从理论上讲，服从正态分布的随机变量X的取值范围是R,但实际上X的取值在区间
（4-3b,#+3b）外的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。
因此，
往往认为服从正态分布的随机变量X的取值范围是（〃-3b,〃+3b）,这就是3b原则。
在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。
说明：
“小概率事件”通常指发生的概率小于的事件。
5.性质：
E（aX+b）=；D（qX+b）=。
6.提示：
（1）在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定
程度；
（2）注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。
【考点剖析】
%1.基本公式
例1
（1）若如B（〃,p）,且Eg=l2,Dg=4，则>1）=o1-（-）18
（2）若X〜N（“，4）,且P（—3vX<—l）=P（3vX<5）,则曰=.1
（3）己知随机变量g的分布列如下，则x=_-；Eg=_l_；Dg=__-__o
22
g
0
1
2
P
x2
X
4
%1.基本分布列
例2.设在15个零件中有两个次品，从中任取三个，随机变量X表示取出次品的个数。
（1）指出X服从什么分布列？
并求其分布列。
（2）求EX、DXo
252
（1）超儿何分布；
（2）—，——
5175
变式：
设在15个零件中有两个次品，从中取一个，记录后放回，连取三次，随机变量X表示取出次品的个数。
（1）指出X服从什么分布列？
并求其分布列。
（2）求欣、DX°
堂上练习:
（1）《备考指南》112例2
（2）《备考指南》114例1
思考：
（1）练习
（1）、
（2）有何共同之处？
是什么分布列？
（2）若把练习
（2）《备考指南》114例1“不放回”改成“放回”，是是什么分布列？
2
例3.某射手每次射击击中目标的概率是一，且各次射击的结果互不影响。
3
（I）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（1【）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。
另外2次未击中目标的概率；
（III）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击
中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，
记g为射手射击3次后的总的分数，求§的分布列。
2\
（1）解：
设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X〜B5,—.在5次射击中，恰有2
I3/
次击中目标的概率
（II）解：
设“第，次射击击中目标”为事件耳（，=1,2,3,4,5）；“射手在5次射击中，有3
次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A,则
〈1、
1
1
2
‘2）
—X
—
+-X
—
X—+
—
X
—
3
3
3
<3j
<3；
_8_
（III）解：
由题意可知，S的所有可能取值为0,1,2,3,6
（1\1
p（〈=o）=p（A5=-=—
H）z/
P（0=1）=P（A瓦&）+P（&A0）+p（aaa3）
——2124
M=2）=p（aa2a）=-x-x-=—JJJ乙/
一一<2V11（\
=3）=AA）+P（A4A）=TX-+-X-
\3733\3
<2Y8
心6）=财5七=方所以s的分布列是
••
0
1
—■T
-一一、
r
J
6
-.♦..-■fA
■
1
A
4
8
8
-~
I
Q
—•
~•
—•
堂上练习:
A、8两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，旦比赛结束。
根据以往
2
成绩，每场中A队胜的概率为一，设各场比赛的胜负相互独立.
3
（1）求A队夺冠的概率；
（2）设随机变量g表示比赛结束时的场数，求Eg.
291o7
（1）A队连胜3场的概率为［=
（一）3,打4场胜3场的概率为4=仁・
（一）2.土.土=仁）3
33333
71?
?
打5场胜3场的概率为4=C：
•
（一）2•（_）2=（—）4.
64
故A队获胜的概率为P=P\+g+4=点，
（2）P（g=3）=G）3+G）3=\p（g=4）=印+c；・§G）3我;
I2Q
P（g=5）=C：
・（5）2.（—）2=^；故g的分布列为（略）
1.10u8107
/.Eq=3x-+4x—+5x—=——.
3272727
%1.综合运用
例4.袋中装着标有数字1、2、3、4、5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被
取出的可能性都相等，用&表示取出的3个小球上的最大数字，求:
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量f的数学期望。
解：
（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件A,则尸（人）=学件；=2
席）3
（2）由题意得，f有可能的取值为：
2、3、4、5.
心2）=成严一,服=3）=《"C=2
Go3°Go15
15
p（»4）=空件L%pg）/氾件一8
Goi°Go
所以随机变量4的概率分布为（略）
1oQ213
m^™^E^2x-+3x-+4x-+5x-^
堂上练习：
编号1、2、3的三位学生随意入坐编号为1、2、3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是g,求随机变量g的数学期望和方差.
解：
与座位编号相同的学生的个数&的取值为0、1、3,
C11C1I11
服=0）=节=厂服=1）=节=5,服=3）=芸=广
概率分布列为（略），故Eg=lx；+3x!
=l，
D^=（l-0）2--+（l-l）2-+（l-2）2-0+（3-l）2--=l
326
例5.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。
首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。
再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到
♦♦
■的通道，直至走完迷宫为止。
令S表示走出迷宫所需的时间。
（1）求g的分布列；
（2）求f的数学期望。
【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。
（1）必须要走到1号门才能走出，&可能的取值为1,3,4,6
P（g=l）=：
，P（g=3）=；x；==P（g=4）=；x；=：
服=6）="x：
）xl=；
3326326~323
堂上练习：
《备考指南》115例1
例6.如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或己知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A,B,C,则分别设为1,2,3等奖.
⑴已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随变量'为获得灯右1,2,3）
等奖的折扣率，求随机变量&的分布列及期望
（II）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变
量〃为获得1等奖或2等奖的人次，求P（〃=2）.
解析：
本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
（I）解：
由题意得；的分布列为
（第19题）
50%
70%
90%
P
3
16
3
8
7
16
3373
则5=—X50%—X70%90%=—.
168164
339
（II）解：
由（I）可知，获得1等奖或2等奖的概率为—+—
16816
由题意得n〜
（3,—）
16
则P（n=2）：
-29,91701
-C3（）（1-）-.
316164096
堂上练习：
《备考指南》115例2
%1.正态分布
[x2+1（）x+25
例7.
（1）随机变量&的总体密度曲线=一―，若〃〜N（0,l）,且
（2）已知g〜N（4,S）,MP（2<^<6）=0.6826，则P（|g—2|<4）=。
0.84
（3）下图是正态分布Ns（o,i）的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的有（C）个
（4）设两个正态分布N0,苛）（5>0）和N（外，。
；）（。
2>0）的密度函数图像如图所示。
则有（A）
A.司＜〃2,5＜。
2B・司＜〃2，。
1＞。
2
C.＞〃2，0VqD."1＞。
2
课后练习
1.从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中，任意取3支，设g为这3支签的
21
号码之中最大的一个。
则S的的数学期望为O于
2.甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：
两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人
投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为上，乙每次投中的概率为上.
43
（1）乙投篮次数不超过1次的概率；
（2）记甲、乙两人投篮次数和为g,求&的分布列和数学期望.
解：
（1）“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是
一—一3235
P=1-P（A•B•A）=1一P（A）P（B）•P（A）=1一jg
（2）甲、乙投篮总次数f的取值1,2,3,4,则P（g=l）=P（A）=：
——3II
P（g=2）=P（AB）=P（A）P（B）=-x-=-,434
——3211
P（g=3）=P（AB•A）=P（A）•P（B）•P（A）=—x—x—=—
———3233
P（g=4）=P（A・3•A）=P（A）•P（B）・P（A）=-x-x-=-o
111321
g的分布列（略），数学期望为Eg=lx土+2x土+3x土+4x：
=三。
3.某小组有7个同学，其中4个同学从来没房加过矣文研形性学4舌动§3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.
（1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；
（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，求该小组没有
参加过天文研究性学习活动的同学个数数学期望Eg.
解：
（1）记“随机选2个同学，恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动”为事件A,
ClC}4
其概率为P（A）=-^—二—.
C；7
c22CXCX4C21
（2）P（S=2）=W=f,P（g=3）=$=E,P（g=4）=W=上
C：
7'C；7C;7
4.袋中装着标有数字1、2、3、4、5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出
的可能性都相等，用■表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量£的数学期望。
解：
（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件A,则P（A）=GC；f；C=2
Go3
（2）由题意得，f有可能的取值为：
2、3、4、5.
15
p（“2）=UC"；U=_L,p（“3）=咛ce_2
Go3。
Go
15
p（g=4）=qc；,g=p（g=5）=C«G,C；C；_8
Go1。
Go
所以随机变量f的概率分布为（略）
I23g13
因此£的数学期望为£^=2x—+3x—+4x—+5x—.
301510153
5.甲、乙之间角逐蓝球冠军，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束。
因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等。
据以往资料统计，第一场比
赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛比上一场增加10万元。
（1）组织者此决赛中要获得门票收入180万元需进行多少场？
（2）组织者在决赛中要获得门票收入不少于330万元的概率为多少？
解：
（1）用等差数列求和公式，="（30+10〃+」0）=]80,得〃=4；
（2）由>330,W/i2+5/i>66,故〃26,则比赛需进行6场或7场;
P（X=6）+P（X=7）=C；x：
G3（：
）5+C；x：
C63（：
）6二&
2222o
6.某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人
参加过长期培训（称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人
中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（T）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人;
（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
生产能力分
组
[100,110）
[110,120）
[120,130）
[130,140）
[140,150）
人数
4
8
X
5
3
表2：
生产能力分组
[110,120）
[120,130）
[130,140）
[140,150）
人数
6
y
36
18
（i）先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。
就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？
（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
解：
（I）甲、乙被抽到的概率均为且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”
10
相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为
111
p=—X—=.
1010100
（II）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.
故4+8+工+5=25,得工二5,
6+y+36+18=75,得y=15
频率分布直方图如下
从直方图可以判断：
B类工人中个体间的关异程度更小.
—48553
（ii）xA——x105Hx115Hx125Hx135Hx145—123,
'2525252525
&]AOZ：
1O
Z=—xll5+—xl25+—xl35+—xl45=133.8,
75757575
一2575
x=——X123+—xl33.8=131.1
100100
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123,133.8和131.1.
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