企业退休职工养老金制度的改革.docx
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企业退休职工养老金制度的改革
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
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2.
3.
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年月日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
企业退休职工养老金改革的讨论
摘要
本文讨论的是未来中国经济发展，工资增长形势，职工年均工资替代率，保险金缺口与收支平衡情况的问题。
对于问题1，根据附件1，我们利用EXCEL软件画出1978—2010年年平均工资图（图像1），并对图像进行分析，年平均工资成指数增长模型。
利用MATLAB计算出年平均工资增长率0.141（附录1），计算出2011—2035职工年平均工资，画出2011—2035年年平均工资（图像2）。
接着从网上查找到一些中国经济增长数据，发现中国经济增长和年平均工资增长模式吻合，确定了模型1对年平均工资增长的假设合理，因此预测出2011—2035年山东省职工年平均工资，其结果如下表：
年份
年平均工资
（元）
年份
年平均工资
（元）
年份
年平均工资（元）
2011
37420
2020
122660
2029
402020
2012
42700
2021
139950
2030
458700
2013
48720
2022
159680
2031
523370
2014
55590
2023
182200
2032
597160
2015
63430
2024
207890
2033
681360
2016
72370
2025
237200
2034
777430
2017
82570
2026
270640
2035
887040
2018
94220
2027
308800
2019
107500
2028
352340
对于问题2，根据附件2，利用EXCEL计算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，即职工缴费指数的参考值（表1）。
建立养老金替代率模型
然后分将该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴纳养老保险，一直缴纳到退休（55岁，60岁，65岁），计算出各种情况下的养老金替代率为
对于问题3，建立收支平衡模型
，养老金的支出即为其退休后领养的养老金，养老保险基金为社会统筹基金账户加上个人工资账户:
对于问题3，在问题2的基础上，具体个人，计算出不同年龄退休时的养老保险金的缺口情况，并优化模型，使缴纳的与领取的养老金达到收支平衡。
解得X的值。
对于问题4，基于前面问题的模型，更进一步具体实际化，分析影响养老保险基金收支平行的因素，通过控制影响因素来控制养老金的收支平衡。
关键词：
养老金替代率收支平衡缴费指数
1.问题重述
养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。
我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，及企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。
退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。
影响养老金的保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。
替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。
按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%。
替代率越低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率越高，退休职工的生活就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。
所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段的工资分布情况，附件3是养老金的计算方法。
问题一：
对未来中国经济发展和工资的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
问题二：
根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。
如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工子2000年期分别从30岁、40岁开始交养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老保险替代率。
问题三：
假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴纳养老保险，一直缴纳到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。
计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四：
如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。
请给出你的理由。
2.问题分析
2.1针对问题1
问题1针对中国经济发展和工资增长趋势，由附件1可知1978—2010年山东省年平均工资，预测2011—2035年的山东省职工的年平均工资。
根据附件1，使用EXCEL画出1978—2010年年平均工资，建立模型，用MATLAB计算每年的工资增长率，进而求得年平均增长率，计算每年工资，预测未来中国经济发展和工资增长的形势，同样预测2011—2035年山东省职工的年平均工资。
2.2针对问题2
问题2针对替代率，根据附件2可得出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，即职工缴费指数，现需考虑该企业职工自2009年起分别从30岁、40岁开始交养老金保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）时的养老金替代率。
可知共有6种情况，三种为从30岁开始缴费直至55岁，60岁，65岁；三种为40岁开始缴费直至55岁，60岁，65岁。
由2009年该企业各个年龄段职工工资分布表，求得该企业的平均工资，进而求得各年龄段职工工资与该企业平均工资之比（即缴费指数见表2），假设山东省职工的年平均工资为山东省该企业的职工年平均工资。
根据附件3可知各年龄段的缴费指数=各年龄段职工工资
该企业平均工资，转换可得各年龄段职工工资=该企业平均工资
各年段的缴费指数，计算出各年龄段职工的工资，由于养老金要从职工个人工资中按8%的比例缴纳，从而计算出各年龄段职工个人缴纳额。
根据题目中3%的存储利率可以计算出个人账户储存额，由题中所给的公式计算得各种情况下的养老金替代率。
2.3针对问题3
由题可知，该职工自2000年起从30岁开始缴纳养老保险，一直缴纳到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。
计算养老保险基金的缺口情况，并算得该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
共分3种情况进行求解：
30岁开始缴纳分别至55岁，60岁，65岁退休。
由题知，养老保险基金=社会统筹基金账户+个人账户，分别计算三种情况下其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间的关系。
2.4针对问题4
既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，可以采取一些适当的措施，例如提高退休年龄
3.模型的假设与符号说明
3.1模型的假设
（1）：
公司工资制度没有剧烈变化；
（2）：
各职工一直在职，不发生跳槽或死亡情况；
（3）：
不考虑奖金；
（4）：
2000年时该职工恰好为30岁或40岁
3.2符号说明
4.模型建立与求解
4.1问题1的建立与求解
根据附件1中的数据，利用EXCEL软件对数据进行描点，画出散点图（图1）：
图1
通过对图像的分析，用MATLAB计算出各年份的平均工资增长率，继而求的1978—2010年的年平均工资增长率0.141（附录1），预测出2011—2035年的山东省职工的年平均工资。
年份
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
增长率
0.1166
0.1788
0.0134
0.0185
0.026
0.2484
0.1269
0.1829
年份
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
增长率
0.0876
0.2479
0.0774
0.1198
0.066
0.1348
0.2107
0.3776
年份
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
增长率
0.186
0.1291
0.0744
0.0982
0.117
0.1458
0.1408
0.1366
年份
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
增长率
0.1049
0.1404
0.1592
0.1573
0.188
0.1558
0.1244
0.0804
附录1
由EXCEL画出2011—2035年职工年平均工资：
图2
预测2011—2035年山东省职工年平均工资如下表格：
年份
年平均工资
（元）
年份
年平均工资
（元）
年份
年平均工资（元）
2011
37420
2020
122660
2029
402020
2012
42700
2021
139950
2030
458700
2013
48720
2022
159680
2031
523370
2014
55590
2023
182200
2032
597160
2015
63430
2024
207890
2033
681360
2016
72370
2025
237200
2034
777430
2017
82570
2026
270640
2035
887040
2018
94220
2027
308800
2019
107500
2028
352340
4.2问题2的求解
由附件2可知2009年山东省某企业各年龄段职工的工资，题目中要求考虑该企业职工自2000年起分别从30岁，40岁开始缴纳养老保险，一直缴纳到退休（55岁，60岁，65岁）的养老金替代率，由分析可知共有6种情况发生。
由职工缴费指数=各年龄段职工工资
平均工资，计算出各年龄段职工的缴费指数（附录2）
2009年山东某企业各年龄段工资分布表
年龄段
月收入范围（元）
1250
1750
2250
2750
3250
3750
4500
6500
总人数
总工资
平均工资
缴费指数
20-24岁职工数
74
165
26
16
1
0
0
0
282
486859
1726.5
0.6693
25-29岁职工数
36
82
94
42
6
3
0
0
263
546120
2076.5
0.8049
30-34岁职工数
0
32
83
95
24
6
2
0
242
613379
2535
0.9827
35-39岁职工数
0
11
74
83
36
16
4
2
226
621888
2752
1.0668
40-44岁职工数
0
0
43
86
55
21
13
3
221
668641
3025.5
1.1728
45-49岁职工数
0
3
32
32
64
41
18
4
194
633905
3267.6
1.2667
50-54岁职工数
0
7
23
29
44
21
8
3
135
420934
3118
1.2087
55-59岁职工数
0
6
17
27
37
7
7
0
101
300950
2979.7
1.1551
个人账户存储额以银行当时工笔的一年期存款利率计息，题中统一设定为3%，由
养老金=基础养老金+个人账户养老金，即：
;
由题中的：
基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）
2
，即：
；
个人账户养老金=个人账户储存额
，即：
；
本人指数化月平均缴费工资=全省上半年在岗职工月平均工资
，即：
则替代率：
若该职工2000年时为30岁、40岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），则有以下6种情况：
情况1：
从30岁开始缴纳，55岁退休，即在2020年退休；
退休时的养老金为2310元，退休前每月工资为14631元，替代率为：
14.6%；
情况2：
从30岁开始缴纳，60岁退休，即在2025年退休；
退休时的养老金为3302.8元，退休前每月工资为22992元，替代率为：
14.4%;
情况3：
从30岁开始缴纳，65岁缴纳，即在2030年退休;
退休时的养老金为5022元，退休前每月工资为34685元，替代率为：
14.5%；
如图：
30岁替代率
55岁
60岁
65岁
个人账户储存额
47700
57240
66780
个人养老金
291
412
661
基础养老金
1839
3044
4362
平均缴费指数
1.734
1.776
1.803
养老金
2130
3456
5023
替代率
0.146
0.15
0.145
情况4：
从40岁开始缴纳，55岁退休，即在2020年退休；
退休时的养老金为874元，退休前每月工资为5113元，替代率为：
17.1%；
情况5：
从40岁开始缴纳，60岁退休，即在2025年退休；
退休时的养老金为1481元，退休前每月工资为8881元，替代率为16.7%；
情况6：
从40岁开始缴纳，65岁退休，即在2030年退休；
退休时的养老金为2476.71元，退休前每一月工资为14631元，替代率为14.5%
如图：
40岁替代率
55岁
60岁
65岁
个人账户储存额
37980
50640
63300
个人养老金
232
364
627
基础养老金
642
1116
1839
平均缴费指数
1.555
1.667
1.734
养老金
874
1481
2466
替代率
0.171
0.167
0.169
4.3问题3的建立与求解
由题目知，该企业某职工自2000年起从30岁开始缴纳养老保险，一直缴纳到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。
假设该职工2000年时30岁开始缴纳，55岁退休，由问题2得出
所交的养老保险基金=每月工资
；
所领的养老金为=月领养老金
收支平衡
，即：
如图：
自2000年30岁交养老保险到退休至75岁死亡，养老金缺口情况（元）
退休年龄
55岁
60岁
65岁
缺口
463500
537264
-6516
当
＜0时，不存在养老保险的缺口情况；
当
＝0时，养老金的收支达到平衡；
当
＞0时，存在养老金的缺口问题。
计算该职工领取养老金到多少时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
则需另
=0，
此时得出
即该职工55岁退休时，领取养老金到57岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到平衡；
即该职工55岁退休时，领取养老金到57岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到平衡；
即该职工60岁退休时，领取养老金到62岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到平衡；
即该职工65岁退休时，领取养老金到100岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到平衡；如下表：
达到收支平衡的年龄
退休年龄
55
60
65
达到收支平衡的年龄
57
62
100
4.4问题4的建立与求解
由题可知，未来基金养老保险的目标替代率确定为58.5%，即替代率=58.5％=替代率=个人账户储存额÷计发月数+[（全省上年度在岗职工月平均工资+
）÷2×缴费年限×1%]/退休前每月的工资
共领的养老金=他所交的养老保险金
58.5%=替代率=养老金/退休前每月平均工资=职工工资*8%*12*养老金共交的年数+[（全省上年度在岗职工月平均工资+全省上年度在岗职工月平均工资*各年缴费指数之和/共交养老金的月数）÷2×缴费年限×1%]
由上面的公式可知：
替代率中的变量有：
职工工资；
养老金交的年数；
全省上年度的平均工资；
养老金中个人工资的提取比例
如果要维持养老保险基金收支平衡，并要达到目标替代率，可以通过该变职工工资、养老金交的年数、全省上年度的平均工资、养老金中个人工资的提取比例、社会统筹经的提取比例来实现。
5．模型的评价与推广
模型1：
在模型一中我们假设了平均在增长率不变，考虑到实际情况。
在中国从发展中国家向中等发达国家发展的过程中，社会平均工资应该是先增加当达到某个值后，趋于稳定一步说也就是增长率先增大后减小，而不是稳定不变。
因为我们假设了增长率稳定不变，所以得出的结果与实际出入较大。
为了使模型更准确我们建立了模型二。
模型二：
在模型二中我们运用了拟合模型，得出了与模型1相比较为准确的模拟结果。
下面详细介绍一下模型二
对于问题1：
我们首先运用附件1中已知的数据运用EXCEL模拟出了一个一元四次函数
（公式一）
接着我们又根据年份的连续性，运用模拟出的函数得出了2011-2035年山东省的年平均工资。
对于问题2：
我们运用附件二提出的已知条件，和从网上搜索到得个人储存额的计算方法做出必要的假设，得出了养老金和替代率。
对于问题3和4：
问题3和4是在问题二和问题一得基础上更进一步的延伸到个人，更详细的去计算养老金和替代率，以及养老金的发放问题。
通过已知条件和从网上搜索到得知识我们得到了一个替代率的平衡式如公式二
替代率=养老金/退休前每月平均工资=职工工资*8%*12*养老金共交的年数+[（全省上年度在岗职工月平均工资+全省上年度在岗职工月平均工资*各年缴费指数之和/共交养老金的月数）÷2×缴费年限×1%]
（公式二）
根据平衡式我们找出了变量。
所以当我们解决问题4时就可以通过变量的调整来控制从而得出使养老金收支平衡的方法
参考文献
www.baidu,com
附录
模型1问题1程序
A=[566632745755769789985111013131428178219202150229226013149433851455809624168547656877210007113741256714332166141922822844264042968832074];
Y=A（i+1）-A（i）/A（i）;
S=sum（Y）/33
模型2问题1的程序：
fors=1:
58
y=0.0713*s^4-2.9*s^3+57*s^2-304*s+1058
end
问题二的程序：
1.30-55岁的缴费指数之和：
A=[87721000711374125671433216614192282284426404296883207437913429004844054577613568822770268601795847106570118240130920144650159520175570]；
y=159./A；
S=sum（y）
2.30-60岁的缴费指数之和：
B=[877210007113741256714332166141922822844264042968832074379134290048440545776135568822770268601795847106570118240130920144650159520175570192870211483231480252930275910]
C=159/B；
D=sum（C）
3.30-65岁的缴费指数之和：
H=[877210007113741256714332166141922822844264042968832074379134290048440545776135568822770268601795847106570118240130920144650159520175570192870211483231480252930275910300480326720354700384510416220];
V=159/H；
X=sum（V）
4.40-55岁的缴费指数之和：
D=[8772100071137412567143321661419228228442640429688320743791342900484405457761355];
S=211/D；
C=sum（S）
5.40-60岁的缴费指数之和：
Z=[877210007113741256714332166141922822844264042968832074379134290048440545776135568822770268601795847106570];
X=211/Z;
V=sum（X）
40-65岁的缴费指数之和：
Q=[877210007
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