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分段线性插值

《数值分析》课程设计

分段线性插值

郭阁阳

牛彦坡陈彬冯梦雨

指导教师

天津工程师范学院

课程设计任

理学

数学0702班学生

牛彦坡陈彬冯梦雨

课程设计课题:

考察分段线性插值

、课程设计工作日自2009年6月22日至2009年6月28日

三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、参考资

料等）:

来源与意义:

本课题来源于教材第二章插值法，目的是从几何意义掌握分段线性插值的思

想，加深对其的理解以及掌握用计算机与Matlab解决相关问题的能力。

基本要求:

要求自编程序；掌握编程思想，学会一门编程语言；报告要有较强的理论分

析；有较强说服力的数据表或图像；对结果进行分析；给出相应结论；鼓励创新;

参考资料:

1.数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第四版）。

2.数值方法，关治，陆金甫，2006,清华大学出版社。

3.数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001，清华大学出版社。

4.数值分析与实验，薛毅，2005,北京工业大学出版社。

指导教师签字:

理学

教研室主任签字:

天津工程师范学院

程设计评审表

数学0702班学生牛彦坡陈彬冯梦雨设计任务完成情况及指导教师评语

评定成绩

成绩:

指导教师签字:

日期:

答辩情况

主任签字:

日期:

教研室主任:

日期:

问题提出:

考察分段线性插值：

对f（x）丄在（-5,5）上进行分段线性插值，取不同节点个数n,得到不同

分段线性插值函数。

（要求：

自编程序，报告有数据表、图像、分析、结论。

）

虽然matlab里有直接分段线形插值的函数，但为了对分段插值算法有更明确

的理解，编写该程序是有必要的

需要解决的问题:

1、由已知数据节点编写分段线形插值函数，从而能由所编函数得到非节点的函数值。

2、比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系

二、理论基础

所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f（X）。

设已知节

点a=xovxiv…vxn=b上的函数值fo,fi,…，fn,求一折线函数满足:

3。

lh（x）在每个小区间［xk,Xk+1］上是线性函数。

则称lh（x）为分段线性插值函数。

模型一：

由定义可知lh（x）在每个小区间［Xk,Xk+l］上可表示为

xxk1xxk

Ih（x）=fkfk1（XkxXk1）

XkXk1Xk1Xk

模型二：

首先确定间隔序列k，使得:

第二个量是局部变量S,其定义为：

最后一个量是一阶均差

则插值基函数可表示为

三、实验内容

（1）原函数fdl.m

（3）比较不同节点数所得分段线性插值函数的插值效果fd3.m

2、选取插值节点数为偶数

在MATLAB窗口中执行：

fd3n=2的数据见附录，图像如下:

n=8的图如下:

n=20的图

（2）插值效果比较函数fd32（选取插值节点数为奇数）程序代码（参见附录）在MATLAB窗口中执行：

fd32

得下图：

上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像，下图为误差图像

3、由上所有的图可看出，由于原函数是偶函数，等距节点所得插值函数有很强

对称性，下任取节点，

编写程序fd33.m，得图

上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像，下图为误差图像

4、比较不同节点所得插值函数与被插函数误差的平方和，程序模板为d1.m

得下图:

红星由fd32得奇数节点误差平方和，绿星加圈由fd3得偶数节点误差平方和，圈由f33得随机节点误差平方和,数据见附录

四、结果分析

1、不同插值节点数所得的分段线形插值函数，在节点处与原函数的函数值

定相同

2、所得的分段线形插值函数在原函数斜率绝对值变化大的地方，与原函数

的误差比较大

3、由误差平方和e,插值节点个数越多，e有减小的趋势，最后趋于0。

单考虑奇数或偶数个节点，则随节点数增加e严格减小。

4、随机生成的节点不如等距节点使插值效果好。

五、结论

插值节点个数越多，分段线形插值函数与原函数误差平方和有减小趋势

插值效果越好。

六、参考文献

数值分析与实验》薛毅编著北京工业大学出版社

附录

代码如下：

%fd1.m线性插值原函数

functiony=fd1（x）

y=1丿（1+XA2）;

%fd2.m分段线性插值函数functionyi=fd2（X,y,Xi）n=length（X）;

m=length（y）;ifn~=merror（'X和丫向量的长度必须相同’）；return;

end

fork=1:

n-1

ifabs（X（k）-X（k+1））

return;

end

ifX（k）<=Xi&Xi<=X（k+1）%保证X（k）

temp=X（k）-X（k+1）;

yi=（Xi-X（k+1））/temp*y（k）+（Xi-X（k））/（-temp）*y（k+1）return;

end

%fd3.m比较插值效果

a=-5;

b=5;

n=input（'请输入分端节点数：

'）;

ifn<=0

error（'你输入的数据有误！

！

'）;break;

endh=（b-a）/（n-1）;%求节点X=a:

y=fd1（X）;

XX=a:

0.1:

b;%用分段线性插值函数求非节点函数值

yyi=fd1（XX）;m1=length（XX）;z=zeros（1,m1）;

fork1=1:

m1z（k1）=fd2（x,y,xx（k1））;endw=z-yyi;%计算误差subplot（2,1,1）;plot（x,y,xlabel（'x'）;ylabel（'y'）;title（'原函数（实线）-插值函数（虚线）'）;holdonsubplot（2,1,2）;plot（xx,w,xlabel（'x'）;ylabel（'R（x）'）;title（'误差分析'）;holdonxx=xx';yyi=yyi';z=z';w=w';

%fd22.m分段线性插值函数functionv=fd22（x,y,u）delta=diff（y）./diff（x）;n=length（x）;k=ones（size（u））;

forj=2:

n-1k（x（j）<=u）=j;ends=u-x（k）;v=y（k）+s.*delta（k）;

%fd32.m同时画不同节点的插值函数图像和误差图像clearcloset=[-5:

0.01:

5];a=['k''g''r''cfori=1:

5n=2*i+1;x=linspace（-5,5,n）;y=fd1（x）;p=fd22（x,y,t）;p=p';y1=fd1（t）;y1=y1';e=p-y1;

'o',xx,yyi,

x,y,'k:

'）;%插值图像

'k:

'）;%误差的图像

'm'];

%把区间[-55]

%计算以（x，

%计算误差

subplot（2,1,1）;plot（x,y,a（i））;holdsubplot（2,1,2）;plot（t,e,a（i））;holdendsubplot（2,1,1）;

分为（n—1）份，算插值节点

y）为插值点的插值函数在t处的各个值

on;%画出插值函数图像及误差图像on;

legend（'n=3','n=5'subplot（2,1,2）;

legend（'n=3','n=5'subplot（2,1,1）;fplot（@fd1,[-55],holdoff

'n=7'

'k'）;

'n=9','n=11'）

%画出原函数图像

%fd33.m插值节点非等分区间获得closet=[-5:

0.01:

5];

a=['k''g''r''c''m'];fori=1:

5n=2*i+1;

x=[-5rand（1,n-2）*10-55];%

x=sort（x）;

y=fd1（x）;p=fd22（x,y,t）;p=p';y1=fd1（t）;y1=y1';

e=p-y1;subplot（2,1,1）;plot（x,y,a（i））;holdsubplot（2,1,2）;plot（t,e,a（i））;holdendsubplot（2,1,1）;

legend（'n=3','n=5'subplot（2,1,2）;

legend（'n=3','n=5'subplot（2,1,1）;fplot（@fd1,[-55],holdoff

（-5,5）上的n维随机向量

on;on;

'n=7','n=9','n=11'）

'k'）;

%fd1.m比较不同节点数误差平方和cleart=[-5:

0.01:

5];a=[];b=[];

fori=1:

n=2*i;%n=2*i+1则是奇数节点

x=linspace（-5,5,n）y=fd1（x）;

p=fd22（x,y,t）;y1=fd1（t）;

e=p-y1;

e=e*e';

a=[ae];

b=[bn];

endplot（b,a,'go'）xlabel（'n节点数'）

ylabel（'e误差平方和'）holdon

n=2的数据：

YI（原函数）

-5.0000

0.0385

-4.9000

0.0400

0.0577

-0.0177

-4.8000

0.0416

0.0769

-0.0353

-4.7000

0.0433

0.0962

-0.0528

-4.6000

0.0451

0.1154

-0.0703

-4.5000

0.0471

0.1346

-0.0876

-4.4000

0.0491

0.1538

-0.1047

-4.3000

0.0513

0.1731

-0.1218

-4.2000

0.0536

0.1923

-0.1387

-4.1000

0.0561

0.2115

-0.1554

-4.0000

0.0588

0.2308

-0.1719

-3.9000

0.0617

0.2500

-0.1883

-3.8000

0.0648

0.2692

-0.2045

-3.7000

0.0681

0.2885

-0.2204

-3.6000

0.0716

0.3077

-0.2361

-3.5000

0.0755

0.3269

-0.2515

-3.4000

0.0796

0.3462

-0.2665

-3.3000

0.0841

0.3654

-0.2813

-3.2000

0.0890

0.3846

-0.2956

-3.1000

0.0943

0.4038

-0.3096

-3.0000

0.1000

0.4231

-0.3231

-2.9000

0.1063

0.4423

-0.336

-2.8000

0.1131

0.4615

-0.3484

-2.7000

0.1206

0.4808

-0.3601

-2.6000

0.1289

0.5000

-0.3711

-2.5000

0.1379

0.5192

-0.3813

-2.4000

0.1479

0.5385

-0.3905

-2.3000

0.1590

0.5577

-0.3987

-2.2000

0.1712

0.5769

-0.4057

-2.1000

0.1848

0.5962

-0.4113

-2.0000

0.2000

0.6154

-0.4154

-1.9000

0.2169

0.6346

-0.4177

-1.8000

0.2358

0.6538

-0.418

-1.7000

0.2571

0.6731

-0.416

-1.6000

0.2809

0.6923

-0.4114

-1.5000

0.3077

0.7115

-0.4038

-1.4000

0.3378

0.7308

-0.3929

-13000

03717

07500

-03783

-1.2000

0.4098

0.7692

-0.3594

-1.1000

0.4525

0.7885

-0.336

-10000

05000

08077

-03077

-0.9000

0.5525

0.8269

-0.2744

-0.8000

0.6098

0.8462

-0.2364

-0.7000

0.6711

0.8654

-0.1942

-06000

07353

08846

-01493

-0.5000

0.8000

0.9038

-0.1038

-0.4000

0.8621

0.9231

-0.061

-0.3000

0.9174

0.9423

-0.0249

-02000

09615

-01000

09901

09808

00093

1.0000

0.1000

0.9901

0.9808

0.0093

0.2000

0.9615

0.3000

0.9174

0.9423

-0.0249

0.4000

0.8621

0.9231

-0.061

0.5000

0.8000

0.9038

-0.1038

0.6000

0.7353

0.8846

-0.1493

0.7000

0.6711

0.8654

-0.1942

0.8000

0.6098

0.8462

-0.2364

0.9000

0.5525

0.8269

-0.2744

1.0000

0.5000

0.8077

-0.3077

1.1000

0.4525

0.7885

-0.336

1.2000

0.4098

0.7692

-0.3594

1.3000

0.3717

0.7500

-0.3783

1.4000

0.3378

0.7308

-0.3929

1.5000

0.3077

0.7115

-0.4038

1.6000

0.2809

0.6923

-0.4114

1.7000

0.2571

0.6731

-0.416

1.8000

0.2358

0.6538

-0.418

1.9000

0.2169

0.6346

-0.4177

2.0000

0.2000

0.6154

-0.4154

2.1000

0.1848

0.5962

-0.4113

2.2000

0.1712

0.5769

-0.4057

2.3000

0.1590

0.5577

-0.3987

2.4000

0.1479

0.5385

-0.3905

2.5000

0.1379

0.5192

-0.3813

2.6000

0.1289

0.5000

-0.3711

2.7000

0.1206

0.4808

-0.3601

2.8000

0.1131

0.4615

-0.3484

2.9000

0.1063

0.4423

-0.336

3.0000

0.1000

0.4231

-0.3231

3.1000

0.0943

0.4038

-0.3096

3.2000

0.0890

0.3846

-0.2956

3.3000

0.0841

0.3654

-0.2813

3.4000

0.0796

0.3462

-0.2665

3.5000

0.0755

0.3269

-0.2515

3.6000

0.0716

0.3077

-0.2361

3.7000

0.0681

0.2885

-0.2204

3.8000

0.0648

0.2692

-0.2045

3.9000

0.0617

0.2500

-0.1883

4.0000

0.0588

0.2308

-0.1719

4.1000

0.0561

0.2115

-0.1554

42000

00536

01923

-01387

4.3000

0.0513

0.1731

-0.1218

4.4000

0.0491

0.1538

-0.1047

4.5000

0.0471

0.1346

-0.0876

4.6000

0.0451

0.1154

-0.0703

47000

00433

00962

-00528

4.8000

0.0416

0.0769

-0.0353

4.9000

0.0400

0.0577

-0.0177

50000

00385

误差平方和

136.9209

79.1689

63.334

6.9775

23.7384

0.8329

误差平方和

9.0015

0.5726

3.6152

0.572

1.5676

0.4648

0.7472

误差平方和

0.3366

0.3945

0.2327

0.2291

0.1593

0.1438

0.1101

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