企业退休职工养老金制度的改革 1.docx
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企业退休职工养老金制度的改革1
011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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2.
3.
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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企业退休职工养老金制度的改革
摘要：
本文研究的是企业退休职工养老金制度的改革问题，通过对问题背景及附件资料进行深入的分析，采用数据拟合、求平均值、图表等方法建立了相应的数学模型，得出各个问题较合理的结果。
对于问题一，先对未来中国经济发展和工资增长采取了经济预测，再采用多项式拟合的方法预测出从2011到2035年山东省的年平均工资（见表一）。
对于问题二，在已知的基础上，结合问题一的结论和附件2可以求出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比（见表三），又根据职工缴费指数的参考值和养老金的计算办法，考虑某职工自2000年起分别从30岁，40岁开始缴养老保险，一直到退休（55岁，60岁，65岁），建立了模型一，根据模型一计算出在这6种不同的情况下的养老金的替代率为%、%、%、%、%、%。
对于问题三，是在问题二的基础上，可以得出该职工30～55岁、30～60岁、30～65岁各年龄段缴纳的总金额分别为155940元、287268元、509676元；
再得出该职工从退休到75岁死亡，这段时间内每年领取的养老保险金额分别为：
11004元、24804元、60552元；
最后得该职工缴存的养老保险金与领取的养老保险金的差额（见表五、六、七）；
对于问题四，是在深入分析前三个问题的基础，给出了提高养老金增值率、采用多层次的企业养老统筹体系、深化改革等方案措施来实现既要达到目标替代率又要实现收支平衡的目的
经检验，各问题解决的结果较合理，所采取的错施对我国企业退休职工养老金制度的改革有一定的促进作用。
一、问题重述
基本情况：
养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。
我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。
这两个账户我们合称为养老保险基金。
退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。
养老金会随着社会平均工资的调整而调整。
如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。
个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。
近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。
我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。
现在我国养老保险改革正处于过渡期。
养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。
影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。
替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。
按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。
所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。
需解决的问题:
问题一：
对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
问题二：
根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。
如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。
问题三：
假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。
计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四：
如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。
请给出你的理由。
、
二、问题分析
问题一的分析：
我们对未来中国经济的发展和工资的增长的形式采取经济预测的形式，经济预测是在对一定时期的客观经济活动过程进行深入调查的基础上，运用各种科学的方法，对掌握的经济信息加以分析研究后，所写出的评估和预测未来经济活动发展状况及变化趋势的结果。
它是与未来有关的旨在减少不确定性对经济活动影响的一种经济分析。
它是对将来经济发展的科学认识活动。
经济预测不是靠经验、凭直觉的预言或猜测，而是以科学的理论和方法、可靠的资料、精密的计算及对客观规律性的认识所作出的分析和判断。
这样的预测是一种分析的程序，它可以重复地连续进行下去。
目的是为未来问题的经济决策服务。
为了提高决策的正确性，需要由预测提供有关未来的情报，使决策者增加对未来的了解，把不确定性或无知程度降到最低限度，并有可能从各种备选方案中作出最优决策。
根据附件一，我们采用多项式拟合的方法（如图一）建立模型一，预测出从2001年至2035年的山东省职工的年平均工资。
问题二的分析：
问题二是在问题一的基础上提出的，结合养老金计算公式，附件二中的数据，得出该企业自2000年从30岁缴纳保险金到退休（55岁，60岁，65岁）这三个年龄段退休时的养老金替代率。
问题三的分析：
问题三是在问题二的基础上将问题再次深化，预测某职工30岁到退休（55、60、65），到75岁死亡时养老金收支平衡状况，主要个人账户养老金储存及领取方法，计算出三个不同退役年龄段到死亡是缴、领基金的差额，从而预测出不同阶段下养老金收支平衡状况。
问题四的分析：
问题四是在前三个题得基础上要求给出既要达到目标替代率又要现实养老保险收支平衡的措施，其主要采用快、稳、缓三步方针来解决此问题。
三、问题假设
１．假设交保险费和养老费的时间分别为每月初和月末；
２．假设预期寿命时间即为领取养老金的最后月份；
３．银行的月利率不随时间的变化而变化；
４.假设计算出来的平均工资与实际的平均值比较吻合，其误差在允许的范围之内。
四、建立模型及求解
（一）符号说明：
————表示的是养老金的替代率
————表示的是养老金（单位：
元）；
————表示的是基础养老金（单位：
元）；
————表示的是个人账户养老金；（单位：
元）
————表示的是在岗职工月平均工资（单位：
元）；
————表示的是缴费年限；
————表示的是计发月数；
————表示平均计费指数；
————代表的是年份（例如：
1978年
为1,1979年
为2,…）
————代表个人账户储存总额（单位：
元）
M————代表每年领取养老金后个人账户养老金余额
————表示在岁时的预期年薪；
————表示年增长率；
————表示个人按工资缴费的比例
————表示退休时个人账户积累额的估计值；
————表示开始工作年龄；
————表示退休年龄；（）
（二）模型建立及求解
对问题的求解
经查阅资料我们知道中国未来经济发展随着经济全球化的影响，我国的经济呈多元化发展格局，经济不断持续增长，但由于我国基本养老保险体制建立较晚与西方发达国际相比存在很多制度上的缺陷，比如：
高替代率、高赡养率造成了基本养老保险的支出负担偏重；养老保险体制转轨带来沉重的转轨成本等。
另外，我国特有的社会经济体制下形成了退休年龄早、欠发达的金融市场下养老保险投资收益率低等问题，再加上老龄化社会的冲击，使得我国的基本养老保险平衡问题日益严峻。
针对这一现状，本文从以下几方面提出对策建议，期望随着我国养老保险制度的发展，推进我国基本老保险平衡的实现。
再由附件1：
山东省职工历年平均工资统计表：
年份
平均工资
年份
平均工资
1978
566
1995
5145
1979
632
1996
5809
1980
745
1997
6241
1981
755
1998
6854
1982
769
1999
7656
1983
789
2000
8772
1984
985
2001
10007
1985
1110
2002
11374
1986
1313
2003
12567
1987
1428
2004
14332
1988
1782
2005
16614
1989
1920
2006
19228
1990
2150
2007
22844
1991
2292
2008
26404
1992
2601
2009
29688
1993
3149
2010
32074
1994
4338
根据此附件，，我们运用多项式拟合的方法，对山东省职工1978至2010年的平均工资进行拟合（如图一）。
图一
由此图可得,山东省年平均工资的公式为：
代表的是年份，未了简化计算，1978年
取1代替，1979年
取2代替，以此类推，2011年
取34代替，由此可以得出2011年到2035年山东省职工的年平均工资的预测的结果为（表一）：
表一:
年份
年平均工资
年份
年平均工资
2011
37509
2024
177310
2012
42674
2025
197390
2013
48480
2026
219350
2014
55014
2027
243330
2015
62324
2028
269480
2016
70493
2029
297930
2017
79660
2030
328850
2018
89728
2031
362390
2019
100970
2032
398730
2020
113410
2033
438030
2021
127160
2034
480470
2022
142320
2035
526260
2023
159000
对问题二的求解：
该问题可以分解为两个问题进行综合求解，这两个问题分别是：
2009年该企业各年龄阶段职工工资与该企业平均工资之比和计算该企业各种情况下的养老金替代率。
首先解决第一个问题，在已知的基础之上，通过对问题二的分析并结合问题一的结论，可对问题二进行求解。
平均工资之比
首先，题目中已给出山东省某企业各年龄段工资分布表（如下）：
年龄段
月收入范围（元）
1000-
1499
1500-
1999
2000-
2499
2500-
2999
3000-
3499
3500-
3999
4000-
4999
5000-
8000
20-24岁职工数
74
165
26
16
1
0
0
0
25-29岁职工数
36
82
94
42
6
3
0
0
30-34岁职工数
0
32
83
95
24
6
2
0
35-39岁职工数
0
11
74
83
36
16
4
2
40-44岁职工数
0
0
43
86
55
21
13
3
45-49岁职工数
0
3
32
32
64
41
18
4
50-54岁职工数
0
7
23
29
44
21
8
3
55-59岁职工数
0
6
17
27
37
7
7
0
由于此表给出的是各年龄段月收入的范围，没有给出确切的月收入金额，所
以得求取各年龄段的平均工资，根据附表2：
2009年山东省该企业各年龄段职工工资可以求出20～24年龄阶段的平均工资为
Min（1000
74+1500
165+2000
26+2500
16+3000
1）
（74+165+26+16+1）
=
Max（1499
74+1999
165+2499
26+2999
16+3499
1）
（74+165+26+16+1）
=
则该企业工资的取值范围在元～元之间，平均工资为1726元。
同理可以得到其它年龄段的平均工资（如表二，单位：
元）
表二
年龄段
最大工资
最小工资
平均工资
20～24
1726
25～29
2076
30～34
2535
35～39
2752
40～44
3026
45～49
3268
50～54
3118
55～59
2980
企业平均工资
2580
由此还可得该企业平均工资为2580元，则2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比为表三：
表三
年龄段
职工的平均工资
企业的平均工资
职工工资与平均工资之比
20～24
1726
2580
25～29
2076
2580
30～34
2535
2580
35～39
2752
2580
40～44
3026
2580
45～49
3268
2580
50～54
3118
2580
55～59
2980
2580
其次解决第二个问题，根据职工缴费指数的参考值和养老金的计算办法，考虑某职工自2000年起分别从30岁，40岁开始缴养老保险，一直到退休（55岁，60岁，65岁），建立了模型一，根据模型一计算出在各种不同的情况下的养老金的替代率。
养老金的替代率
（1）根据养老金的计算办法和养老金的替代率得出模型一：
模型求解：
我们从附件一：
山东省平均工资统计表和附表二：
2009年山东省某企业各年龄段工资分布表中认为2009年的企业的平均工资和历年的平均工资的比值与其他年份的比值都相同，再根据问题一中的表一我们就能够求出2000年到2035年在岗职工的月平均工资（表四）
表四
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
职工月平均工资
726
870
988
1092
1246
1444
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
职工月平均工资
1671
1985
2295
2580
2787
3260
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
职工月平均工资
3708
4213
4781
5416
6126
6923
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
职工月平均工资
7798
8775
9856
11051
12368
13818
年份
2024
2025
2026
2027
2028
2029
职工月平均工资
15409
17154
19062
21146
23419
25891
年份
2030
2031
2032
2033
2034
2035
职工月平均工资
28578
31493
34615
37410
41755
45734
我们选用2009年各年龄段职工工资与企业平均工资之比的平均作为职工缴费指数值
即
（+++++++）=
有表四可以求出各个年龄段的职工月平均工资分别为5706、8595、12708、2441、3740、5705。
根据计发月数表将数据代入模型一，即可得出各年龄段的养老代替率分别为%、%、%、%、%、%。
对问题三的求解：
该问题可以分解为三个问题进行综合求解，这三个问题分别是：
（1）该职工30--55岁；30—60岁；30—65岁缴纳的养老保险总金额；
（2）该职工从退休到75岁死亡，这段时间内每年领取的养老保险金额；
（3）该职工缴存的养老保险金与领取的养老保险金的差额；
问题一求解：
根据利息理论可知，职工每个人按一定比例缴费到个人账户，达到退休年龄时，个人账户的积累值公式为：
其中：
表示在岁时的预期年薪；
表示年增长率；
表示个人按工资缴费的比例
表示退休时个人账户积累额的估计值；
表示开始工作年龄；
表示退休年龄；（）
经分析已知条件得：
，
，
，
分别取55、60、65
，在解决问题二养老金替代率时已预测出2000年到2035年职工的月平均工资（见表四），为了简化计算，假设该表中的每年的月平均工资乘以月份就是该职工N岁时预期年薪。
由此可得：
该职工30～55岁、30～60岁、30～65岁各年龄段缴纳的总金额分别为155940元、287268元、509676元。
问题二的求解
解决此问题需知该职工退休前缴纳的基金总额，各退休年龄段的领取养老金的计发月数。
而该职工退休前缴纳的基金总额在上述问题中已解决（30～55岁、30～60岁、30～65岁各年龄段缴纳的总金额分别为155940元、287268元、509676元），再由附件三中的表知退休年龄段的领取养老金的计发月数。
附件表：
个人账户养老金计发月数表
退休年龄
计发月数
退休年龄
计发月数
40
233
56
164
41
230
57
158
42
226
58
152
43
223
59
145
44
220
60
139
45
216
61
132
46
212
62
125
47
208
63
117
48
204
64
109
49
199
65
101
50
195
66
93
51
190
67
84
52
185
68
75
53
180
69
65
54
175
70
56
55
170
且有：
个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数
由此可得
55退休
60岁退休
65岁退休
总的缴费金额
155940
287268
509676
计发月数
170
139
101
月平均领取的养老金
917
2067
5046
年平均领取的养老金
11004
24808
60552
问题三的求解
经分析知：
每年领取养老金后的余额都有利息，为了计算简便，假设开始时总余额为A,领取养老金额为X，则就有
领取年份领取金额余额
1X（A-X）
2X（（A-X）
3X（（（A-X）-X）
┋┋┋
以此类推余额公式
（A-X）
（A-X）
++
得出模型二为：
代入数据得到各退休年龄段该职工缴存的养老保险金与领取的养老保险金的额
（见下表四、表五、表六最后一列）
综上可得问题三的结果为：
年龄
缴纳的总金额
领取的养老金
余额
155940
0
155940
55
0
91712=11004
149280
56
0
91712=11004
142430
57
0
91712=11004
135370
58
0
91712=11004
128090
59
0
91712=11004
120600
60
0
91712=11004
112890
61
0
91712=11004
104940
62
0
91712=11004
96753
63
0
91712=11004
88322
64
0
91712=11004
79637
65
0
91712=11004
70692
66
0
91712=11004
61479
67
0
91712=11004
51989
68
0
91712=11004
42215
69
0
91712=11004
32147
70
0
91712=11004
21777
71
0
91712=11004
11097
72
0
91712=11004
73
0
91712=11004
-11236
74
0
91712=11004
-22907
75
0
91712=11004
-34928
表五：
55—75岁缴纳及领取养老金的余额
由表五：
55—75岁缴纳及领取养老金的余额可以看出55岁退休，在75岁死亡时的养老基金国家补贴了22907元，在72岁时缴纳的养老保险基金与其领取的养老保险基金之间达到收支平衡。
表六：
60--75岁缴纳及领取养老金的余额
年龄
缴纳的金额
领取的养老金
余额
287268
0
287268
６０
0
2067
12=24804
270340
６１
0
2067
12=24804
252900
６２
0
2067
12=24804
234940
６３
0
2067
12=24804
216440
６４
0
2067
12=24804
197380
６５
0
2067
12=24804
177760
６６
0
2067
12=24804
157540
６７
0
2067
12=24804
136720
６８
0
2067
12=24804
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