长春宽城区学年初中数学三角形单元测试题.docx

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长春宽城区学年初中数学三角形单元测试题

长春宽城区2018-2019学年初中数学三角形单元测试题

数学2018.7

本试卷共6页，120分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C=90°，∠A=35°，则∠DBC的度数为（　　）

A．40°B．30°C．20°D．10°

2．下列图形中，能确定∠1＞∠2的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．一个n边形的内角和为360°，则n等于（　　）

A．3B．4C．5D．6

4．如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2=240°，则∠A等于（）

A．45°B．60°C．75°D．80°

5．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）

A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形

6．在△ABC中，已知

，则三角形是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状无法判定

7．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长长6cm，则AB与AC的差为（）

A．2cmB．3cmC．6cmD．12cm

8．下列图形不具有稳定性的是（）

A．（A）B．（B）C．（C）D．（D）

二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。

9．如图，BC⊥ED于点O，∠A=50°，∠D=20°，则∠B=_____度．

10．已知点

是

的重心，

是中线，

，那么

________．

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B的平分线相交于O，则∠AOB＝_________.

12．已知：

如图，△ABC中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E＝_____________.

13．已知等腰三角形的腰长是底边长的

，一边长为11cm，则它的周长为________.

14．如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②（G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③（H为EF和DG的交点），则图③中∠DHF=_____°

三、解答题共10小题，15-18题6分，19题7分，20、21题8分，22题9分，23题10分，24题12分，共78分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：

（习题回顾）已知：

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：

∠CFE=∠CEF；

（变式思考）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？

说明理由；

（探究廷伸）如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．

16．在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．

如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．

（1）∠ABO的度数为　　°，△AOB　　（填“是”或“不是”）“智慧三角形”；

（2）若∠OAC=20°，求证：

△AOC为“智慧三角形”；

（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．

17．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E

（1）填空：

①如图1，若∠B=60°，则∠E=　　；

②如图2，若∠B=90°，则∠E=　　；

（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；

（3）如图4，仿照

（2）中的方法，在

（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．

18．如图，∠BAD=∠CBE=∠ACF，∠FDE=64°，∠DEF=43°，求△ABC各内角的度数．

19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．

20．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，BE是∠ABy的角平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C,试问∠ACB的大小是否为定值？

请给出证明。

21．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB,求∠ACD的度数。

22．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D．若∠A：

∠ABC：

∠ACB=3：

4：

5，E为线段BD上任一点．

（1）试求∠ABD的度数；

（2）求证：

∠BEC＞∠A．

23．

（1）如图①所示，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？

为什么？

（2）如图②若把△ABC纸片沿DE点折叠当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠α+∠β之间有一种数量关系始终保持不变，请写出这个规律并说明理由．

24．小明在求一个多边形的内角和时，由于疏忽，把一个内角加了两遍，而求出的结果为2004°，请问这个内角是多少度？

这个多边形是几边形？

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC=55°，由折叠可得：

∠A=∠ABD=35°，进而得到∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=20°．

【详解】

∵∠C=90°，∠A=35°，∴∠ABC=55°，由折叠可得：

∠A=∠ABD=35°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=55°﹣35°=20°．

故选C．

【点睛】

本题考查的是折叠的性质、轴对称的性质以及直角三角形的性质，找准对应关系、灵活运用定理和性质是解题的关键．

2．C

【解析】

【分析】

分别根据对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质对四个选项进行逐一判断即可．

【详解】

A．

∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故本选项错误；

B．若两条直线平行，则∠1=∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，故本选项正确；

C．∵∠1是∠2所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项正确；

D．∵已知三角形是直角三角形，∴由同角的余角相等可判断出∠1=∠2．

故选C．

【点睛】

本题考查的是对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．

3．B

【解析】

【分析】

n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．

【详解】

根据n边形的内角和公式，得：

（n-2）•180=360，

解得n=4．

故选B．

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．

4．B

【解析】

【分析】

根据四边形内角和为360°，得∠B+∠C的度数，由三角形内角和为180°，得∠A度数.

【详解】

∠B+∠C=360－（∠1+∠2）=120°，∠A=180°－（∠B+∠C）=60°.

【点睛】

本题考察解三角形，解题的关键是利用多边形内角和的度数求几个角的和，不必单独求角.

5．C

【解析】

【分析】

利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案.

【详解】

∵360°÷36°=10，

∴正多边形是正十边形.

故选C.

【点睛】

本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形内角和外角是本题解题的关键.

6．B

【解析】

【分析】

利用三角形内角和定理和已知条件列方程求解，再判断形状.

【详解】

由题意，设∠C=6x，由∠B=4x，

∠A=2x，

则6x+4x+2x=180°,

∴x=15°,

∴最大角为∠C=6x=90°，

则三角形的形状是直角三角形.

故选B.

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是本题解题的关键.

7．C

【解析】

【分析】

根据三角形的周长和中线的定义进行解题．

【详解】

∵AD是△ABC的中线，∴BD=BC.

∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差值为6cm．

故选C．

【点睛】

本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形是本题解题的关键．

8．A

【解析】

【分析】

根据三角形具有稳定性进行解题．

【详解】

A.由一个三角形和一个矩形组成，不具有稳定性；B.由两个三角形组成，具有稳定性；C.由三个三角形组成，具有稳定性；D.由六个三角形组成，具有稳定性．故选A．

【点睛】

本题考查了三角形具有稳定性，熟练掌握三角形性质是本题解题的关键．

9．20°．

【解析】

【分析】

已知∠A=50°，∠D=20°，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，可知∠BED=70°，又BC⊥ED于点O，根据直角三角形两锐角互余即可得出∠B的度数．

【详解】

根据题意，在△AED中，∠A=50°，∠D=20°，

∴∠BEO=∠A+∠D=70°，

∵BC⊥ED于点O，

∴∠BOE=90°，

∴∠B=90°-∠BEO=20°，

故答案为：

20°．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.

10．

【解析】

【分析】

根据三角形重心的性质解答即可.

【详解】

∵G是△ABC的重心，且AD是中线

∴AG=2GD=6，即DG=3．

故答案为：

3.

【点睛】

本题考查的是三角形重心的性质：

三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．

11．135°

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解答．

【详解】

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

又∠A与∠B的平分线相交于点O，

∴∠1+∠2=

∠CAB+

∠ABC=

（∠CAB+∠ABC）=45°，

∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=135°．

故答案为：

135°．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，证得∠1+∠2=

（∠CAB+∠ABC）是解决问题的关键．

12．50°

【解析】

【分析】

利用三角形的外角和定理求得∠ABC的度数，然后根据等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，则∠CAD的度数即可得到，然后根据平行线的性质求得∠E的度数即可.

【详解】

∵∠BDE是△BAD的外角，，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°

∴∠ABC=30°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC=∠ACB=30°

∴∠BAC=120°，∠CAD=50°，

∵AC//BE

∴∠E=∠CAD=50°

故答案为50°

【点睛】

本题考查三角形的内角和、外角和以及等腰三角形的性质，平行线的性质的综合应用，正确求得∠CAD的度数是解题关键．

13．

或

【解析】

【分析】

根据题意，边长为11cm，可能为腰，也可能为底边，分两种情况讨论并进行验证即可.

【详解】

当腰长11cm时，三角形周长为：

11+11+11

=

cm，

当底边长11cm时，三角形周长为：

2

+11=

cm，

经检验：

腰为11cm，底边为cm

；底边为11cm，腰为

cm都可构成三角形，符合题意.

故答案为：

cm或

cm

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，并对各种情况是否能构成三角形进行验证是解题的关键．

14．57

【解析】

【详解】

∵四边形ABCD为长方形，

∴AD∥BC，

∴∠BFE=∠DEF=19°，

根据折叠的性质可得，∠GEF=∠DEF=19°，

则∠DGF=∠GEF+∠GFE=38°，

则∠DHF=∠DGF+∠GFE=38°+19°=57°.

故答案为57.

15．【习题回顾】证明见解析；【变式思考】∠CEF=∠CFE，理由见解析；【探究思考】∠M+∠CFE=90°，理由见解析.

【解析】

【分析】

根据三角形的外角的性质证明；

【变式思考】

根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；

【探究廷伸】

同

（1）、

（2）的方法相同．

【详解】

∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，∴∠B=∠ACD．

∵AE是角平分线，∴∠CAF=∠DAF．

∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B，∴∠CEF=∠CFE；

　变式思考：

∠CEF=∠CFE．证明如下：

∵AF为∠BAG的角平分线，∴∠GAF=∠DAF．

∵CD为AB边上的高，∴∠ACB=90°，∴∠ADF=∠ACE=90°．

又∵∠CAE=∠GAF，∴∠CEF=∠CFE；

　探究思考：

∠M+∠CFE=90°．证明如下：

∵C、A、G三点共线AE、AN为角平分线，∴∠EAN=90°．

又∵∠GAN=∠CAM，∴∠MAE=90°，∴∠M+∠CEF=90°．

∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∴∠M+∠CFE=90°．

【点睛】

本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

16．

（1）30；是；

（2）证明见解析；（3）∠OAC的度数为80°或52.5°．

【解析】

【分析】

（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；

（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；

（3）分∠ABC=3∠BAC、∠BCA=3∠BAC两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．

【详解】

（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°﹣∠MON=30°．

∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB为“智慧三角形”．

故答案为：

30；是；

（2）∠AOC=60°，∠OAC=20°，∴∠AOC=3∠OAC，∴△AOC为“智慧三角形”；

（3）∵∠ABO=30°，∴∠BAC+∠BCA=150°．

∵△ABC为“智慧三角形”，当∠ABC=3∠BAC时，∠BAC=10°，∴∠OAC=90°－10°=80°；

当∠BCA=3∠BAC时，∠BAC=37.5°，∴∠OAC=90°－37.5°=52.5°．

综上：

当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数为80°或52.5°．

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．

17．

（1）①30°；②45°；

（2）∠E=

α；（3）∠G=

α．　

【解析】

【分析】

（1）①根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE=30°，可求∠E的度数；

②根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=90°，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE=45°，可求∠E的度数；

（2）根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=

α，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE=

α，可求∠E的度数；

（3）根据角平分线的定和义可得三角形的外角性质可得∠G=∠HAC﹣∠ACG=

∠FAC﹣

∠ACE=

（∠FAC﹣∠ACE），可求∠G的度数．

【详解】

（1）①∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°．

∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠FAC=

∠DAC，∠ACE=

∠ACB，∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=

∠B=30°；

②∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°．

∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠FAC=

∠DAC，∠ACE=

∠ACB，∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=

∠B=45°；

（2）∠DAC﹣∠ACB=∠B=α．

∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠FAC=

∠DAC，∠ACE=

∠ACB，∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=

∠B=

α；

（3）∵AG，CG分别是∠EAB与∠ECB的角平分线，∴∠G=∠HAC﹣∠ACG=

∠FAC﹣

∠ACE=

（∠FAC﹣∠ACE）=

×

∠B=

α．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．

18．△ABC各内角的度数分别为64°、43°、73°．

【解析】

【分析】

根据三角形外角性质得到∠FDE=∠BAD+∠ABD，而∠BAD=∠CBE，则∠FDE=∠BAD+∠CBE=∠ABC=64°；同理可得∠DEF=∠ACB=43°，然后根据三角形内角和定理计算∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB即可．

【详解】

∵∠FDE=∠BAD+∠ABD，∠BAD=∠CBE，∴∠FDE=∠BAD+∠CBE=∠ABC，∴∠ABC=64°；

同理：

∠DEF=∠FCB+∠CBE=∠FCB+∠ACF=∠ACB，∴∠ACB=43°；

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣64°﹣43°=73°，∴△ABC各内角的度数分别为64°、43°、73°．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理：

三角形的内角和为180°．也考查了三角形外角的性质，熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．

19．∠DAC=20°．

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．

【详解】

∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°．

∵AD是BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

20．∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45º

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解.

【详解】

在纵轴B点上方任取一点为F，由BE平分∠ABF、CA平分∠OAB知2∠EBA=∠ABF、∠OAB=2∠CAB，根据△AOB外角性质得∠ABF=∠AOB+∠OAB，即∠ABF=90°+∠OAB，再根据△ACB外角性质得∠EBA=∠C+∠CAB，即90°+∠OAB=2（∠C+∠CAB），从而知90°+∠OAB=2∠C+∠OAB，即可得∠C=45°．

【点睛】

本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意:

①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;

②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.

21．∠ACD=30°

【解析】

【分析】

由∠A和∠B的度数得∠C的度数，由CD平分∠ACB得∠ACD的度数.

【详解】

∠C=180°-（∠A+∠B）=60°，

°.

【点睛】

本题考察解三角形，解题的关键为应用三角形内角和为180°和角平分线的定义.

22．

（1）45°；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）依据三角形的内角和是180°，可求∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°．又BD⊥AC，所以∠ABD=45°．

（2）依据三角形的外角大于与它不相邻的任一内角，可证∠BEC＞∠BDC＞∠A，即∠BEC＞∠A．

【详解】

（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A：

∠ABC：

∠ACB=3：

4：

5，

∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，

∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

∴∠ABD=90°-∠A=45°；

（2）∵∠BEC是△CDE的外角，

∴∠BEC＞∠BDC，

∵∠BDC是△ABD的外角，

∴∠BDC＞∠A，

∴∠BEC＞∠A．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；三角形的外角大于与它不相邻的任一内角.

23．

（1）∠1+∠2=∠B+∠C;

（2）规律：

α+β=2∠A．理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的内角和是180°，解答即可；

（2）根据题

（1）的结论和四边形的内角和是360°解答即可．

【详解】

（1）∠1+∠2=∠B+∠C，理由如下：

∵如图1，在△AED和△ACB中，

∠1+∠2+∠A=∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠1+∠2=∠B+∠C（等量代换）；

（2）规律：

α+β=2∠A，理由如下：

∵在△ADE中，∠1+∠2=180°﹣∠A（三角形内角和等于180°），

在四边形BCED中，∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°（四边形内角和等于360°），

又∵根据题

（1）得∠1+∠2=∠B+∠C（已证），

∴2（∠1+∠2）+α+β=360°（等量代换），

∴2（180°﹣∠A）+α+β=360°（等量代换），

∴α+β=2∠A．

【点睛】

本题考查图形的翻折变换和三角形，四边形内角和定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．

24．24度，十三边形．

【解析】

【分析】

n边形的内角和是（n-2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和再加上一个内角的值，所得结果除以180度，所得数值比边数n-2要大，且小于n-1，则用2004°除以180所得值的整数部分，加上2就是多边形的边数．

【详解】

设这个多边形的边数为x，

依题意有（x﹣2）•180=2004，

解得x=13

，

因而多边形的边数是13，该多边形为十三边形，

内角和是（13﹣2）×180°=1980°，因而这个内角是2004﹣1980=24°，

答：

这个内角是24度，这个多边形是十三边形.

【点睛】

本题考查了多边形的内角、多边形的内角和，正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围是解题的关键．