把区间S,如分成〃个小区间,各小区间的长度依次为AX.=Xi-Xi-yM=1,2,…),在各小区间上任取一点后(£6[x_!
x])>作乘积=1,2,.・・)并作和S= 记久=max{ATi,
虹1
仪,…,a,},如果不论对[a,b]怎样的分法,也不论在小区间[X...X]上点&怎样的取法,只要当4-0时,和S总趋于确定的极限/,我们称这个极限/为函数/(x)在区间[彩]上的定积分,记为
Cf(x)dx=I=limX/(5)皿
(1)
4 <=1
3. 无穷限的反常积分
设函数/(对在[a,+8)的任何有限子区间上可积,则">a,定积分口Sdx存在。
现把上限3看作变量,考虑积分上限的函数F(b)=fjMdx,则当b-+8时,F(b)可能有极限,也可能没有极限。
为了将这种情况以一般的数学形式表达出来,可借用定积分的记号,引入如下的形式记号:
睥町并把它称为/(x)在无穷区间S,+8)上的反常积分(improperintegral)o
设函数/(x)在(a,+00)的任何有限子区间上可积,如果极限对gdx存在,则称反常积分fjMdx收敛,并把此极限称为反常积分f?
Mdx的值,即有J^fMdx=nrnjT7(x)dxc如果上式表示的极限不存在,则称反常积分f?
Wdx发散。
类似可定义其他形式的反常积分。
二、结合电气学习定积分
电容器作为电气工程应用中的基本元件,具有存储电荷的功能。
对于具有定常电容值C的电容器,其两端所加电压与电容器所存储的电荷的关系为:
mq=Cvo当电容器存储的电荷发生变化时就意味着有电流流动。
从而i=岑。
由此可得电容器中电压与电流at
的基本关系式:
i=C半。
因此,电容器两端的电荷(电压)与电流at
的关系为微积分关系。
已知电荷(电压)变化规律时,通过微分运算,便可得到电流,反之,已知电流时,通过积分运算,可得到电荷(电压"给定时间内电荷(电压)的变化,可通过这段时间内对流过电容器的电流的定积分来求解。
对于定常电流,积分对应矩形面积,很容易计算,而对任意变化的电流,必须借助定积分理论的有关思路和方法进行求解。
一电容值为IOuF的电容器,初值为零,流过典型的整流后的电流(图2)时,求取其上电压的变化规律。
整流后的电流在半周期上的表达式为正弦函数:
»(0=Asin314r,其中A为电流幅值,这里设为100mA。
上述电容的基本电气量关系表明,电容器中累计的电荷量就是对电流积分,对应的就是电流曲线和横坐标在给定时间段的面积。
当起始时间为零,上限时间为变量t时,电荷为一上限函数。
得到电荷量后,电压只需除以常数C。
对于半周期之内,电压可通过下式得到:
v(t)=*/Asincordr=31.85(1—cos314z)(V)
(2)
对于半周期苴后的情景,蚓借助MATLAB进行数值计算。
图2流过电容器的电流曲线
电感是电气工程应用中的另一个基本元件,具有存储磁场能的作用。
对于具有定常电感值L的器件,其线圈所通过的电流与该电流所建立的磁链的关系为:
<P=Lio当电感中存储的磁链发生变化时就意味着有感应电动势产生。
从而v=摩。
由此可得电感元件中电压与电流的基本关系式:
v=£<。
因此,电感元件两端的磁at
链(电流)与电压的关系为微积分关系。
已知磁链(电流)变化规律时,通过微分运算,便可得到电压量,反之,已知电压量时.通过积分运算,可得到磁链(电流)。
给定时间内磁链(电流)的变化,可通过这段时间内对加在线圈上的电压的定积分来求解。
对于定常电压,积分对应矩形面积,很容易计算。
而对任意变化的电压,必须借助定积分理论的有关思路和方法进行求解。
超导线圈可被用做储能设备(SMES),在电气工程中具有广阔应用前景。
SMES中所存储的能量与电流的关系式为:
)因此,可通过调节SMES线圈中电流的大小,调节其储能的多少。
而电流的变化规律可通过对电压的定积分运算获得。
一电感值为1H的SMES线圈,初值为零,若加在其上的电压为典型的全波整流后的电压(图3)时,求取SMES^线圈中储能的变化规律。
整流后的电压在半周期上的表达式为正弦函数:
v(r)=Vsin314r,其中V为电压幅值,这里设为100V,
上述电感元件的基本电气量关系表明,电感中累计的磁链量就
图3加在电感线圈上的电压曲线
是对电压的积分,对应的就是电压曲线和横坐标在给定时间段的面积。
当起始时间为零,上限时间为变量t时,磁链为一上限函数,得到磁链量后,除以常数L便得到电流量,然后根据SMES储能关系式、uf得到储能的变化规律。
对于半周期之内,储能可通过下式得到:
£(/)=yZ,i2=2^/Vsincordr=0.05(1—cos314/)2(J)⑶对于半周期以后的情景,可借助MATLAB进行数值计算图4所示电路包括一个储能元件,称为一阶电路。
m开关k合上后,电容器开始充电。
充电电流的变化规律符合一阶电路中电流的变化规律,如F式所示:
i(t)= >0 (4)
即,i(t)依据指数规律衰减,+8时,电流衰减到零“因此,电容器中存储的电荷为电流的反常积分。
定义为:
=f=CE(\-e (5)
显然,该反常积分血敛,~+8,q=CE。
事实上,该一阶电路充电的最终结果必然是电容电压与电源电压相等。
通过电容器的电压电荷关系同样町以得到上述结论。
学生通过该示例,可对反常积分的实际应用有更具体的认识。
图4包含电容器件的一阶电路示例
三、电气工程应用示例在MATLAB中的实现
MATLAB是一种集数学计算、分析、可视化、算法开发与发布等于一体的软件平台,网通过MATLAB及相关工具箱,可以在统一的平台下完成相应的科学计算工作。
01984年mathwcrks公司推出以来,MATLAB已广泛应用于电气、自动化、汽车、电子、仪器仪表和通汛等领域与行业。
本文结合定积分在电气T.程中的实际应用,在simulink环境下建立相关模型,通过MATLAB仿真计算定积分。
图5为例1在MATLAB中建立的基于数学描述的模型,模型利用SineWave及Abs模块产生典型的整流后的电流,由Integrator模块对整流后的电流积分,通过增益Gain最终形成电容器两端的电压波形。
利用示波器Sspel观察波形。
SineWaveAbsIntegratorGain
图5例1在MATLAB中的仿真模型
设仿真时间为0.03秒,运行仿真模型.即图5所示的电路,通过积分模块计算后得到电容器两端的电压波形如图6所示。
通过对比可以发现,图6的波形与式
(2)的描述完全一致由于论文篇幅所限,学生自己也可自行将上一节中的其余两个示例在MATLAB中实现。
四、结论
本文针对电气「.程类学生学习定积分理论及其应用的实际需求,结合电气T.程的具体应用示例,展示了定积分的概念及其应用(下转第172页)
2
图2三相电压型桥式逆变电路仿真电路
(4) 在Measurements模块库中选择电流测景:
模块(CurrentMeasurement)和万用表模块(Multimeter),万用表模块中选择测量值分别为三相交流输出A相的相电压,A、B相间的线电压和A相的相电流3个测量参数。
(5) 在Simulink模型库中的信号与系统模块库中选择信号合成与信号分解模块,选择输入数量为6、输出数量为3;在仪器仪表模块库中选择示波器,在常用标签页选择坐标系数为4、仿真时间为0.0001s,在数据历史标签页中,勾选保存数据到工作区;在信号源模块库中选择6个脉冲发生器,设置参数分别为:
幅值IV、周期0.02s,脉冲宽度50%,相位依次延迟0.02/6so
(6) 设置仿真时长为0.08s,采用变步长算法“de23tb(stiff/TR-BDF2)求解,其他参数采用默认值。
三、仿真结果分析
仿真结果如图3所示,4个波形自上而下分别为三相交流输出A、B相间的线电压、A相的相电压、A相的相电流和输入直流侧的电流。
从波形可以看出,输出三相交流相电压和线电压均为阶梯波,周期为0.02s,相电流波形也不是正弦波,其形状和相位与负载有关,直流输入电流在0.02s内脉动6次。
可见仿真结果与课本结论一致。
Simulink提供的Powergui具有很强大的功能,利用Powergui可以
图3三相电压型桥式逆变电路仿真波形
(上接第166页)
图6电容器两端的电压波形
价值。
所给示例既有经典电路问题.又有电气领域的新技术。
所设
计的定积分问题及包括基本的普通定积分,又包括反常积分。
这对
图4输出线电压傅里叶分析
对输出的电压波形进行傅里叶分析。
双击Powergui中的FFT分析选项,选择分析的波形是A、B相间的线电压,基波频率为50Hz,起始时间设为0.02s.分析周期数为1个周期,显示方式采用柱状图,如图4所示。
其中,基波幅值为109.5V,与公式
(1)理论计算值1I0.3V误差很小,输出电压值含有5、7、11.13等6k±1次谐波,与理论一致,分析结果中含有的其他成分的谐波以及数据出现误差,是由于仿真元件不是绝对理想所致。
四、结语
通过以上具体的例子可以看出.用Simulink仿真电力电子电路非常方便、简单、快捷,只要在模块库找到对应的模块,然后正确地接线,再设置好每个模块的参数,最后运行仿真就可以得到结果。
在课堂讲授的过程中演示仿真,可使讲解变得生动、形象、直观,而且仿真与实验相比,不受时间、空间、物质条件限制的同时也更安全。
教师应鼓励学生在课后自行搭建电路进行模拟,学生在这个过程中,不仅加深对原理知识的掌握和锻炼了动手能力,还可以提高他们学习的兴趣和积极性,培养创造能力。
因此,将Simulink应用在课堂和课后都能起到很好的效果、
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(责任编辑:
刘丽娜)
调动电气类学生学习的积极性、加深对理论基础的理解.掌握数学方法的应用具有重要作用。
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(责任编辑:
刘丽娜)
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