自主学习我做的.docx
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自主学习我做的
自主学习相关内容
联合国教科文组织出版社的《学会生存》一书中所讲的：
“未来的文盲不是不识字的人，而是没有学会怎么学习的人”。
而终身学习一般不在学校里进行，也没有教师的陪伴在身边，全靠一个人的自主学习能力。
可见，自主学习能力已成为21世纪人类生存发展的基本能力。
那么，什么样的学习才算是“自主学习”呢？
一、什么是“自主学习”
“自主学习”是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
顾名思义，自主学习是以学生作为学习的主体，通过学生独立地分析、探索、实践、质疑、创造等方法来实现学习目标。
《基础教育课程改革纲要（试行）》在论及基础教育课程改革的具体目标时指出：
“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。
”传统的教学强调的是接受式的、被动式的学习方式，21世纪的我们提倡自主学习，是否就是否定接受式的、被动式的学习方式，一概采用自主学习的方式？
根据《基础教育课程改革纲要（试行）》的精神，可以理解为，我们只是要改变过去的那种“过于强调接受学习”的倾向，而不是完全否定接受式的学习方式，但要倡导学生学会自主学习的方式。
二、自主学习具有哪些特征
“自主学习”这一范畴本身就昭示着学习主体自己的事情，体现着“主体”所具有的“能动”品质；学习是“自主”的学习，“自主”是学习的本质，“自主性”是学习的本质属性。
学习的“自主性”具体表现为“自立”、“自为”、“自律”三个特性，这三个特性构成了“自主学习”的三大支柱及所显示出的基本特征。
1、自立性
⑴每个学习主体都是具有相对独立性的人，学习是学习主体“自己的”事、“自己的”行为，是任何人不能代替、不可替代的。
⑵每个学习主体都具有自我独立的心理认知系统，学习是其对外界刺激信息独立分析、思考的结果，具有自己的独特方式和特殊意义。
⑶每个学习主体都具有求得自我独立的欲望。
是其获得独立自主性的内在根据和动力。
⑷每个学习主体都具有“天赋”的学习潜能和一定的独立能力，能够依靠自己解决学习过程中的“障碍”，从而获取知识。
学习“自立性”的四层涵义是相互联系有机统一的。
具有独立性的学习主体，是“自主学习”的独立承担者；独有的心理认知结构，是“自主学习”的思维基础；渴求独立的欲望，是“自主学习”的动力基础；而学习主体的学习潜能和能力，则是“自主学习”的能力基础。
可见，自立性是“自主学习”的基础和前提，是学习主体内在的本质特性，是每个学习主体普遍具有的。
它不仅经常地体现在学习活动的各个方面，而且贯穿于学习过程的始终。
因此，自立性又是“自主学习”的灵魂。
2、自为性
学习主体将学习纳入自己的生活结构之中，成为其生命活动中不可剥落的有机组成部分。
学习自为性是独立性的体现和展开，它内含着学习的自我探索性、自我选择性、自我建构性和自我创造性四个层面的结构关系。
因此，自为学习本质上就是学习主体自我探索、自我选择、自我建构、自我创造知识的过程。
⑴自我探索往往基于好奇心。
好奇心是人的天性，既产生学习需求，又是一种学习动力。
自我探索就是学习主体基于好奇心所引发的，对事物、环境、事件等的自我求知、索知的过程。
它不仅表现在学习主体对事物、事件的直接认识上，而且也表现在对“文本”知识的学习上。
文本知识是前人或作者对客观事物的认知，并非学习主体的直接认识。
因此，对“文本”知识的学习，实际上也是探索性的学习。
通过自我探索而求知、认知，这是学习主体自为获取知识的方式之一。
⑵自我选择性是指学习主体在探索中对信息的由己注意性。
外部信息只有经学习主体的选择才能被纳入认知领域；选择是由于被注意，只有经学习主体注意的信息才能被选择而被认知，（故有“视而不见、听而不闻”的状况）。
因此，学习是从学习主体对信息的注意开始的。
而一种信息要引起注意，主要是由于它与学习主体的内在需求相一致。
由内在所求引起的对信息选择的注意，对头脑中长时记忆信息的选择提取运用从而发生的选择性学习，是自为学习的重要表现。
⑶自我建构性是指学习主体在学习过程中自己建构知识的过程，即其新知识的形成和建立过程。
在这过程中由选择性注意所提供的新信息、新知识，是学习的对象。
对这一对象的学习则必须以学习主体原有的经验和认知结构为前提，而从头脑中选择提取的信息是学习新信息、新知识的基础。
这两处信息经由学习主体的思维加工而发生了新旧知识的整合和同化，使原有的知识得到充实、升华、联合，从而建立新的知识系统。
因此，建构知识即是对新信息、新知识的建构，同时又包含了对原有经验和知识的改造和重组；即既是对原有知识的保留，又是对原有知识的超越。
⑷自我创造性是学习自为性更重要、更高层次的表现。
它是指学习主体在建构知识的基础上，创造出能够指导实践并满足自己需求的实践理念模型。
这种实践理念及模式，是学习主体根据对事物发展的客观规律、对事物真理的超前认识、对其自身强烈而明确的内在需求，从而进行创造性思维的结果。
建构知识是对真理的认识，是对原有知识的超越；而实践理念模式则是以现有真理性知识为基础，并超越了它（即是对事物真理的超前认识）。
这种超前认识是由明确的目标而导引的创造性思维活动，在这种活动中，学习主体头脑中的记忆信息库被充分地调动起来，信息被充分地激活起来，知识系统被充分地组织起来，并使学习主体的目标价值得到了充分张扬。
可见，不管是探索性学习、选择性学习，还是建构性学习、创造性学习，都是自为学习重要特征显现，也是学习主体获取知识的途径。
从探索到选择到建构、再到创造的过程，基本上映射出了学习主体学习、掌握知识的一般过程，也大致反映出其成长的一般过程。
从这个意义上说，自为学习本质上就是学习主体自我生成、实现、发展知识的过程。
3、自律性
即学习主体对自己学习的自我约束性或规范性。
它在认识域中表现为自觉地学习。
⑴自觉性是学习主体的觉醒或醒悟性，对自己的学习要求、目的、目标、行为、意义的一种充分觉醒。
它规范、约束自己的学习行为，促使自己的学习不断进取、持之以恒。
它在行为域中则表现为主动和积极。
主动性和积极性是自律性的外在表现。
因此，自律学习也就是一种主动、积极的学习。
主动性和积极性来自于自觉性。
只有自觉到自己学习的目标意义，才能使自己的学习处于主动和积极的状态；而只有主动积极的学习，才能充分激发自己的学习潜能和聪明才智而确保目标的实现。
⑵自律学习体现学习主体清醒的责任感，它确保学习主体积极主动地探索、选择信息，积极主动地建构、创造知识。
综上所述，“自主学习”就是学习主体自立、自为、自律的学习。
学习的自立性、自为性和自律性是学习自主性的三个方面的体现，是“自主学习”的三个基本特征。
其中，自立性是自主学习的基础，自为性是自主学习的实质，自律性则是自主学习的保证。
这三个特性都说明了同一个思想：
学习主体是自己学习的主人，学习归根结底是由学习主体自己主导和完成的。
承认并肯定这一思想，对于改革矫正曾有的诸多不合理的教育教学手段、模式，从而探索创立崭新的教育教学手段、模式，无疑具有特别重要的现实功能和意义。
三、自主学习的意义
1、培养自主学习能力是社会发展的需要。
面对新世纪的挑战，适应科学技术的飞速发展形势，适应职业转换和知识更新频率加快的要求，一个人仅仅靠在学校学习的知识已远远不够，每个人都必须终身学习，终身学习能力成为一个人必须具备的基本素质。
在未来发展中，我们的学习是否具备的基本素质。
在未来发展中，我们的学习是否具有竞争力，是否具有巨大潜力，是否具有在信息时代年轻车熟地驾驭知识的本领，从根本上讲，都取决与学生是否具备有终身学习的能力，使学生在基础教育阶段学会学习已经成为当今世界诸多国家都十分重视的一个问题。
同时作为教育者，我们更清醒地知道在当今知识大爆炸的时代。
任何教育都不可能将所有人类知识传授给学习者，教育的任务必然要由学生学到的知识转成培养学生学习的能力，培养学生的学习能力是学习的本质。
2、培养自主学习的能力是课程改革的首要目标。
《基础教育课程改革纲要》在谈及新一轮课程改革的具体目标时，首要的一条是：
“改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动地学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程，同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。
”这一目标使改变学习方式，提倡自主学习成了这这场改革的亮点。
传统学习方式过分突出和强调接受和掌握，冷落和忽视发现和探索，从而在实践中导致了对学生认识过程的极端处理，使学生学习书本知识变成了仅仅是直接接受书本知识死记硬背书本知识，学生学习成了被动的接受，记忆的过程。
这种学习窒息人得思维和智慧，摧残人得自主学习兴趣和热情。
他不仅不能促进学生的发展，反而成为学生发展的阻力。
是把学生建立在人得客观性、受动性、依赖性的一面上，导致了人的主动性、能动性不断地被销蚀，严重压抑了学生的学习兴趣和热情，影响到了新生一代的健康成长，已到了非改不可的地步。
基于此《基础教育课程改革纲要》提出要改变课程实施过于强调接受，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜索，处理信息的能力，以及交流知识的能力，分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，就是要转变这种他主的，被动的学习状态，提倡以弘扬人得主体性、能动性独立性为宗旨的自主学习。
因此，培养自主学习能力成为课程改革的首要目标。
案例：
新版的《思想品德》课教材为思想品德课的发展创造了非常良好的舞台和理念，为促进当代中学生良好思想品德的形成提供了很好的空间。
面对新教材，怎样才能发挥思想品德课的德育功能，提高课堂教学的时效性呢?
在分析课标，钻研教材的基础上，我们对思想品德课教学进行了一系列的实践和探索，并尝试性地让一位老师上了一堂公开课，没想到这犹如“一石击起千层浪”，在平静的校园里引发了一场大讨论。
现先就这堂公开课（粤教版七年级教材“认识你自己”）的内容摘录几个镜头：
情景一：
教师播放《还珠格格》插曲“有一个姑娘”及有关镜头，学生们的兴致马上来了，边笑边唱，边欣赏“洋相百出”的小燕子……歌曲结束，教师随机“采访”：
“你喜不喜欢小燕子?
为什么喜欢她?
”学生们争相回答：
“因为小燕子活泼、开朗、好打抱不平…”教师趁机导入：
“那么你是一个怎样的人呢?
让我们一起来认识自己吧!
”新课开始一认识你自己。
情景二：
男女生各一名到黑板画自画像并说明这样画的理由。
其它同学纷纷展示自己的自画像，形态各异的自画像和同学们精彩的发言引来了一阵阵笑声和掌声。
情景三：
在同学们作了一番“自我介绍”后，突然有学生发问：
“老师，你是一个怎样的人呢?
”大家都笑了，教师笑谈自己的性格特点，尤其是说到自己胆小，害怕到医院打针时，又引起一阵笑声。
情景四：
教室里很静，同学们埋头精心地进行“自我形象设计"。
一会儿有同学开始展示自己的设计成果，下课铃响了，同学们纷纷向教师手里塞自己设计的卡片……。
这到底是什么课?
音乐课?
美术课?
主题班会?
都不是也都是。
这就是我区大泉中学邵明艳老师在多媒体教室上的一堂七年级思想品德公开课。
再看听课的老师们的神情吧：
时而微笑，时而颔首，兴致勃勃地观察同学们的“唱、画、说、议”等。
有时情不自禁笑出了声，有时热烈地为学生们的精彩表现而鼓掌，可以说每个人的情绪都被感染了！
不知不觉时间过去，一下课，老师们就热烈地讨论开了：
谈感想，谈对新课程改革的认识等。
在此后老师们还经常谈起这堂课，讨论比较多的是：
新形势下思想品德课教学到底该怎样改?
现结合我们对新课程背景下思想品德课教学改革的探索和实践，谈一点自己的认识。
我们认为当前要抓住课改契机，深入开展思想品德课教学改革，就要积极创新教学方式——让学生自主学习、快乐成长!
3、培养自主学习能力是学生个体发展的需要。
首先，自主学习提高了学生在晓学习的质量，经过检验，高成绩的学生也是自主学习能力较强的学生，因为自主学习能够促进学生对所学内容的深度理解，符合深度学习的特征。
其次，自主学习能力是创新人才必备的基本功。
据我国学者调成研究，在1992年中国大学生实用科技发明大奖赛中获奖的学生的学习活动都具有很强的独立性、自立性、自律性表明学生的创造性和他们自作学习时密切相关的，也正如著名的数学家华罗庚的论述一样“一切创作发明，都不是靠别人教会的，而是靠自己想，自己做，不断取得进步”。
再次，自主学习能力是个体终身发展的需要。
自主学习是个体走出学校后采取的主要学习方式，而没有自主学习能力，个体的终身发展会受到极大地限制。
案例
爱因斯坦说“学校的目标始终应当是：
青年人在离开学校时，是作为一个和谐的人，而不是作为一个专家。
”人教版七年级下册第八单元第二课第三课时《信用是金》教学中，设计了一个关于创业的课堂演习——投资论坛AB剧：
情境一：
某地的一家著名的生产烧鹅的厂家，联系到一个出口业务，要求在一个月内交货。
由于时间很紧，于是全厂职工努力的工作，力争完成任务。
在离交货日期还有一个星期的时候，有一台机器坏了，要完成任务，必须要求加班加点。
如果你是老总，你怎么做呢？
A、让工人加班B、不加班，和外商解释
情境二：
工人们听了老板的话，都决定加班，可是包装工人小华因为加班使得他不能给朋友过生日，心生恶念，一冲动把一只烧鹅的腿撕下来吃了，然后若无其事的包装好。
在全部整装待发时，因为良心过不去，报告了厂长。
此时货物已经全部装上开往港口的火车。
这时你是厂长你怎么做?
A、卸货找到少腿烧鹅B、算了
情境三：
该厂把所有货物全部装回，全厂职工一个昼夜时间找到了该烧鹅，但是因此推迟了交货时间，赔偿了违约金。
这趟生意不但没赚还赔了。
但是这件事情让外方知道后，和该厂签定了为期3年的供货合同。
为此该厂的品牌也更加响亮。
问：
在这里我们看到了该厂什么经营理念?
该理念对你有启发吗？
通过一个个情境、矛盾选项的设计，把学生想要说的欲望激发起来，课堂气氛一下子就活了。
这样的问题设计，使学生
4、培养自主学习能力有助于提高课堂学习效率。
学习效率是提高是实施素质教育的关键，更是课堂教学所必须学的。
课堂上的自主性学习并非独立其事，而是指学生不盲从老师，在课堂上做好预习，课堂上热情参与，课后及时查漏补缺，充分发挥主动性、积极性，变老师要我学为我要学，摆脱对老师的依赖性。
真正意识学习是自己学来的，而不是老师或者其他人教会的，自己才是学习的管理者，这些有助于提高课堂学习效益。
四、如何开展自主学习
1、课堂教学。
课堂教学是一个双边活动过程，营造一种民主、开放、平等、轻松、和谐的教学环境，是我们的最终目标。
教学中的宽松、民主、热情、信任、激励……，能给学生一种亲和、向往、感染和需要。
打消一切顾虑，冲破任何障碍，主动地、积极地参与融合到他人的学习中，融合到知识的海洋中来，让每个学生都能动手、动嘴、动脑、动心、动情。
积极地、主动地、迫切地参与到教与学的活动中，实实在在地成为课堂学习的一分子。
把说、讲、评、看、听、练、动的机会和权利还给学生。
让每个学生陶醉在自己的“创造”中，让每个学生感受到他人和自己的成功，让思维处于积极的兴奋、大胆想象、积极思、，准确的表达中，充分享受学习的乐趣。
使每个学生每天都有一些收获，哪怕是一点点，他会说“这是属于我的”。
案例中学生语文课堂自主学习
实验班:
七年级31班实验时间：
2009.08-2010.01实验内容：
自主学习。
具体操作：
课堂上，教师巧妙引导，把说、讲、评、看、听、练、动的机会和权利还给学生。
具体任务：
提前一天，就安排学生寻找一些和第二天学习内容相关的好句子，然后写一段自己的借鉴，上课时交流。
一段时间的学习后，学生发生变化的一些方面：
学生养成提前预习课文，并主动尝试用自己的语言描述新情景。
《语文》七年级上册，朱自清《春》的教学中：
上课一开始，我要求学生交流昨天的作业。
但有一个要求，被抽到的同学，每人交流时间不超过三十秒。
于是，学生一个个走上讲台，有模有样、有声有色地朗诵自己写的内容。
一个同学说道：
“‘春眠不觉晓，处处闻啼鸟。
’春天来了，我听到了各种各样的声音，万物也渐渐地苏醒了。
”又有一个同学站起来说：
“‘好雨知时节，当春乃发生。
随风潜入夜，润物细无声。
’春天来了，那细柔的春雨滋润着万物，使大自然变得美丽如画。
”……一个个同学激情洋溢地描述着春天的美丽，底下的同学也饶有兴致地听着。
几个同学的朗诵结束，进行了一番点评，对讲得好的同学进行了表扬，以鼓励他们的兴趣。
然后引出了课文。
“刚才几个同学用精彩的句子描绘了春天，下面，我们来看看朱自清先生是怎样描绘春天的，我们来和他比比看”。
听我这么一说，学生们笑了起来，“那我们肯定是比不过的”。
我笑了笑说：
“那我们就来找一找朱自清先生对春天的描绘好在哪里?
”
我先让学生阅读课文，要求学生读完全文后思考这样的问题：
作者是怎样将春天的美展现在我们眼前的，并找出你喜欢的画面，说说你的看法。
可以先独立思考，然后相互间进行讨论。
我想学生对于这个问题，既需从文章描写的语言文字上去探讨，又要运用自己的语言文字进行阐述。
给了学生一个比较宽阔的阅读分析的空间，学生可以选择自己喜欢的句子进行分析，可以展现学生自己的看法。
刚开始同学们看得非常认真，课堂鸦雀无声。
但一会儿就有人开始窃窃私语，后来你一言我一语地热烈讨论起来。
看到这里我心中一阵窃喜，这是学生思维的碰撞，想必待会儿他们的发言一定精彩。
过了一会儿，学生开始发言了。
一个胖胖的男生首先站起来说：
“我最喜欢作者笔下的小草‘嫩嫩的，绿绿的’。
一个‘钻’运用了拟人的手法写出春天来了，万物苏醒了，小草也耐不住寂寞，从土里长出来了。
”这个胖男生在说到“从土里长出来”时，用手比划着，他那拙笨的动作，引起了学生一阵笑声。
向来被称为“善言者”的小胖墩带了一个好头。
一位学生紧接着说：
“我也喜欢小草，不过我更喜欢作者所写的‘……打几个滚，踢几脚球，赛几趟跑，捉几回迷藏。
’作者运用排比的手法写出了在草地上孩子们的活动，各种各样的姿态。
嗨，瞧他们在软绵绵的草地上玩得多开心，我也真想去好好玩一下。
”这位学生的发言，赢得了同学们热烈的掌声。
对于同学们精彩的发言，我心里暗暗感到高兴，我对同学的发言作了肯定，特别指出了同学能对拟人、排比修辞手法作较为正确的分析。
因为有了前面的范例，同学们的发言更加踊跃，一个同学说：
“我最喜欢春风，因为作者把它写成‘像母亲的手抚摸着你’，母亲的手是最温柔的，这个比喻句使我感受到了春天给我们带来的温馨和喜悦。
”这时一个同学站起来补充：
“这幅画面中作者还运用了‘引用’的修辞手法。
引用的诗句把我们带进了诗的美妙意境。
”
这时班中的一个被称为“学者”的同学站了起来说：
“我比较喜欢最后一幅画面，你看这画面中，有孩子在放风筝，也有老人在锻炼身体，一个个赶趟儿，展现在我们眼前的是一幅生机勃勃的景象。
而且文中还说‘一年之计在于春’，画面中的这些人，不就是趁着一年的开头，在做着一年的打算吗?
”
这位同学的发言正好切合了我的教学思路，我及时抓住他的话题，问同学们对他的发言还有没有要发表看法的。
我这样问的目的是要让学生在欣赏春天美的同时，要懂得珍惜时间。
显然，随着同学们的进一步讨论，对这一问题都有了认识。
随着学生热烈的发言，课堂气氛越来越热烈，学生们的兴致也越来越高涨，一些平时不太愿意发言的学生今天也纷纷发表了意见，他们从文章中找到自己所喜欢的画面，用也许是不太流利的语言，发表了自己的看法；一些比较挑剔的同学还对其他同学发言中的不到之处，进行了指正补充。
我在点评时，对某些方面的问题适时作了归纳总结。
顺着学生的讨论，我引出了下面的问题：
“刚才，我们部分同学读了自己描写春天的句子，我们又认真阅读了朱自清先生描绘春天的文章，现在我们来比较一下，你们写的‘春’和朱自清写的‘春’差距在哪里?
”一石激起千层浪，同学们相视笑了起来。
接着有同学开始发言：
“作者运用了生动形象的修辞手法，给我们有身临其境的感觉，我们的文章就是缺少这一点。
”
“作者还有丰富的想象力，如，写‘雨’，把它写成‘像牛毛，像花针，像细丝……’我们可写不出来。
”
“那我们为什么写不出呢?
”我紧接着追问了一句。
沉默了一会儿，一位平时写作较好的同学说：
“可能是我们平时缺少观察，也缺少想象力。
”
我肯定了这个同学的回答。
我接着说：
“我们读了朱自清先生写的‘春’，想必大家一定有了新的感悟，对春天的美丽一定有了新的认识，现在老师要求你们，今天晚上回去再去构思这篇文章，题目就是《春天来了》。
老师看看你们这次写的春天比原来写的春天有没有变化。
”
课在热烈的气氛中结束。
我想，学生回去以后也一定会兴致勃勃地完成我所布置的作业。
2、课外学习
（1）组建合作小组。
“学生应当学会生存，学会学习，学会合作。
”作为我国的素质教育的具体目标之一，必须贯穿于教学的整个过程中。
为此，在课堂教学过程中，在让每个学生明确学习讨论的内容和要求之后，采用小组合作探究学习的方式，确定好小组长，自由组合学习伙伴（可将不同学习能力、学习态度、学习兴趣、性别、个性的学生组合在一组）。
（2）确定学习职责。
任务到人，每个成员可完成相同或不同的任务。
在分小组学习之时，教师要关心每一小组的学习情况，最好对每小组成员的学习基础、学习的状况、学习过程有祥细的书面记录（由每组学生轮流执笔整理完成），同时有重点地参与一、两个小组的学习。
学生通过小组内的互相帮助，共同商讨，对学习内容有了更深的理解，对学习的自主性、差异性也得到了充分的展现。
（3）展示成果互相交流。
学习后，学生的热情很高，有迫切展示自我的愿望，抓住时机，因势利导，展开交流，特别要鼓励他们的勇气、独到的见、相互的争辩用及成熟或不成熟的结果。
实现每个学生都能“把我的思想给你，把你的思想给我，我们就有了两种思想”的过程。
在这个过程中摄取精华，弃其糟粕。
带给每个学生的是参与、合作、鼓励、帮助、肯定、启发、进步和信心。
案例小组合作在课外学习中的一种尝试
实验班:
高二年级文科班实验时间：
2004.9至2005.5。
实验内容：
自主学习。
学习时间：
每天几十分钟不等，每星期三下午自习课45分钟
具体操作：
将全班学生划分为10个学习小组，学习小组自由组合，每个同学都要参加，以‘五、六’人为一组，指定好小组长。
具体任务：
每组负责为期一个星期的每天作业订正和布置；每组每次自拟一份45分钟的试卷（供星期三用），批改好测试卷，给出分数，对试卷中出现的问题进行讲评、小结。
其它同学应对每套试卷分A、B、C、D四个等级给予评价。
学习工具的选择：
计算器，计算机，几何画板，或各种数学教育技术平台（自选）。
一段时间的学习后，学生发生变化的一些方面：
思路大开，主动的知识渗透和大胆的知识迁移，让人心花怒放。
在全日制普通高级教科书（试验修订本必修）《数学》第二册（上），不等式的教学中，布置给学生的作业P31B组第6题。
题目：
设a,b,c为△业ABC的三条边，求证：
a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）.
学生1（作差分解组合法）解：
a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）=（a2-ab-ca）+（b2–ab-bc）+（c2-bc-ca）=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）,
∵在三角形中a∴a（a-b-c）<0,b（b-a-c）<0,c（c-b-a）<0,
∴a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）.
评注：
着手点三角形三边和差的大小关系（a+b-c>0或a-b-c<0），因此将差值式分离出a-b-c，b-a-c，c-b-a后，组合成可确定正负的因式。
学生2（从a+b>c,b+c>a,c+a>b着手＋不等式的性质）
解：
由a,b,c>0,
相加得:
2（ab+bc+ca）>a2+b2+c2,
∴a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）.
评注：
借助三角形中a+b>c,b+c>a,c+a>b的关系，瞄准所证不等式中有a2，b2，c2及ab,bc,ca的乘积，则将a+b>c,b+c>a,c
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