高中必修5解三角形单元测试题.doc

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解三角形单元测试题

一、选择题

1．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为（）．

A．10km B．10km C．10km D．10km

2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是（）．

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

3．三角形三边长为a，b，c，且满足关系式（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，则c边的对角等于（）．

A．15° B．45° C．60° D．120°

4．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶∶2，则sinA∶sinB∶sinC＝（）．

A．∶2∶1 B．2∶∶1 C．1∶2∶ D．1∶∶2

5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）．

A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形

D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形

6．在△ABC中，a＝2，b＝2，∠B＝45°，则∠A为（）．

A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30°

7．在△ABC中，关于x的方程（1＋x2）sinA＋2xsinB＋（1－x2）sinC＝0有两个不等的实根，则A为（）．

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在

8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为（）．

A． B． C． D．3

9．在△ABC中，＝c2，sinA·sinB＝，则△ABC一定是（）．

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

10．根据下列条件解三角形：

①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判断正确的是（）．

A．①只有一解，②也只有一解． B．①有两解，②也有两解．

C．①有两解，②只有一解． D．①只有一解，②有两解．

二、填空题

11．在△ABC中，a，b分别是∠A和∠B所对的边，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则∠A的值是 ．

12．在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2，则此三角形是__________三角形．

13．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，

b＝5，S＝5，求c的长度．

14．△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．

15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶5∶6．若△ABC的面积为，则△ABC的周长为________________．

16．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为．

三、解答题

17．在△ABC中，已知∠A＝30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a＝4＝b，解此三角形．

（第18题）

18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角q．

19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcosC＝（2a－c）cosB，

（Ⅰ）求∠B的大小；

（Ⅱ）若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：

＝．

参考答案

一、选择题

1．D

解析：

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC

＝102＋202－2×10×20cos120°

＝700．

AC＝10．

2．B

解析：

由＝＝及正弦定理，得＝＝，由2倍角的正弦公式得＝＝，∠A＝∠B＝∠C．

3．C

解析：

由（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，

得a2＋b2－c2＝ab．

∴cosC＝＝．

故C＝60°．

4．D

解析：

由正弦定理可得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶∶2．

5．D

解析：

△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．

若△A2B2C2不是钝角三角形，由，得，

那么，A2＋B2＋C2＝－（A1＋B1＋C1）＝，与A2＋B2＋C2＝π矛盾．

所以△A2B2C2是钝角三角形．

6．C

解析：

由＝，得sinA＝＝＝，

而b＜a，

∴有两解，即∠A＝60°或∠A＝120°．

7．A

解析：

由方程可得（sinA－sinC）x2＋2xsinB＋sinA＋sinC＝0．

∵方程有两个不等的实根，

∴4sin2B－4（sin2A－sin2C）＞0．

由正弦定理＝＝，代入不等式中得b2－a2＋c2＞0，

再由余弦定理，有2accosA＝b2＋c2－a2＞0．

∴0＜∠A＜90°．

8．B

解析：

由余弦定理得cosA＝，从而sinA＝，则AC边上的高BD＝．

9．A

解析：

由＝c2a3＋b3－c3＝（a＋b－c）c2a3＋b3－c2（a＋b）＝0

（a＋b）（a2＋b2－ab－c2）＝0．

∵a＋b＞0，

∴a2＋b2－c2－ab＝0．

（1）

由余弦定理

（1）式可化为

a2＋b2－（a2＋b2－2abcosC）－ab＝0，

得cosC＝，∠C＝60°．

由正弦定理＝＝，得sinA＝，sinB＝，

∴sinA·sinB＝＝，

∴＝1，ab＝c2．将ab＝c2代入

（1）式得，a2＋b2－2ab＝0，即（a－b）2＝0，a＝b．

△ABC是等边三角形．

10．D

解析：

由正弦定理得sinA＝，①中sinA＝1，②中sinA＝．分析后可知①有一解，∠A＝90°；②有两解，∠A可为锐角或钝角．

二、填空题

11．60°或120°．

解析：

由正弦定理＝计算可得sinA＝，∠A＝60°或120°．

12．等腰．

解析：

由已知得2sinBsinC＝1＋cosA＝1－cos（B＋C），

即2sinBsinC＝1－（cosBcosC－sinBsinC），

∴cos（B－C）＝1，得∠B＝∠C，

∴此三角形是等腰三角形．

13．或．

解：

∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°．

又c2＝a2＋b2－2abcosC，

当∠C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝；

当∠C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝．

∴c的长度为或．

14．10＋5．

解析：

由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，然后运用函数思想加以处理．

∵2x2－3x－2＝0，

∴x1＝2，x2＝－．

又cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，

∴cosC＝－．

由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·（－）＝（a＋b）2－ab，

则c2＝100－a（10－a）＝（a－5）2＋75，

当a＝5时，c最小，且c＝＝5，

此时a＋b＋c＝5＋5＋5＝10＋5，

∴△ABC周长的最小值为10＋5．

15．13．

解析：

由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝2∶5∶6，可得a∶b∶c＝2∶5∶6，于是可设a＝2k，b＝5k，c＝6k（k＞0），由余弦定理可得

cosB＝＝＝，

∴sinB＝＝．

由面积公式S△ABC＝acsinB，得

·（2k）·（6k）·＝，

∴k＝1，△ABC的周长为2k＋5k＋6k＝13k＝13．

本题也可由三角形面积（海伦公式）得＝，

即k2＝，∴k＝1．

∴a＋b＋c＝13k＝13．

16．6∶5∶4．

解析：

本例主要考查正、余弦定理的综合应用．

由正弦定理得＝＝＝2cosC，即cosC＝，

由余弦定理cosC＝＝．

∵a＋c＝2b，

∴cosC＝＝，

∴＝．

整理得2a2－5ac＋3c2＝0．

解得a＝c或a＝c．

∵∠A＝2∠C，∴a＝c不成立，a＝c

∴b＝＝＝，

∴a∶b∶c＝c∶∶c＝6∶5∶4．

故此三角形三边之比为6∶5∶4．

三、解答题

17．b＝4，c＝8，∠C＝90°，∠B＝60°或b＝4，c＝4，∠C＝30°，∠B＝120°．

解：

由正弦定理知＝＝sinB＝，b＝4．

∠B＝60°或∠B＝120°∠C＝90°或∠C＝30°c＝8或c＝4．

（第18题）

18．分析：

设山对于地平面的倾斜角∠EAD＝q，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于q的三角函数等式，进而解出q角．

解：

在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，

∠ACB＝45°－15°＝30°．

根据正弦定理有＝，

∴BC＝．

又在△BCD中，∵CD＝50，BC＝，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋q，

根据正弦定理有＝．

解得cosq＝－1，∴q≈42.94°．

∴山对于地平面的倾斜角约为42.94°．

19．解：

（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，

∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin（B＋C）．

又在三角形ABC中，sin（B＋C）＝sinA≠0，

∴2sinAcosB＝sinA，即cosB＝，B＝．

（Ⅱ）∵b2＝7＝a2＋c2－2accosB，∴7＝a2＋c2－ac，

又（a＋c）2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ac＝3，∴S△ABC＝acsinB，

即S△ABC＝·3·＝．

20．分析：

由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理．

解：

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB得

a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，

∴2（a2－b2）＝－2bccosA＋2accosB，

＝．

由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，

∴＝

＝

＝．

故命题成立．

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