推荐七年级数学下册第二章相交线与平行线2探索直线平行的条件平行线的证明与性质讲义新版北师大版docx.docx
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平行线的证明与性质
一、平行线的判定方法
1.平行：
如果两条直线a与b不相交，那么这两条直线a与b互相平行，记作a//b．
2.平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
3.平行公理推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
即如果a//b，b//c，那么a//c．
4.判定方法1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线互相平行．
简单说成：
同位角相等，两直线平行．
5.在同一平面内，两条不同的直线的位置关系只有2种，就是相交和平行．
例1.
（1）在同一平面内，下列说法正确的有（ ）
①过两点有且只有一条直线；
②两条不同的直线有且只有一个交点；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）下列各种说法，正确的是（ ）
①在平面内的两条线段，如果没有公共点，那么这两条线段平行；
②如果两条射线平行，那么这两条射线没有公共点；
③如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；
④在平面内的两条直线，不相交则一定平行
A．②③④ B．②③ C．①② D．②④
答案：
（1）B
（2）D
例2.
（1）如图，若∠1=∠2，则_________//_________；
若∠2=∠3，则____∥_____；
若∠3=_________，则l3//l4；
若∠4=_________，则l1//l2．
（2）已知l1.l2.l3被l4所截，若要使l1//l3，则添加的一个条件是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠1=∠3 D．∠1=∠4
（3）如图，直线MN分别交AB.CD于E.F，∠MFD=50°，EG平分∠MEB，则当∠MEG=_________时，AB//CD．
答案：
（1）l3 l4；l1 l2；∠4；∠1
（2）C
（3）25°
提示：
当∠MEB＝∠MFD时，AB∥CD
即∠1＝∠2＋∠3
又EG平分∠MEB，∴∠2＝∠3
∴2∠2＝∠1＝50°，∴∠2＝25°
例3.
（1）如图，∠2=3∠1，且∠1＋∠3=90°，试说明AB//CD．
∵∠1＋∠2=180°，且∠2=3∠1，
∴∠1＋3∠1=180°，∴∠1＝45°
又∠1＋∠3=90°，∴∠3=45°
∴∠1＝∠3，∴AB//CD．
（2）如图，已知∠1=∠2，AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，怎样说明PQ//MN．
解：
∵AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，
∴∠EAQ＝2∠1，∠EBN＝2∠2，
又∠1＝∠2，∴∠EAQ＝∠EBN
∴PQ∥MN
（3）如图，已知直线A.B.c被直线D.e所截，∠1=∠2，∠3=∠4，那么直线a与直线c平行吗？
为什么？
解：
直线a与直线c平行．理由如下：
∵∠1＝∠2，∴a∥b
又∠3＝∠4，∴b∥c
∴a∥c（平行公理推论）
二、平行线的判定方法
1.判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：
内错角相等，两直线平行.
2.判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：
同旁内角互补，两直线平行.
例1.
（1）如图，要使得AB//CD，必须具备的条件是________或________或__________.
（2）如图，下列条件中，不能判断直线l1//l2的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3
C．∠4=∠5 D．∠2＋∠4=180°
（3）如图，下列判断错误的是（ ）
A．∵∠1=∠2，∴l3//l4
B．∵∠3=∠4，∴l3//l4
C．∵∠1=∠3，∴l3//l4
D．∵∠2=∠3，∴l1//l2
（4）如图，已知∠1=∠2，则在结论：
①∠3=∠4 ②AB//CD ③AD//BC中（ ）
A．三个都正确 B．只有一个正确
C．三个都不正确 D．只有一个不正确
（5）如图，①如果∠1=________，那么DE//AC；
②如果∠1=________，那么EF//BC；
③如果∠AED＋_________=180°，那么AC//ED；
④如果∠2＋_______=180°，那么AB//DF.
答案：
（1）∠1=∠2，∠3=∠2，∠2＋∠4=180°
（2）B （3）C （4）B
（5）①∠C ②∠FED ③∠A ④∠AED
例2.如图，已知∠B=∠C，∠B＋∠D=180°，试说明为什么BC//DG？
解：
因为∠B=∠C，∠B＋∠D=180°，
所以∠C＋∠D=180°，
所以BC//DG.
例3.如图，已知∠B=∠C，∠1=∠D，试问OM//AB吗？
为什么？
解：
OM//AB．理由如下：
因为∠B=∠C，所以AB∥CD
又∠1=∠D，所以OM//CD
所以AB∥OM.
例4.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2=90°，AB//CD吗？
为什么？
解：
AB//CD．理由如下：
因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
所以∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2
所以∠ABD＋∠BDC＝2（∠1＋∠2）
又∠1＋∠2＝90°，所以∠ABD＋∠BDC＝180°
所以AB∥CD.
例5.如图，AC是∠BAD的平分线，∠1=∠3，∠2=∠4，试说明下列结论为什么成立？
（1）AB//CD
（2）AC//DE
解：
（1）因为AC平分∠BAD，所以∠1＝∠2.
又∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.
所以AB∥CD.
（2）因为∠2＝∠3，∠2＝∠4.
所以∠3＝∠4，所以AC∥DE.
三、平行线的性质
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补.
例1.
（1）如图，AB//CD，直线EF与AB.CD分别相交于G、H，∠AGE=60°，则∠EHD的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
（2）如图，直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2的度数是________.
（3）如图，已知∠1=∠2，∠3=80°，则∠4等于（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
（4）如图，是明明养的小乌龟上的一块花纹，DE//FG，BC//DE，EF//DC，DC//AB，则∠B与∠F的关系是_____________.
答案：
（1）C
（2）56° （3）A （4）∠B=∠F
例2.
（1）如图，已知AB//EF//CD，EG//DB，图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
（2）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB//DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（ ）
A．120° B．100° C．140° D．90°
（3）在同一平面内有两个角，它们有一条边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等且互补 D．相等或互补
答案：
（1）B
（2）B （3）D
例3.如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，且∠E=∠3，试说明AD平分∠BAC的理由.
解：
∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD∥EG，
∴∠E＝∠2，∠3＝∠1
又∠E=∠3，∴∠1＝∠2
∴AD平分∠BAC
例4.已知，如图，∠1=∠2，∠A=∠F，试说明为什么∠C=∠D？
解：
∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC，∴∠C＝∠4
∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠2＝∠3，
∴DB∥EC，
∴∠D＝∠4
又∠C＝∠4
∴∠C＝∠D
例5.如图，已知∠1＋∠2=180°，∠B=∠3，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由.
解：
∠AED＝∠C．理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠5＝180°
∴∠2＝∠5，∴AB∥EF
∴∠4＝∠3
又∠B＝∠3，∴∠4＝∠B
∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C
例6.如图，已知AD⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2=90°，那么BC⊥AB，说明理由.
解：
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
又∠1＋∠2＝90°
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°
即∠ADC＋∠BCD＝180°
∴AD∥BC
又AD⊥AB
∴BC⊥AB
一、选择题
1.下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条直线是平行线
B．互相平行的两条直线在同一平面内
C．同一平面内，不相交的两条线段是平行线
D．若线段AB和线段CD无交点，则它们一定平行
2.已知直线l外点A，过点A作直线与l平行，那么这样的直线（ ）
A．有两条 B．不存在
C．有且只有一条 D．有一条或不存在
3.下列推理正确的是（ ）
A．因为a∥d，b∥c，所以c//d
B．因为a∥c，b//d，所以c∥d
C．因为a∥b，a∥c，所以b//c
D．因为a∥b，c//d，所以a∥c
4.在同一平面内，直线a与b相交，直线c与b相交，则a，c的位置关系是（ ）
A．一定相交
B．一定平行
C．也可能平行，也可能相交
D．上述都不对
5.在同一平面内，下列说法：
①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6.如图所示立方体，下列说法正确的有（ ）
①AA1∥BB1；②AA1∥CC1；③AA1∥DD1；④AA1∥A1B1．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
7.在同一平面内有三条直线，若其中两条平行但与第三条直线不平行，则它们的交点的个数为（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
8.如图所示，如果∠D=∠EFC，那么（ ）
A．AD//BC B．EF//BC
C．AB//DC D．AD//EF
9.如图所示，P是直线l外一点，直线l1，l2都过点P，如果l1//l，那么l2与l__________，根据____________．
10.如图所示，在∠AOB的内部有一点P，已知∠AOB=60°．
（1）过点P作PC∥OA，PD∥OB；
（2）量出∠CPD的度数，说出它与∠AOB的关系．
11.若直线a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d吗?
为什么?
对于n条直线l1，l2，l3，…，ln，若l1∥l2，l2∥l3，…，ln－1∥ln，则又可得出什么结论?
BCCCCDCD
（1）略
（2）∠CPD=60°，∠CPD与∠AOB相等或互补．
10.解：
∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，又c∥d，
∴a∥d．
同理l1∥l2∥l3∥…∥ln－1∥ln．
作业1
一、选择题
1.如图所示，下列条件中，能判断AB//CD的是（ ）
A．∠BAD=∠BCD B．∠1=∠2
C．∠3=∠4 D．∠BAC=∠ACD
2.如图所示，在下列给出的条件中，不能判断AB//DF的是（ ）
A．∠A＋∠2=180° B．∠A=∠3
C．∠1=∠4 D．∠1=∠A
3.如图所示，已知∠1=∠2，∠A=∠D，则下列推理正确的是（ ）
A．因为∠1=∠2，所以AB//CD
B．因为∠1=∠2，所以BE//CF
C．因为∠A=∠D，所以AB//CD
D．因为∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3=∠4
二、填空题
4.如图所示.
（1）如图∠1=∠3，可推出_______//________，其理由是________________；
（2）如果∠2=∠4，可推出_______//__________，其理由是________________；
（3）如果∠B＋∠BAD=180°，那么可推出_______//__________，其理由是________________.
5.如图所示，请你填写一个适当的条件：
___________，使AD//BC.
6.在同一平面内，若直线a1⊥a2，a2//a3，a3⊥a4，a4//a5，…，a9⊥a10，则a1与a10的位置关系为___________（a1与a10不重合）.
三、综合题
7.如图所示，已知∠A=∠ACE，∠B=∠BDF，且∠A=∠B，那么CE//DF吗？
8.如图所示，已知点B在直线DE上，AB⊥CB，∠A=50°，∠CBD=40°，那么AC与BD是否平行？
为什么？
9.如图所示，直线EF交直线AB，CD于点M，N，∠EMB=∠END，MG平分∠EMB，NH平分∠END．试探究MG与NH的位置关系，并说明理由.
4.
（1）AD//BC，内错角相等，两直线平行.
（2）AB∥CD，内错角相等，两直线平行.
（3）AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行.
5.∠ADB＝∠DBC或∠DAB＋∠ABC＝180°.
6.a1⊥a10
7.解：
CE//DF．理由如下：
因为∠A=∠ACE，∠B=∠BDF，且∠A=∠B，
所以∠ACE＝∠BDF.
因为∠ACE＋∠ECD＝∠BDF＋∠CDF＝180°，
所以∠ECD＝∠CDF，
所以CE//DF.
8.解：
平行，理由如下：
∵AB⊥CB
∴∠ABC=90°
∵∠CBD=40°
∴∠ABE=180°－∠ABC－∠CBD
=180°－90°－40°=50°
∵∠A=50°
∴∠A=∠ABE
∴AC//BD
9.解：
∵MG平分∠EMB
∴∠EMG=
∠EMB
∵NH平分∠END
∴∠ENH=
∠END
又∠EMB=∠END
∴∠EMG=∠ENH
∴MG//NH
作业2
一、填空题
1.如图，直线a//b，∠1=70°，则∠2=_______.
2.在第1题中，若a//b，则∠1与∠3的关系是_________________.
3.如图，l1//l2，则∠1=________.
4.如图，已知DE//BC，∠D=2∠DBC，∠1=2∠2，则∠DEB=________.
二、选择题
5.如图，若AD∥BC，则有：
①∠A＋∠B＝180°，②∠B＋∠C＝180°，③∠C＋∠D＝180°．
以上结论正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．①③
6.如图，已知CD//AB，OE平分∠DOB，若∠D=50°，则∠AOE为（ ）
A．145° B．155° C．165° D．175°
7.若两条直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线（ ）
A．互相平行 B．互相垂直
C．重合 D．相交
三、综合题
8.如图，已知AB//CD，∠B=∠D，试判定AD与BC的位置关系，并证明.
9.有一条直的的等宽纸带，按图折叠时，纸带重叠部分中∠α是多少？
10.如图，直线AC//BD，连结AB，直线AC.BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连结PA.PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角.（提示：
有公共端点的两条重合的折射所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：
∠APB=∠PAC＋∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC＋∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
1.70°
2.∠1＋∠3=180°
3.60°
4.40°
DBD
8.平行．理由如下：
∵AB//CD，∴∠B+∠C＝180°
∵∠B＝∠D
∴∠D+∠C＝180°
∴AD∥BC
9.75°
10.
（1）解法一：
如图1
延长BP交直线AC于点E
∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD.
∵∠APB=∠PAE＋∠PEA,
∴∠APB=∠PAC＋∠PBD.
解法二：
如图2
过点P作FP∥AC,
∴∠PAC=∠APF.
∵AC∥BD，∴FP∥BD.
∴∠FPB=∠PBD.
∴∠APB=∠APF＋∠FPB=∠PAC＋∠PBD.
解法三：
如图3，
∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD=180°
即∠PAC＋∠PAB＋∠PBA＋∠PBD=180°.
又∠APB＋∠PBA＋∠PAB=180°,
∴∠APB=∠PAC＋∠PBD.
（2）不成立.
（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC＋∠APB.
（b）当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD=∠PAC＋∠APB.
或∠PAC=∠PBD＋∠APB或∠APB=0°，
∠PAC=∠PBD（任写一个即可）.
（c）当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC=∠APB＋∠PBD.
选择（a）证明：
如图4，连接PA，连接PB交AC于M
∵AC∥BD,
∴∠PMC=∠PBD.
又∵∠PMC=∠PAM＋∠APM,
∴∠PBD=∠PAC＋∠APB.
选择（b）证明：
如图5
∵点P在射线BA上，∴∠APB=0°.
∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC.
∴∠PBD=∠PAC＋∠APB
或∠PAC=∠PBD＋∠APB
或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD.
选择（c）证明：
如图6，连接PA，连接PB交AC于F
∵AC∥BD,∴∠PFA=∠PBD.
∵∠PAC=∠APF＋∠PFA,
∴∠PAC=∠APB＋∠PBD.
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