质因数5，丙独有质因数7。

且乙和丙至多含有一个质因数3，即甲须含有2个质因数3，∴甲＝2×32＝

四年级暑期奥数习题    

第一课：

和倍、差倍问题

1、胜利小学开展冬季体育比赛，参加跳绳的人数是打球的人数的4倍，比打球的人多72人，参加跳绳和打球的人各是多少人？

2、生产队利用山地种了一批核桃树和红果树，核桃树的棵数是红果树的2倍多95棵，已知核桃树比红果树多1455棵，两种树各种了多少棵？

3、家具厂二季度比一季度多生产轴承1200件，三季度比二季度多生产2800件，三季度生产的是一季度的3倍，求各季度生产轴承多少件？

4、小红和小李两人的存款相同，小红取出60元，小李存入20元后，小李的存款是小红的3倍，两人的存款各是多少元？

5、生产队养的公鸡比母鸡多249只，养的公鸡是母鸡的4倍，求公鸡、母鸡各多少只？

6、学校购买的足球是排球的3倍，足球比排球多18只，购买足球和排球各多少只？

7、农业科技小组有两块小麦试验田，第二块比第一块少8亩，第一块的面积是第二块的3倍，问两块试验田各多少亩？

8、仓库有面粉和大米两种粮食，面粉比大米多4500千克，面粉的千克数比大米的3倍还多700千克，问面粉和大米各多少千克？

9、参加少年宫科技小组的人数，今年比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人，问今年有多少人参加？

10、父亲比儿子大30岁，明年父亲的岁数是儿子的3倍，那么今年儿子是几岁？

11、两数的和是40，甲数比乙数大8，求甲数、乙数各是多少？

12、买一件衣服，共需360元，裤子比上衣便宜136元，那么买一件上衣和一条裤子各需多少元？

第二课：

和差问题    

[解题技巧：

（和+差）÷2=大数（和－差）÷2=小数]

例1  甲乙两生产组有车床96台，如果甲组给乙组8台，则两组的台数相等，问两组原来各有多少台？

例2  甲乙两箱共有水果50千克，若从甲箱中取出6千克放到乙箱中，这时甲箱还比乙箱多2千克，求两箱原来各有多少箱？

例3  三辆车运木板9800块，第一辆比其余两辆共运的少1400块，第二辆比第三辆多运200块，三辆车各运多少块？

例4  一只三层书架上共放书108本，上层比中层多11本，下层比中层少5本，上、中、下三层各有书多少本？

1、甲乙两条公路共长4355千米，甲公路比乙公路长155千米，问两条公路各长多少千米？

2、甲乙两人的岁数和是33岁，甲比乙大3岁，问甲乙各多少岁？

3、黄山茶场共有红茶树、绿茶树1440棵，如果红茶树增加600棵，绿茶树减少600棵，则两种茶树的棵数相等，两种茶树各有多少棵？

4、红光小学一年级共有新生104人，分成甲乙两个班，如果从甲班中转2个学生到乙班去，两班学生就一样多，问甲乙两班原有各有学生多少人？

5、甲乙两筐共有梨97千克，从甲筐中取出14千克放到乙筐中，结果甲筐的梨比乙筐的梨还多3千克，求两筐原来各有梨多少筐？

6、两鸡笼共有鸡15只，若甲鸡笼再放入4只，乙鸡笼取出2只，这时乙鸡笼比甲鸡笼多1只，顺甲乙两鸡笼原来各有鸡多少只？

7、小明期终考试的语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分，问语文和数学各多少分？

8、四年级有学生48人，暑期中5人学会了游泳，这样会游泳的学生比不会游泳的学生多16人，原来会游泳的有多少人？

9、把长128厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多18厘米，长和宽各是多少厘米？

10、某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，三个车间各有工人多少人？

第三课：

还原问题

例1  小明爷爷今年的年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁，请你算一算，小明爷爷今年几岁？

例2华联商厦出售电视机，上午售出总数的一半多10台，下午售出余下的一半多20台，还余下95台，店里原有电视机多少台？

例3解放军某部阻击敌人，因情况发生变化，需要一营抽一半人去支援教导营，抽调54人去支援二营，抽调余下的一半去支援三营，后来团部4名通讯员调进了一营，这时一营有38人。

求一营原有多少人？

例4甲、乙、丙三个组共有图书90本，如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组所有图书本数刚好相等，问甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？

例5甲乙两桶油各有若干千克，如果从甲桶倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是24千克，问两桶油原来各有多少千克？

例6  学校运来36棵树苗，冬冬和丽丽两人争着去种，冬冬先拿了树苗若干棵，丽丽看到冬冬拿了太多，就抢了10棵，冬冬不肯，又从丽丽那里抢走了6棵，这时冬冬拿的棵数是丽丽的2倍，问最初冬冬拿了多少棵？

1、某数除以5，减去200，再乘以2，最后加上30，结果等于230，求某数。

2、奥林匹克俱乐部成立的时间加上12后，缩小100倍，再扩大4倍，最后再减去19，正好是61，数学奥林匹克俱乐部成立于哪一年？

3、科科问一位老师多大年纪，老师说，我的年纪加上9，用4除，减去15，再用10乘，恰好是20岁。

问这位老师今年几岁？

4、从第一堆西瓜里拿一半放到第二堆里，拿35个放到第三堆里，又拿出剩下的一半放到第四堆里，最后又从第一堆里拿出2个吃掉，这时第一堆里还有48个。

第一堆原有西瓜多少个？

5、16只麻雀停在两棵树上，不久2只麻雀飞离第二树，5只麻雀又从第一棵树飞到第二棵树上，这时两棵树上的麻雀正好相等，原来两棵树上各有几只麻雀？

6、孙子问爷爷今年多大年纪，爷爷说，我的年纪减去8后，用5乘，再加上11，除以4恰好是99岁。

问爷爷今年几岁？

第四课：

推理问题

例某工厂为表扬好人好事核实一件事，厂方找了甲、乙、丙三人，

甲说：

是乙做的；

乙说：

不是我做的；

丙说：

不是我做的。

这三人中只有一个人说了实话，问这件好事是谁做的？

例红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着在桌上排一排，A、B、C、D、E五个人猜各包里的珠子的颜色。

A猜：

第2包紫色，第3包黄色；

B猜：

第2包蓝色，第4包红色；

C猜：

第1包红色，第5包白色；

D猜：

第3包蓝色，第4包白色；

E猜：

第2包黄色，第5包紫色。

结果每人都猜对了一种，并且每包只有一个人猜对，他们各猜对了那种颜色的珠子？

例甲乙丙丁四人同时参加数学竞赛，完成后，他们说，

甲说：

丙是第一名，我是第三名；

乙说：

我是第一名，丁是第四名；

丙说：

丁是第二名，我是第三名；

丁没有说话。

成绩公布了，发现他们都只说对了一半，你能说说他们的名次吗？

例甲乙丙丁和小虎五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经比了4盘，乙比了3盘，丙比了2盘，丁比了1盘。

问小虎已经比了几盘？

1、小李、小红、小高三位同学中，有一人在其他二人都不在的时候，把教室打扫得干干净净的。

晨会上，教师问他们三人是谁做的好事？

小李说：

是小高做的；    小红说：

不是我做的；    小高说：

也不是我做的。

如果三个人中只有一人说的是真的，你能知道好事是谁做的吗？

2、已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。

甲说：

我会开汽车；      乙说：

我不会开；

丙说：

甲不会开汽车。

如果三人中只有一人讲的是真话，那么，谁会开汽车？

3、李老师挂出一张没注明省份的中国地图，从中选了五个省，编了1——5号，要大家写出标有1——5号的省份名称。

交上来后，老师发现有五位同学每人只答出了2个省份的名称，并且每个人都只答对了一个省份，每个编号只有一个省份对的。

A：

2号是山东，3号是陕西；    B：

2号是陕西，5号是山东；

C：

3号是江苏，4号是辽宁；    D：

2号是江苏，4号是浙江；

E：

1号是浙江，5号是辽宁。

请你根据以上条件，说说1——5号是什么省份？

4、甲乙丙丁四位同学的运动衫上有不同的号。

A说：

甲是2号，乙是3号；

B说：

丙是2号，乙是4号；

C说：

丁是2号，丙是3号；

D说：

丁是1号，乙是3号。

又知ABCD四位每个人都只说对了一半，那么丙是几号？

5、甲乙丙丁四人进行游泳比赛。

比赛前名次众说不一。

有的说，甲是第二名，丁是第三名；

有的说：

甲是第一名，丁是第二名；

有的说，丙是第二名，丁是第四名。

实际上，上面三种说法各说对了一半，问甲乙丙丁各是第几名？

6、ABCD四个篮球队一起打比赛，每两队都要比赛一场，到现在为止，A已经比了3场，B已经比了2场，D已经比了1场，问C已经比了几场？

7、明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要握1次手，明明已握了5次手，冬冬已握了4次手，兰兰已握了3次手，静静已握了2次手，思思已握了1次手。

问毛毛已握了几次手？

8、甲乙丙丁比赛，每两人要比一场，结果甲胜了丁，并且甲乙丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？

第五课：

行程问题

例小华和李成家相距400米，两个人同时从家里出发在同一条路上行走。

小华每分钟走60米，李成每分钟走70米。

3分钟后两人相距多少米？

例大毛和二毛两人同时从相距1000米的两地相向而行。

大毛每分钟行120米，二毛每分钟行80米。

如果一只狗与大毛同时同向而行，每分钟行500米，遇到二毛后，立即回头向大毛跑去，遇到大毛后再向二毛跑去。

这样不断来回，一直到大毛和二毛相遇为止，狗共行了多少米？

例甲乙两人同时分别从两地骑车相向而行。

甲每小时行20千米，乙每小时行18千米。

两人相遇时距全程中点3千米。

求全程长多少千米？

例甲乙两个地方相距3500米，1号渡轮平均每分钟行180米，2号渡轮平均每分钟行170米，这两只渡轮同时分别从甲乙两地相向而行，到达后乘客上船需3分钟，它们第一次相遇后又经过多少分钟第二次相遇？

例面包车以每小时60千米的速度从甲城开出，30分钟后，小轿车以每小时84千米的速度从甲城开出沿着同一行驶路线追面包车，多少小时后追上？

例甲乙丙三人行走的速度分别为每分钟30米、40米、50米。

甲、乙两人在A地、丙在B地同时相向而行，丙遇上乙后10分钟和甲相遇，求A、B两地间的路和多少米？

1、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距860千米的两地出发，汽车每小时行45千米，摩托车每小时行70千米。

6小时后两车相距多少千米？

2、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发，相向而行，一个同学骑自行车以每小时14千米的速度在两队间不断的往返联系。

甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。

两队相遇时，骑自行车的同学共行了多少千米？

3、两地之间的路程是760千米，有两列火车同时从两地相向开来，第一列火车每小时行72千米，第二列火车每小时行54千米。

一只鸽子以每小时80千米的速度和第二列火车一起出发向第一列火车飞去。

当鸽子与第一列火车相遇时，第二列火车距离目的地还有多少千米？

4、甲乙两车同时同地背向而行，甲每小时行50千米，乙车每小时行42千米，当甲车比乙车多行32千米时，甲乙两车相距多少千米？

5、甲乙两车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇，问东西两地相遇多少千米？

6、快车和慢车同时从东西两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时与慢车相距7千米。

慢车每小时行多少千米？

第六课：

植树问题

例

（1）把12厘米长的铅丝剪成3厘米长的小段，可以剪几段？

（2）一根12厘米长的铅丝剪成3厘米长的小段，要剪几次？

（3）在一根12厘米长的铅丝上分成3厘米长的小段，如果每一小段的两个端点都用红色涂上，共涂几次？

例从校门口到街口一共有18根电线杆，相邻两根电线杆的距离都是30米，从校门口到街口长多少米？

例在一条长75米的大路两旁各种一行树，起点和终点都种，一共种了52棵，相邻两种树之间的距离相等，求相邻两棵之间的距离是多少？

例一个木工锯一根长13米的木条，他先把一头损坏的部分锯下1米，然后锯了5次，锯成了许多一样长的短木条，求每根短木条长多少米？

例四年级学生200人排成四路纵队，也就是四个人排成一排，排成许多排，已知两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？

例两棵树相距115米，在中间以相等的距离增加22棵树后，求16棵与第1查之间的距离是多少？

例游泳池周长180米，沼池边每3米种树一棵，需要种多少棵？

1、校门口种一排花，一共9盒，再在每两盒花中间摆3棵盆景，一共摆了几棵盆景？

2、同学们做早操，25个学生排成一行，相邻两个人中间的距离是2米，从第一个到最后一个人的距离是多少米？

3、一条路长200米，在路的一旁从头到尾每隔5米植树一棵，共要植树多少棵？

4、在校门口放彩旗，从头到尾一共放了12面，每两面之间都相距3米，这条路长多少米？

5、有一个工人把12米长的圆钢锯成了3米长的小段，每锯断一次要5分钟，共需要多少分钟？

6、时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完，那么8点钟敲8下，几秒钟敲完？

7、把6米长的木棒平均锯成3段要用6分钟，照这样计算，如果锯成6段要用多少分钟？

第七课：

综合练习1

1填数：

6、24、96、（          ）、、1536

2、5、10、13、26、29、（            ）、（              ）

计算：

1+3+5+7+……+19=（          ）×（          ）=（          ）

3+6+9+12+15+……+1995+19989999×2222+3333×3334         

 73×64+27×65

2．A、B、C是三个不同的自然数，那么A+B+C=A×B×C=（              ）

3．边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出（          ）个长是4厘米，宽是1厘米的纸条？

4．如果六位数1922        能被105整除，那么他的最后两位数是（      ）。

5．某煤厂运进660吨煤，先供一号煤炉使用，每天12吨；后供二号煤炉使用，每天用煤15吨。

前后经50天烧完这堆煤，则一号炉用煤（    ）吨，二号（      ）吨。

6．在周长为300米的圆形跑道一条直径的两端，甲和乙分别以每秒7米和5米的速度同时沿顺时针方向运动，则20分钟内，甲追上乙（        ）次。

7．某宴会结束时一共有28次握手，如果每个人都要跟其他人握一次手，宴会中有（    ）个人。

8．甲、乙两