二计算
牛顿内摩擦定律的应用一一间隙很小的无限大平板或圆筒之间的流动。
第二章流体静力学
一概念
流体静压强的特点：
流体静压强的方向垂直于作用而，并指向流体内部；静止流体任意点处静圧强的大小与其作用面方位无关，只是作用点位置的函数，可表示为：
P=/>（・,$,z）
既适用于静止流体，乂适用于相对静止流体。
理想流体压强的特点（无论运动还是静止）：
流体内任意点的床强的大小与其作用面的方位无关，压强的方向垂直于作用面，并指向流体内部。
静止流体平衡微分方程：
-Vp=0
重力作用下，有惯性力
流体相对丁•惯性系静止
静止流体平衡方程一欧拉平衡方程
ooO
一一--
5P-5X切㊈引一&
1i0lpliq
---
A/;•兀
<
重力场中静止流体内的压强分业=_Q£布:
Az十*
条件
连通的静止流体，只在：
向有重力作用，乙正方向垂直向上
上式是关于静止流体内压强变化的基本方程，该方程表明，在静止流体中沿铅直方向的压强梯度是负的，即当在流体中垂直向上移动时，流体压强减少;垂直向下移动时，流体圧强増加。
在绝大多数工程问题中，重力加速度随高度的变化可以忽略不计。
不可压缩流体静压强分布：
P2-Pl=~pg（z2-nJ令h=轨一兄\,则
I.=加+pgh
上式表示在静止均质不可圧缩流体中，液体圧强和液体深度h成正比。
在铅垂方向，压强与淹深成线性关系
水平方向，压强为常数
密度为高度为〃的一段液柱的重量
帕斯卡原理:
充满液体的连通器内，一点的压强变化瞬时间传递到整个连通器内
绝对压强：
以完全真空状态为零床强计量的圧强。
计示压强：
以当地大气圧强作为基准计量的圧强。
计示压强=绝对压强-大气压强
各种U型管测压计的优缺点:
单管测压计：
⑴
U型背测压计
用单管式测压计测压强简单、准确。
其缺点是F液体压强,而不能测量气体压强。
而且容器内压强应-压强（否则空气会被抽吸进容器内部），同时被测压雀10以保证玻璃管内液柱不会太高。
u型管测圧计：
U型测压计的优点就是既可以测量液体的压强也可以测量气体的床强。
测量液体床强时应注意选择恰当的指示液，使其不会与彼测液体相掺杂。
u型管也可用來测量真空压强，还可以用來测量两点之间的压强差。
优点：
提高了读数和压强测量的轴度。
作用在平面上的流体静压力：
Po
浸没在液休中的平壁静用力计算
总丿E力表示为：
F=PqS+pgsinaycS=（”o+pghc'S
9
■Q••
式中hc=ycS[na,称形心淹深。
如果自由液面压强仇等于大气压强九，则以表压强表示的总压力为，*"•：
：
F=pghQ—/>qS（2-23）
总压力的作用方向和dF相同。
式（2-23）说明作用在任意形状平壁面上的流体总压力等于该壁面形心C点的流体静压强pc和该壁而而积S的乘积。
压力作用点的位置（压力中心）：
（2-24）
^/）gysina（1S=pgsina
式中f穷；
（2-26）
%—yc1（.pQ十即csina）S如果p尸Ps则以表压强表示的作用点D恥轴距离'
（2-25）
由上两式可知力＞光，加＞/心即总压力作用点总是位于而积S的形心C以下。
以表压强衣示的总圧力作用点D距丁轴距离nd可同样求出
式中I级是面积$对于通过形心C的两个正交轴的离心矩（此两轴分别平行于原戈轴和y轴）。
如果面积S对于一根平行于戈•轴或平行于y轴并且通过形心C的轴对称，则总压力作用点D—定在直线公二牝上個为此时I^.=0o从式（2-25）和（2-26）还可以看岀，当形心淹深增加肘，因为兀变大，压力中心会向形心畀近。
几个常见平面图形的形心及其对于通过形心的坐标轴的惯性矩和离心矩在图2-16屮给出，供读者参考。
6/2
a/2
a/2
C
Ix
y]
S=ba站协?
y严豆於G尸0
y
S=kR2
5=0
（b）
图2-16几种平面图形的惯性矩和离心矩
4
3
&
並2336敎
计算
1、u型管测压计的计算；
2、绝对压强、计示压强、真空斥强的计算;
3、平壁面上静压力大小的计算。
第三章流体运动学基础
描述流体运动的两种方法：
利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志。
拉格朗日方法
欧拉方法
着眼点
流体质点
空间点
r=t）
V=v（r9t）
在克角坐标系中速度矢楚在龙小用坐标上的分飛分别为
在直角坐标系中有：
u=w（a:
ytz9t）
•■
v=v（x,y,z9t）
变数
x=x^a,btcft）
w=w（x,j',r,t）
y=bfc,t）
p=p（x,y9z,t）P=p（sy9sz）
z=z（a,b,gt）
T=T（x,yfz.t）
（Q幵乙t）
流场：
运动流体所占有的空间区域。
如杲流场内每一点的物理量都不随时间/而变化，则称定常场，否则称为非定常场。
定常场的数学表示为
箸=0或4=y,小
式中可叢示任-流动物理杲。
在定常场中，物理虽可能随着空间位置的变化而不同，但在每一点上该鼠都保持为常数，不随时间而变化，因此该物理蚤对时间I的偏导数等于寥，
如果某一肘刻流场内各个空间点上的物理量都相等，则称均匀场，否则称非均匀场。
均匀场的数学表示为
兽=山需7黑=6或厂曲）
式中“表示任1流动物郑量。
在均匀场中，各个空间点的物理虽可能随时间变化而变化，但该量不随空问位置变化而改变，即不依赖于空间坐标工』,之,或矢径r,因此该物理量对空间坐标的偏导数都等于零。
利用梯度的概念,均匀场在数学上也可表示为
V—燈+j需+唏=0
梯度是场的不均匀性的度虽，对于均匀场，其梯度为零。
根据速度场所依赖的空间坐标个数来划分流动的元数分为一元流动、二
元流动和三元流动。
物质导数：
流体指点的加速度:
r3V,3VJ3V
=a7+任I西f石
上式右边第一项薯，前边已经讲过是某一空间点上的速度随时间的变化率，它是由场的不定常性引起的，称之为局部导数或当地导数。
后三项“等+瑕+3烫代表由于场的不均匀性引起的速度变化率,称为位变导数或对流嗚数。
雰表示流体质点沿％方向的速度变化率，如在单位时间内移动了U的距离，则工方向上的速度变化率是“等。
同理P需和3雰分別反映了由于流体质点在3•和z方向的分速度。
和s所引起的速度变化率。
由于存在对流导数，在不均匀场内，当流体质点从低速区运动到寫速区，或从高速区到低速区也会造成流体质点加速或减速。
这样总的速度变化率，即加速度就是局部导数和对流导数之和，称之为物质导数（或质点导数，随体导数）。
在流体力学中使用一个专门的符号来表示它，即
（3-10）
DV3財丄3V丄dvLav页=丽+“石+n石+勿寂在直角坐标系中其分議为
Dudu丄du
■・|*-1■■■>/——
Dt~dt3x
+蹲十碑
dyoz
（3-11）
Dvdv.dvtdv
DVdV
・・・—
（3-10）式常缩写成如下形式
I）t一dt
+（V•V）V（3-⑵
物质导数运算符丿心
Dt可表示为
曙韶+（…）（）
（3-13）
式中（、/・▽）（）=“詔+P鴛+3韶，它可看作是速度矢量ui+7JZ+wk和梯度运算符▽（）=7韶十/韶+比紀的点积。
物质导数不仅可以用来表示质点加速度，它也可以用来表示任-•矢量或标量对时间的变
化率。
比如某一流体质点的温度对时间的变化率为
dTLdT3T
+（V•V）T（3-14）
这里需要强调指岀，物质导数是针对流体质点的，某一变最的物质导数反映了流体质点的物理量对时间的变化率,即观察者随同流体质点一起运动时观察到的物理京的变化率。
因此物质导数本质上是拉格朗日观点下的概念，本节给出了它的欧拉变量表达式。
不可圧缩流体：
密度的物质倒数等于零，即筹=0。
只表示各个流体质点在运动中保持密度
不变，并不要求各个流体质点的密度相同。
均质不可压缩流体：
计=0和詈=0：
密度场必为左常场*
迹线：
流体质点在空间中运动时所描绘出来的曲线。
如果流体运动遠度已经给出，即V=v（r,/）,则迹线方程可通过求解下列微分方程组而得到
驚=U（x9y9z,t）誓=v（x,y,z,t）驚=w（xfy,z9t）
或
dxd^rdz_i“-
u（x9y9zytj—v{x,y,z,r）一w（x,yyz,Z）_
式中t是自变蜀山，厂*都是/的函数。
积分后在所得到的表达式中消去时间t后即得到迹线的方程。
：
流线：
该曲线上所有点的速度方向和曲线在该点的切线方向重合。
dxclydz
u（x9y9z9t）v（x9y9z9t）y9z,t）
t时刻流线该满足的微分方程，积分时t当作常数处理。
染色线：
将在一段时间内相继流过流场中同一空间点的流体质点在某瞬时连接起來的一条曲线：
也是同一时刻不同流体质点的连线。
流管是由流线组成，流体只能从一端流入，从另一端流出。
流体微团的运动可分解为：
平动、旋转、变形。
一般运动
平动
线变形
图3-6流体微RI的运动和变形
旋转
加变形
+
相对伸长率:
z轴:
dw
dz
体积膨胀率:
如果速度梯度项同时有讎，鹽时,则流体微团的总相对体积膨胀率为丄d[^r）=如十3tdtdx
上式右边三项之和在场论中称为速度的散度，可表示为，
dpdydz
g卫3仞dxdydz
旋转:
cj=%i+3yj+a）zk
根据场论的表示法,上式可表示为
co=yrotV=yVXV
ij'k
32，A
dxdy3z
uvw
VXV=
角变形：
"与y轴间夹角的变形率定义为
夕=曲=
3v°u
同样可推得Z轴与尤轴,，轴与2轴间夹角的变形率分别为
3u.*3如0®/3巳
亍十石―和〒"+、〒■OZoxoydz
二计算
1、物质导数的计算，如流体质点加速度或流体质点某物理量对时间的变化率。
2、体积膨胀率.旋转角速度、角变形率的计算。
3、流线、迹线方程的计算。
第四章流体动力学基础
系统：
指某一确定的流体质点集合的总体。
控制体：
流场中某一确定的空间区域。
雷诺运输定理：
=¥[0dr+©V•ndS
lJtotJcycs
它提供了对于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量变化之间的关系。
控制体和系统在初始时刻是重合的，11控制体的位置.大小.形状固定不变。
连续方程:
第一项表示控制体内的流体质量变化率，第二项表示流出控制体的质量流率,
均质不可圧缩流体的连续方程：
动量方程:
CV
在直角坐标系三个坐标方向的分量分别为
凡=屉+F&=£
n1
Fy=FBy+FSy^^]cv
凡=FBz+Fs严鲁L严氏+•，ldS
pudr+cvpvdv+pvV•ndScs
微分形式连续方程:
对于速度矢蚩的散度的物理意义,从不同的观点出发可以有不同的解'释：
从欧拉观点出发，▽・V表示流出单位体积控制体的流体休积流量；而从拉格朗日观点出发，▽•V则可看成单位体积流体微团的膨胀率。
在静止流体中的任意作用面上不存在切应力，只存在法向应力，而且这一法向应力只能是压应力，它的大小与其作用面的方位无关,只是作用点空间位置的函数
P=了，X）
对于理想流体来说，由于不存在粘性，流体中没有切应力，无论其静止或是处于运动状态，上述结论都是适用的"而对于粘性流休來说，情况要复杂得多。
由于流体具有粘性，作用面上除正应力外还存在切应力，因此总的应力不再垂直于它的作用面。
一般来说，在同一点取不同方位的作用面，作用于其上的应力的大小和方向也是不同的。
N-S方程：
dudr也&dwdrppQ
熄［"（2薯揺・"）］+盘［“佬十韵］十話S佬+韵［+訂MS+S）］+S［卩（2裟-討町］+細驚+需）「+剽“佬+韵陽［“僚+韵］氓M鬻遥…
“常数时，上式可简化为：
du亚dl^u」92u丄d2u\
dv3pIc）2v.32vd2v\
°石=冏一巧十"（百+旁+乔丿灌=右貉+“能+薛+制
即：
d7=肉-5七刃¥
本构方程：
应力和角变形率关系的方程式。
5=_P_岂込・”+2p驚
二计算
1、积分形式的动量方程和连续方程的综合运用（注意坐标系、控制体的选取、受力分析时尤其注意表压力是否存在）。
2、微分形式连续方程的应用：
判断流动是否存在，求某个方向的流动速度等。
第五章相似原理与量纲分析
力学相似：
模型流动与实物流动在对应点上对应物理量都应该有一定的比例关系。
包括几何相似、运动相似和动力相似。
儿何相似：
模型流动与实物流动具有相似的边界形状，一切对应的线性尺寸成同一比例。
Lm一血—Aw一…一厂S一仏一山一一仇
下标p茨示实物，淤表示模型，（％称为线性比例系数。
囲此，对于页积A和体积有如I'"关系
运动相似：
模型流动与实物流动的速度场相似。
比-c
C,称为速度比例系数。
其它的运动学比例系数可以由物理量的定义或量纲由G和G,确定出来，如
广一S一kjti/Y血—Ql
J_切-—_q
C/称为时间比例系数。
曲此可知，运动相似意床着对应济休质点通过对应空间距离的时间间隔相似。
类似地可得出
c忙孑M
G称为加速度比锲系数。
.
在圆管内的流动中，特征速度常选用管内的平均流速；对统物体的流动•常选取物休远的方的来流速度作为恃征速度。
动力相似：
模型流动与实物流动应受同种外力作用，而11在对应瞬时对应空间点上的同名力方向相同大小成比例。
F“_F“-F3,-S
°称为作用力比例系数C根期牛顿第二定律
F“+仏+B、3p=呼p
州加+卩2川+巧“=叫％
-加冋和-叫乩也可以分别看作实物旅动勺模型流动对应流休康点上的惯性力，这样，流休质点所受的外力和惯性力起恂成封闭的力多边形。
动力相似则对应流体质点的力多边形儿何相似°因此；
Pirn巴肌F3l/I（加必”
F“Sa）»
亦可表示为■•'•
（邂）=（泌）弊）=（些）（型、一啓）
雷诺准则：
惯性力与粘性力的
E1
V为特征速度，L为特征长度是粘性流体流动最重耍的准则数管道流动.飞行器或潜艇的阻力等
弗劳德准则：
惯性力与1H力的比：
Fr=-yj»劳仇欽
是具有口由液面流体流动时重要的准则数
船舶运动、明渠流、液体表面波动等
欧拉准则：
压力与惯性力的比：
Eu=制欧拉数
圧力或斥差对流速分布影响较大的流动中重要的准则数
空化效应或空蚀现象等
马赫准则:
惯性力与弹性力的比:
可圧缩流动中重要的准则数
高速流动问题
模型流动与实物流动动力相似时，必须保证在对应点上各个准则数分别相等
运动相似
表5-1流体力学中常用物理量的彊纲与单位
物理量
量纲
单位
质量
[M]
千克,kg
长度
[L]
米,m
时间
秒,s
热力学温度
[T]
开（尔文）,K
角度
[M°LotoT°]
•径，弧度,rad
面积;
.[L2]
平方米,n?
体积
[L3]
立方米,品
APcii：
[Lf1]
米/秒皿
角速度
[f1]'
径用，弧度/&frad/s
线加速度
.[LtT
米用2,融
体积流量
[LV1]
米3/秒,n?
/s
力-
[ML严]
牛（顿）,N或KgTn/s2
力矩•
-[ML2f2]
牛•米，焦耳;N・m,J
密度
[ML-3]
千克/米3,Kg/n?
压强，应力
[ML-"-?
]
牛顿/米2或帕，N/m2,Pa
体积弹性模量
■
牛顿/米2或帕,N/m2,Pa
动量
[MLf1]
千克•米用，Kg・m/s
动量矩
[ML2t~l]
千克咪2/^,Kg*m2/s
功、能量、热量
[ML2t-2]
:
焦（耳）,J
功率
[ML2f3]
瓦（特）,w
动力粘性系数
[MLJT]
帕•秒,Pa・s
运动粘性系数
..[LV1]
米2用,n?
/s'
表面张力系数
[Mf2]
牛顿/米,N/m
气体常数（R）,比热
[-L2t-2T-1]
焦耳/千克•开,J/kg・K
第六章理想不可压缩流体的定常流动
理想不可圧缩流体在定常流动及重力作用下沿流线的伯努利方程:
V22
+gz+
对于平均意义下的一元流动，V取截面上的平均速度，p和z则取截面儿何中心处的相应值。
沿同一条流线,C为常数，故对一条流线上的任意两点1和2,伯努利方程可表示为如下
形式
V?
2
+gwi
.P1*丄丄”2
卜万=丁+舲+万
（6-10）
或
V?
2
¥
p+g（Zl_±2）
（6-11）
或
此
2
境+
g&2Zi）---
r
（6-12）
对于形如（6-11）式的伯努利方程，表示单位质量流体沿流线流动时，重力和压力所做的功等于该流体动能的增址，即动能原理。
对于形如（6-12）式的伯努利方程，表示压力沿流线对单位质臺流体所做的功（移动功）等于该流体动能与势能的增量。
对于气休的低速流动（可视为不可压缩流动），重力的作用可忽略不计;或者沿流线位置高度z不变,在此悄况下伯努利方程成为
p+^V2=C（6-13）
式中P称为静压,*称为动压,等式右端的常数常用仇表示，它对应于流线上速度为零的点的压强值，称为滞止压强或总压强°该式表叨沿一条流线静压与动压之和等于常数，或者说沿一条流线总压保持常数。
M+z+^-=H（6~14）
2gpg
式中各项分别表示单位重虽流体所具有的动能、重力势能和压力能,H表示单位重量流休的总机械能。
该形式具有明显的几何意义，方程式中各项都具有长度虽纲小表示流体质点的位置商度，称为位势头，上相当的高度称为静压头，厚相当的高度称为速度头，H称为总能头。
PE2g
（6-14）式表明，流线上一点处的总能头H,等于位势头z、静压头矗和速度头算之利,而且沿一条流线总能头保持不变。
图6-3简单皮托饯
皮托管:
=Vlgh
p杲管道中流体的密度，是指示液的密度
所以:
列出伯努利方程：
vf/>1^2.P2,
才+石+g®=T+p十gZ2
若位置高度基淮平面取在孔口中心，则引==H,22=0
/（忽略高度差引起
p^p2=pa,V^t由此得的大气压微小变化）
V2=J2gH
图6-6薄壁锐缘孔口出流
速度系数：
实际平均速度与理论速度的比值
面积收缩系数：
收缩截面面积与几口截面面积的比值G
流量系数：
实际出流的体积流量与理论体积流量的比值5
r_实际流量_收缩截面面积X实际平均速度_（、「5=晅论流量_—7［石面积X理论速度一55
Q=Cd=G於/O=CeCvA/2iH
虹吸管：
对1、3截面列伯努利方程:
夕+0+0诗+爭诃
因此
（6-21）
v3=/2^L若对2,3截面列伯努利方程，得
'仞亠口亠％九必
7+gH+Y=7"^L+T对于等截面管道中的不可压缩流动，^2=^3,因此如严“g（H+L）
~
3
H
1▽
A
1
|2
L
3
A|2
图68虹吸管
文丘里流量计:
因此
Q=
上式还对以茨示为
流量计的儿何尺寸右，必及示差压强计中指示流体的密度/是已知值，当管道中流体的密度卩确定后■只要測出U形管中液面差h即可算出流僦Q。
图
升级会员 