版高中数学人教B版必修二学案111 构成空间几何体的基本元素 112 棱柱棱锥和棱台的结构特征.docx

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版高中数学人教B版必修二学案111构成空间几何体的基本元素112棱柱棱锥和棱台的结构特征

1.1　空间几何体

1.1.1　构成空间几何体的基本元素

1.1.2　棱柱、棱锥和棱台的结构特征

[学习目标]　1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，同时在运动变化的观点下，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系.2.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法.3.能根据棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表示方法.

[知识链接]

观察下列图片，你知道这些图片所表示的物体在几何中分别叫什么名称吗？

答　

（1）、（8）为圆柱；

（2）为长方体；（3）、（6）为圆锥；（4）、（10）为圆台；（5）、（7）、（9）为棱柱；（11）、（12）为球；（13）、（16）为棱台；（14）、（15）为棱锥.

[预习导引]

1.几何体

只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体.

2.构成空间几何体的基本元素

（1）点、线、面是构成几何体的基本元素.线有直线（段）和曲线（段）之分，面有平面（部分）和曲面（部分）之分.

（2）在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面；平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名.

3.空间点、线、面的位置关系

（1）空间两条直线的位置关系：

平行、相交、异面.

（2）直线和平面的位置关系：

平行、相交、在平面内.

（3）两个平面的位置关系：

平行、相交.

4.多面体

（1）多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.

（2）把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体.

5.几种常见的多面体

多面体

定义

图形及表示

相关概念

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

如图可记作：

棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′

底面（底）：

两个互相平行的面.

侧面：

其余各面.

侧棱：

相邻侧面的公共边.

顶点：

侧面与底面的公共顶点

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

如图可记作，棱锥S-ABCD

底面（底）：

多边形面.

侧面：

有公共顶点的各个三角形面.

侧棱：

相邻侧面的公共边.

顶点：

各侧面的公共顶点

棱台

用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台

如图可记作：

棱台ABCD-A′B′C′D′

上底面：

原棱锥的截面.

下底面：

原棱锥的底面.

侧面：

其余各面.

侧棱：

相邻侧面的公共边.

顶点：

侧面与上（下）底面的公共顶点

要点一　长方体中基本元素间的位置关系

例1　如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延伸为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：

（1）与直线B′C′平行的平面有哪几个？

（2）与直线B′C′垂直的平面有哪几个？

（3）与平面BC′平行的平面有哪几个？

（4）与平面BC′垂直的平面有哪几个？

解　

（1）与直线B′C′平行的平面有：

平面AD′，平面AC.

（2）与直线B′C′垂直的平面有：

平面AB′，平面CD′.

（3）与平面BC′平行的平面有：

平面AD′.

（4）与平面BC′垂直的平面有：

平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.

规律方法　1.解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直.

2.长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系.

跟踪演练1　若本例中的题干不变，将问题

（1）

（2）中的“直线B′C′”改为“直线BC′”，再去解答前两个小题.

解　

（1）与直线BC′平行的平面有：

平面AD′.

（2）所给6个平面中，与直线BC′垂直的平面不存在.

要点二　棱柱的结构特征

例2　下列关于棱柱的说法：

（1）所有的面都是平行四边形；

（2）每一个面都不会是三角形；

（3）两底面平行，并且各侧棱也平行；

（4）被平面截成的两部分可以都是棱柱.

其中正确说法的序号是________.

答案　（3）（4）

解析　

（1）错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；

（2）错误，棱柱的底面可以是三角形；

（3）正确，由棱柱的定义易知；

（4）正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是（3）（4）.

规律方法　棱柱的结构特征：

（1）两个面互相平行；

（2）其余各面是四边形；

（3）相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.

跟踪演练2　下列关于棱柱的说法错误的是（　　）

A.所有的棱柱两个底面都平行

B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行

C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱

D.棱柱至少有五个面

答案　C

解析　

对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：

有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.所以C错误.

要点三　棱锥、棱台的结构特征

例3　下列关于棱锥、棱台的说法：

（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；

（3）棱锥的侧面只能是三角形；

（4）由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________.

答案　

（2）（3）（4）

解析　

（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；

（4）正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

（5）

错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

规律方法　判断棱锥、棱台形状的两个方法

（1）举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.

（2）直接法：

棱锥

棱台

定底面

只有一个面是多边形，此面即为底面

两个互相平行的面，即为底面

看侧棱

相交于一点

延长后相交于一点

跟踪演练3　棱台不具有的性质是（　　）

A.两底面相似B.侧面都是梯形

C.侧棱长都相等D.侧棱延长后相交于一点

答案　C

解析　由棱台的概念（棱台的产生过程）可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等.

要点四　多面体的表面展开图

例4　画出如图所示的几何体的表面展开图.

解　表面展开图如图所示：

规律方法　多面体表面展开图问题的解题策略：

（1）绘制展开图：

绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.

（2）已知展开图：

若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.

跟踪演练4　

一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.

答案　60°

解析　将平面图形翻折，折成空间图形，如图.

1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有（　　）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案　D

解析　由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.

2.棱柱的侧面都是（　　）

A.三角形B.四边形

C.五边形D.矩形

答案　B

解析　由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形.

3.如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（　　）

A.①③B.②④

C.③④D.①②

答案　C

解析　可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.

4.下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台（仅填相应序号）.

答案　①③④　⑥　⑤

解析　结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.

5.线段AB长为5cm，在水平面上向右移动4cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′.

（1）该长方体的高为________；

（2）平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________；

（3）点A到平面BCC′B′的距离为________.

答案　

（1）3cm　

（2）4cm　（3）5cm

解析　如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5cm，BC＝4cm，CC′＝3cm，∴长方体的高为3cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4cm；点A到平面BCC′B′的距离为5cm.

1.空间几何体的本质

（1）几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分，如长方体形的盒子外表面不是长方体，而外表面加上它所占据的空间才是长方体.

（2）数学上的几何体是一个抽象概念，只需考虑它的形状和大小，研究它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等.

2.两个特殊的空间位置关系

（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形；

（2）平面和平面垂直是两个平面相交的特殊情形.

3.

（1）点到平面的距离：

点与平面内任一点连线中最短的一条线段的长度.特别地，当点在平面内时，点到平面的距离为0.

（2）两个平行平面间的距离，可转化为其中一个平面内任一点到另一个平面的距离.

4.棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.

5.各种棱柱之间的关系

（1）棱柱的分类

棱柱

（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系

6.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：

名称

底面

侧面

侧棱

高

平行于底面的截面

棱柱

斜棱柱

平行且全等的两个多边形

平行四边形

平行且相等

与底面全等

直棱柱

平行且全等的两个多边形

矩形

平行、相等且垂直于底面

等于侧棱

与底面全等

正棱柱

平行且全等的两个正多边形

全等的矩形

平行、相等且垂直于底面

等于侧棱

与底面全等

棱锥

正棱锥

一个正多边形

全等的等腰三角形

有一个公共顶点且相等

过底面中心

与底面相似

其他棱锥

一个多边形

三角形

有一个公共顶点

与底面相似

棱台

正棱台

平行且相似的两个正多边形

全等的等腰梯形

相等且延长后交于一点

与底面相似

其他棱台

平行且相似的两个多边形

梯形

延长后交于一点

与底面相似