《数学分析123》教学大纲.docx

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《数学分析123》教学大纲

《数学分析1/2/3》教学大纲

一、课程基本信息

中文名称：

数学分析1/2/3

英文名称：

MathematicalAnalysis1/2/3

课程编码：

06101/2/3B

课程类别：

学科基础课

总学时：

252（理论208，实践44）

总学分：

14

适用专业：

数学与应用数学专业

先修课程：

中学数学课程

开课系部：

应用数学系

二、课程的性质与任务

数学分析是数学与应用数学专业的一门重要的基础课。

它不仅是培养学生用数学的思想认识问题、分析并解决问题的重要入门课程，也是后继课程——微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、泛函分析、概率论与数理统计等的基础。

本课程的基本内容有极限理论、一元微积分学、多元微积分学和级数理论，分三学期学习，总学时252学时，总学分14学分（第一学期12周，每周6学时，4学分，第二学期15周，每周6学时，5学分，第三学期15周，每周6学时，5学分）。

通过本课程的学习，学生能够正确理解数学分析的基本概念，掌握基本定理、基本原理、基本方法；正确理解实数理论、极限理论、一元函数微积分、无穷级数和多元微积分等方面的系统知识和基本原理以及它们之间的内在联系；深刻认识极限的思想和方法，弄清不变与变，有限与无限，特殊与一般，抽象与具体的内在关系；掌握数学分析中的论证方法和常用的分析技巧，具有运用数学分析的方法去观察问题、思考问题、分析问题和解决问题的能力，提高抽象思维和逻辑推理的专业素质；熟练掌握微积分学的基本运算方法和运算技巧，获得本课程所要求的分析、论证、计算等方面的能力；对中学数学中的有关内容有深刻的了解，以较高的观点分析和处理好这些内容；提高建立数学模型，并具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力，为进一步学习其它专业课程打下必要的基础，为创新能力的培养提供重要平台。

三、教学内容与教学要求

第一部分函数、极限、连续

这一部分的教学目标主要是

（1）让学生系统掌握极限的基本思想和基本理论及计算技巧。

（2）让学生掌握连续函数的概念、性质和一致连续性定理并通过对函数连续性的讨论加深学生对极限思想和方法的认识为以后的学习打下坚实的基础。

讲授这部分除认真组织好课堂教学外还应认真做到如下几点：

（1）适当、适时组织学生对教材中的重点和难点问题进行讨论。

（2）加强对学生的自学指导，有些内容可让学生课下自学，教师只讲授重点和关键，但对学生应掌握的知识，要提出明确的要求。

（3）加强对学生基本技能的训练。

一、实数集与函数

（一）教学内容

（1）实数

实数及其性质、绝对值与不等式

（2）数集、确界原理

区间与邻域、有界集与确界原理

（3）函数概念

函数的定义、函数的表示法、函数的四则运算、复合函数、反函数、初等函数

（4）具有某些特性的函数

有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数

（二）目的要求

（1）掌握实数的基本性质和确界原理，建立起实数集确界的概念

（2）深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见述语

（3）弄清区间与领域，确界，函数，复合函数和反函数的概念

（4）了解函数的几种表示法

（三）重点与难点

重点是实数集，函数与确界的概念及其有关的性质

难点是确界的定义及应用

二、数列极限

（一）教学内容

（1）数列极限概念

（2）收敛数列的性质

（3）数列极限存在的条件

（二）目的要求

（1）透彻理解数列极限的概念

（2）能够用

语言描述极限问题

（3）能运用定义，四则运算，极限存在判别法，柯西准则，判别极限的存在性，熟练地求出数列极限

（三）重点与难点

重点为数列极限的定义、性质及计算

难点为数列极限的

定义及柯西准则

三、函数极限

（一）教学内容

（1）函数极限概念

趣于

时函数的极限、

趣于

时函数的极限

（2）函数极限的性质

（3）函数极限存在的条件

（4）两个重要的极限

（5）无穷小量与无穷大量

无穷小量、无穷小量阶的比较、无穷大量、曲线的渐近线

（6）利用Matlab进行函数极限运算

（二）目的要求

（1）牢固掌握函数极的概念及基本性质

（2）理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性

（3）掌握两个重要极限

和

并熟练运用

（4）理解并掌握无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数极限

（5）学习、掌握MATLAB软件有关的命令

（三）重点与难点

重点是函数极限的概念、性质及计算.

难点是柯西准则和海涅定理的运用，函数极限的

定义与

定义

四、函数的连续性

（一）教学内容

（1）连续性概念

函数在一点的连续性、间断点及其分类、区间上的连续函数

（2）连续函数的性质

连续函数的局部性质、闭区间上连续函数的基本性质、反函数的连续性、一致连续性

（3）初等函数的连续性

指数函数的连续性、初等函数的连续性

（二）目的要求

（1）深刻理解和掌握函数连续性的概念和连续函数的概念

（2）掌握间断点的概念及其分类

（3）能正确叙述和应用闭区间上连续函数的性质

（4）掌握初等函数的连续性

（三）重点难点

重点是函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质

难点是一致连续性的概念

第二部分一元函数微分学

这部分的教学目标主要是

（1）让学生系统掌握微分的基本思想和基本理论及计算技巧。

（2）通过对微分思想产生的背景的认识，在认真总结前人成果的基础上培养学生用微分解决实际问题的能力。

（3）注意启迪学生“数学建模”的思想,并努力提高其运用能力。

讲授本部分内容要重视培养学生的实践能力和创新能力，除认真组织好课堂教学外还应认真做到如下几点：

（1）适当组织学生的课堂讨论,特别是书中的重点难点问题。

（2）加强对学生的自学的指导。

（3）加强对学生基本技能的训练。

五、导数和微分

（一）教学内容

（1）导数的概念

导数的定义、导函数、导数的几何意义

（2）求导法则

导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数、基本求导法则与公式

（3）参变量函数的导数

（4）高阶导数

（5）微分

（6）利用Matlab进行导数运算

（二）目的要求

（1）掌握导数与微分的概念，了解其几何意义

（2）能熟练地运用导数运算性质与求导法则（特别是复合函数求异法则）求函数的导数

（3）能求函数的高阶导数

（4）学习、掌握MATLAB软件有关的命令

（三）重点与难点

重点是导数与微分的概念及其计算

难点是求复合函数导数

六、微分中值定理及其应用

（一）教学内容

（1）拉格朗日定理和函数的单调性

罗尔定理与拉格朗日定理、单调函数

（2）柯西中值定理和不定式极限

柯西中值定理、不定式极限

（3）泰勒公式

带有佩亚诺型余项的泰勒公式、带有拉格朗日余项的泰勒公式、在近似计算中的应用

（4）函数的极值与最大（小）值

极值判别、最大值与最小值

（5）函数的凸性与拐点

（6）函数图象的讨论

（二）目的要求：

（1）掌握中值定理的内容与证明

（2）掌握中值定理，熟悉它的某些应用（如研究一些恒等式与不等式,泰勒定理,罗必达法则）

（3）能够把某些函数按泰勒公式展开

（4）能熟练地用罗必达法则求不定式的极限

（5）掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较准确地描绘函数的图象

（6）会求函数的极大（小）值,最大（小）值,拐点

（三）重点与难点

重点是中值定理、泰勒公式和利用导数研究函数的单调性、极值与凸性

难点是用辅助函数解决问题的方法和函数的凸性

七、实数的完备性

（一）教学内容

（1）关于实数集完备性的基本定理

区间套定理与柯西收敛准则、聚点定理与有限覆盖定理（实数集完备性的基本定理等价性）

（二）目的要求

（1）掌握实数连续性的几个基本定理

（2）能应用实数的完备性定理证明一些简单的理论问题

（三）重点与难点

重点是实数完备性基本定理的证明

难点是实数完备性基本定理的应用

第三部分一元函数积分学

这部分讲授的是具有重要理论意义和实用价值的不定积分、定积分及其应用、非正常积分等内容。

教学目标主要是：

（1）让学生系统掌握积分基本思想和基本理论以及计算技巧。

（2）通过对积分思想产生的背景的认识，在认真总结前成果的基础上，培养学生解决实际总是的能力。

（3）注意启迪学生“数学建模”的思想，并努力提高其运用能力。

教学方法要采用多媒体等教学手段，除组织好课堂教学外，要做到以下五点：

（1）适当、适时组织课堂讨论，所讨论的问题，应是教材中的重点和难点问题。

（2）加强对学生的自学指导，教师只讲授重点和关键，一般内容可让学生课下自学，但对学生应掌握的知识，必须提出明确的要求，并配备数目相当的练习题供学生练习。

（3）在教材取舍上，及时弃旧图新，以顺应时代发展和科技进步，在概念及方法的引进上应体现现代化精神。

（4）每章结束后，让学生进行归纳总结，并提出自己对教材内容的改革设想，加深对该章的认识和体会，以巩固所学知识。

八、不定积分

（一）教学内容

（1）不定积分概念与基本积分公式

原函数与不定积分概念、基本积分表、线性运算法则。

（2）换元积分法与分部积分法

换元积分法、分部积分法

（3）有理函数和可化为有理函数的不定积分

有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、几种无理根式的积分

（二）目的要求

（1）理解不定积分的概念、性质、与运算法则。

熟记基本积分表

（2）熟练掌握不定积分的基本公式、分部积分法和换元积分法、有理函数积分的计算、区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型

（三）重点与难点

重点是换元积分法和分部积分法

难点是积分技巧，通过微分运算推导积分运算公式。

九、定积分

（一）教学内容

（1）定积分概念

引入问题（曲边梯形面积与变力作功）、定积分定义、定积分的几何意义

（2）牛顿—莱布尼茨公式

（3）可积条件

可积的必要条件、可积的充要条件、可积函数类。

（4）定积分性质

定积分的基本性质、积分中值定理

（5）微积分学基本定理、定积分计算

変限积分与原函数的存在性、换元积分法、分部积分法、泰勒公式的积分型余项

（6）利用Matlab进行积分运算

（二）目的要求

（1）熟练掌握定积分的定义、性质、可积准则、微积分基本定理

（2）能熟练地应用牛顿—莱布尼茨公式、换元积分公式与分部积分公式计算定积分

（3）了解上和与下和的概念及其性质

（4）掌握定积分的每个性质的证明方法

（5）会应用可积准则证明三类函数的可积性，并掌握证明函数可积性的方法逐步具有证明有关可积性问题的能力

（6）学习、掌握MATLAB软件有关的命令

（三）重点与难点

重点是定积分的定义、性质、微积分学基本定理及定积分的计算

难点是函数可积性。

十、定积分的应用

（一）教学内容

（1）平面图形面积

（2）由平行截面面积求体积（旋转体体积）

（3）平面曲线的弧长与曲率

（4）微元法、旋转曲面的面积

（5）定积分在物理中的某些应用（液体静压力、引力、功、平均功率等）

（二）目的要求

（1）掌握定积分的几何应用

（2）逐步掌握微元法，了解定积分在物理及经济生活中的一些应用

（三）重点与难点

重点是微元法的应用

难点是微元法的应用

十一、反常积分

（一）教学内容

（1）反常积分概念

无穷限反常积分概念、无界函数反常积分概念

（2）无穷积分的性质与收敛判别

无穷积分的性质、非负函数无穷积分的收敛判别法、一般无穷积分的收敛判别法

（3）瑕积分的性质与收敛判别

（二）目的要求

（1）掌握反常积分敛散性定义，瑕点

（2）掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子

（3）理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别基本的反常积分

（三）重点与难点

重点是判别反常积分的敛散性

难点是用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分的敛散性

第四部分级数

这部分讲授的是具有重要理论意义和实用价值的数项级数、函数项级数、幂级数和傅里叶级数等内容。

教学目标主要是：

（1）让学生系统掌握级数敛散性的基本思想和基本理论以及判别方法。

（2）通过对级数敛散性的学习，提高学生对“由有限到无限，由特殊到一般”规律的认识，培养学生解决实际问题的能力。

讲授本部分内容要重视培养学生的学习能力,除认真组织好课堂教学外还应认真做到如下几点

（1）适当组织学生的课堂讨论。

（2）加强对学生的自学的指导。

（3）加强学生能力训练，对教材内容深层次的延伸，教师适当启发后，让学生自己去寻找结论。

（4）本部分内容结束后，让学生进行归纳总结，并提出自己对教材内容的改革设想，加深对该章的认识和体会，以巩固所学知识。

十二、数项级数

（一）教学内容

（1）级数的收敛性

级数收敛与和的定义、柯西准则、收敛级数的基本性质

（2）正顶级数

正项级数收敛性的一般判别原则、比式判别法与根式判别法、积分判别法

（3）一般项级数

交错级数、绝对收敛级数及其性质、狄利克雷（Dirichlet）判别法、阿贝尔（Abel）判别法

（二）目的要求

（1）掌握级数收敛和发散的定义，理解其意义

（2）熟练地掌握判别级数敛散性的判别法记住几何级数和广义调和级数的敛散性

（3）掌握收敛级数和绝对收敛级数的性质及其证明方法，逐步具有应用级数的敛散性定义和收敛级数的性质证明级数中一些理论问题的能力

（三）重点与难点

重点是用定义求和以及级数收敛判别法

难点是狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。

十三、函数列与函数项级数

（一）教学内容

（1）一致收敛性

函数列及其一致收敛性、函数项级数及其一致收敛、函数项级数的一致收敛性判别法

（2）一致收敛函数列于函数项级数的性质

函数列极限函数与函数项级数的和函数的连续性、逐项积分与逐项求导

（二）目的要求

（1）熟练掌握一致收敛的定义及其否定叙述

（2）能应用一致收敛的定义和收敛判别法判别函数列和函数项级数的一致收敛性

（3）会讨论极限函数与和函数的分析性质

（三）重点与难点

重点是一致收敛的概念，极限函数与和函数的分析性质

难点是一致收敛性其及判别法。

十四、幂级数

（一）教学内容

（1）幂级数

幂级数的收敛区间、幂级数的性质、幂级数的运算

（2）函数的幂级数展开

泰勒级数、初等函数的幂级数展开式

（二）目的要求

（1）掌握幂级数的性质

（2）函数展为幂级数及幂级数求和的方法

（三）重点与难点

重点是幂级数的求和，函数展为幂级数

难点是利用幂级数的性质求和

十五、傅里叶级数

（一）教学内容

（1）傅里叶级数

三角函数系的正交性、以

为周期的函数的傅里叶级数

（2）以

为周期的函数的展开式

以

为周期的函数的傅里叶级数、偶函数与奇函数的傅里叶级数

（二）目的要求

（1）会叙述三角函数系其及正交性。

能求出函数的傅里叶系数及其傅里叶级数，会叙述收敛性定理并会证明

（2）能熟练的将定义在区间

及

上的函数开拓成周期函数并将其展成傅里叶级数

（3）能熟练的将定义在区间

及

上的函数进行奇偶开拓并将其展成正弦级数或余弦级数

（三）重点与难点

重点是将函数展为傅里叶级数

难点是将函数展为傅里叶级数

第五部分多元函数微分学

多元函数微分学是一元函数微分学的后续课程，是数学专业后续课程的基础。

这部分的任务是要使学生掌握多元函数微分学的基本概念、基本理论，进一步掌握数学分析中的论证方法，较熟练地获得本课程所要求的基本计算方法和能力，为进一步学习数学与应用数学专业的后继课程打下必要的基础，增强运用数学手段解决实际问题的能力。

讲授本部分内容要重视培养学生的学习能力,除认真组织好课堂教学外还应认真做到如下几点

（1）适当组织学生的课堂讨论,比较一元函数微分学与多元函数微分学联系与区别.

（2）加强对学生的自学的指导.（3）加强学生能力训练，对教材内容深层次的延伸，教师适当启发后，让学生自己去寻找结论。

（4）每章结束后，让学生进行归纳总结，并提出自己对教材内容的改革设想，加深对该章的认识和体会，以巩固所学知识。

十六、多元函数的极限与连续

（一）教学内容

（1）平面点集与多元函数

平面点集、R2上的完备性定理、二元函数、

元函数

（2）二元函数的极限

二元函数极限、累次极限

（3）二元函数的连续性

二元函数的连续性概念、有界闭域上连续函数的性质

（二）目的要求

（1）掌握平面点集的一些概念，如邻域、内点、界点、聚点、开集、闭集、开域、闭区域、有界集、无界集等。

会在直角坐标系及极坐标系下表示平面区域

（2）会叙述R2上的完备性定理并掌握及证明方法

（3）熟练掌握二元函数的定义。

会求二元函数的定义域，会描述一些函数的图象

（4）熟练掌握二元函数极限的定义，会求二元函数的极限。

能熟练的判别函数的极限是否存在

（5）熟练掌握二元函数连续的定义。

会求多元函数的不连续点，会证明二元续函数的局部保号性、复合函数的连续性等。

掌握有界闭域上连续函数的性质及证明方法

（6）会叙述和证明一致连续性定理

（三）重点与难点

重点是平面点集的有关概念、多元函数极限与连续性概念、二重极限与累次极限的关系

难点是平面点集的概念、二重极限与累次极限的关系

十七、多元函数微分学

（一）教学内容

（1）可微性

可微性与全微分、偏导数、可微性条件、可微性几何意义及应用

（1）复合函数微分法

复合函数的求导法则、复合函数的全微分

（2）方向导数与梯度

方向导数的定义及计算方法、梯度的定义及性质

（3）泰勒公式与极值问题

高阶偏导数、中值定理和泰勒公式、极值问题

（二）目的要求

（1）理解偏导数及其几何意义。

能熟练的求出多元函数的偏导数，特别是多元复合函数的偏导数。

能熟练求出二元函数的高阶偏导数

（2）理解全微分的概念及意义。

会叙述全微分的定义会求全微分。

知道二元函数在某点可微、两个偏导数存在、连续之间的关系。

会叙述一阶微分形式不变性

（3）会求空间曲线的切线方程与法平面方程，会求空间曲面的切平面方程与法线方程。

会用全微分近似计算函数值

（4）会叙述并证明泰勒定理，能将函数展成泰勒公式或马克劳林公式，并知道泰勒公式的意义和用途。

（5）会求二元函数的局部极值和最大（小）值，并能解决一些实际应用问题

（三）重点与难点

重点是偏导数、全微分的概念及它们之间的关系，多元函数的条件极值

难点是全微分、偏导数之间的关系，高阶复合函数的偏导数

十八、隐函数定理及其应用

（一）教学内容

（1）隐函数

隐函数概念、隐函数存在性条件的分析、隐函数存在性定理、隐函数求导

（2）隐函数组

隐函数组概念、隐函数组定理、反函数组与左坐标变换

（3）几何应用

平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线

（4）条件极值

（二）目的要求

（1）理解隐函数的概念

（2）掌握隐函数定理及隐函数组定定理

（3）能熟练计算隐函数和隐函数组的偏导数和高阶偏导数

（4）会求空间曲线（特别是隐函数方程给出的）的切线与法平面方程及曲面的切平面方程和法线方程

（5）会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值，能将实际中的极值问题抽象为条件极值问题

（三）重点与难点

重点是计算隐函数和隐函数组的偏导数和高阶偏导数、拉格朗日乘数法求函数

难点是计算隐函数和隐函数组的偏导数和高阶偏导数

第六部分多元函数积分学

多元函数积分学是微积分学的重要组成部分，是一元函数积分学的扩充和推广，是数学专业后续课程的基础。

这部分的任务是要使学生掌握多元函数积分学的基本概念，基本理论，基本掌握数学分析中的论证方法，较熟练地获得本课程所要求的基本计算方法和能力，增强运用数学手段解决实际问题的能力，为进一步学习数学与应用数学专业的后继课程打下必要的基础。

讲授本部分内容要重视培养学生的学习能力,除认真组织好课堂教学外还应认真做到如下几点

（1）适当组织学生的课堂讨论,比较一元函数积分学与多元函数积分学联系与区别.

（2）加强对学生的自学的指导.

十九、含参量积分

（一）教学内容

（1）含变量的正常积分

含变量的正常积分定义的函数的连续性、可导性、可积性

（2）含参量的反常积分

一致收敛性及其判别法、含参量的反常积分的性质

（3）欧拉积分

函数、

-函数简介

（二）目的要求

（1）熟练掌握含参量正（反）常积分的概念,性质

（2）能熟练的利用含参量正（反）常积分的性质计算极限,积分,导数

（3）掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法,特别是魏尔斯特拉斯M判别法

（4）能正确叙述含参量反常积分非一致收敛并了解及证明方法

（5）知道Bata-函数及Gamar-函数的定义和性质并能利用它计算一些定积分和广义积分

（三）重点与难点

重点是含参量积分的性质、一致收敛性及含参量反常积分的一致收敛判别法

难点是含参量反常积分的性质的证明及用性质计算定积分

二十、曲线积分

（一）教学内容

（1）第一型曲线积分

第一型曲线积分的定义及其计算

（2）第二型曲线积分

第二型曲线积分的定义及其计算、两类曲线积分的联系

（二）目的要求

（1）熟练掌握两类曲线积分概念,性质及计算方法

（2）了解两类曲线积分的关系及实际背景

（三）重点与难点

重点是两类曲线积分的概念与计算

难点是两类曲线积分的关系

二十一、重积分

（一）教学内容

（1）二重积分概念

平面图形的面积、二重积分的定义及其存在性、二重积分的性质及其计算法。

（2）直角坐标系下二重积分的计算

（3）格林公式、曲线积分与路径的无关性

（4）二重积分的变量变换

二重积分的变量变换公式、用极坐标计算二重积分

（5）三重积分

三重积分概念、化三重积分为累次积分、三重积分换元法

（6）重积分的应用

曲面的面积、重心、转动惯量、引力

（7）利用Matlab进行重积分运算

（二）目的要求

（1）掌握二三重积分的概念性质及实际背景

（2）能熟练的运用化累次积分和变量变换的方法计算二三重积分

（3）会用二三重积分计算曲面的面积、物体的休积、重心、转动惯量、引力等

（4）能准确叙述格林公式的条件与结论并能运用它计算曲线积分、面积等

（5）会叙述平面曲线积分与路径无关的等价条件并会应用它计算和证明某些问题

（6）学习、掌握MATLAB软件有关的命令

（三）重点与难点

重点是二重积分的概念、性质，二重积分和三重积分的计算，格林公式及应用，曲线积分与路线无关的条件

难点是二重积分的变量变换、化重积分为累次积分的方法

二十二、曲面积分

（一）教学内容

（1）第一型曲面积分

第一型曲面积分及其计算

（2）第二型曲面积分及其计算

第二型曲面积分及其计算、两类曲面积分的联系

（3）高斯公式与斯托克斯公式

（二）目的要求

（1）熟练掌握两类曲面积分概念,性质及计算方法.

（2）了解两类曲面积分的关系及实际背景

（3）能准确叙述Gauss公式、Stokes公式的条件与结论并能运用它解决有关问题

（4）了解空间曲线积分与路径的无关的条件并能运用它解决有关问题

（三）重点与难点

重点是两类曲面积分的定义及计算、Stokes公式和Gauss公式及其应用

难点是第二型曲线积分的定义、Stokes公式和