DSP实验1有限长序列频谱DFT的性质.docx
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DSP实验1有限长序列频谱DFT的性质
DSP实验1：
有限长序列、频谱、DFT的性质
课程名称：
数字信号处理实验名称：
有限长序列、频谱、DFT的性质
一、实验目的和要求
设计通过演示实验，建立对典型信号及其频谱的直观认识，理解DFT的物理意义、主要性质。
二、实验内容和步骤
2-1用MATLAB，计算得到五种共9个序列：
2-1-1实指数序列
例如，a=0.5,length=10
a=0.9,length=10
a=0.9,length=20
2-1-2复指数序列
例如，a=0.5,b=0.8,length=10
2-1-3从正弦信号x（t）=sin（2πft+delta）抽样得到的正弦序列x（n）=sin（2πfnT+delta）。
如，信号频率f=1Hz，初始相位delta=0，抽样间隔T=0.1秒，序列长length=10。
2-1-4从余弦信号x（t）=cos（2πft+delta）抽样得到的余弦序列x（n）=cos（2πfnT+delta）。
如，信号频率f=1Hz，初相位delta=0，抽样间隔T=0.1秒，序列长length=10。
2-1-5含两个频率分量的复合函数序列x（n）=sin（2πf1nT）+delta×sin（2πf2nT+phi）。
如，
频率f1
（Hz）
频率f2
（Hz）
相对振幅
delta
初相位phi
（度）
抽样间隔T
（秒）
序列长
length
1
3
0.5
0
0.1
10
1
3
0.5
90
0.1
10
1
3
0.5
180
0.1
10
2-2用MATLAB，对上述各个序列，重复下列过程。
2-2-1画出一个序列的实部、虚部、模、相角；观察并记录实部、虚部、模、相角的特征。
2-2-2计算该序列的幅度谱、频谱实部、频谱虚部；观察和并记录它们的特征，给予解释。
2-2-3观察同种序列取不同参数时的频谱，发现它们的差异，给予解释。
三、主要仪器设备
MATLAB编程。
四、操作方法和实验步骤
（参见“二、实验内容和步骤”）
五、实验数据记录和处理
1.实指数序列
1-1.a=0.5,length=10
clc;clf;clear;%清除
n=0:
9;%设置自变量区间
xn=0.5.^n;%计算相应的x（n）
k=0:
9;%设置DFT采样长度
xw=dftmtx（10）*xn';%DFT变换
figure
（1）;%画出原序列的实部、虚部、模、相角
subplot（2,2,1）;stem（n,real（xn）,'filled'）;xlabel（'x'）;ylabel（'real（xn）'）;title（'xn实部'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,imag（xn）,'filled'）;xlabel（'x'）;ylabel（'imag（xn）'）;title（'xn虚部'）;
subplot（2,2,3）;stem（n,abs（xn）,'filled'）;xlabel（'x'）;ylabel（'abs（xn）'）;title（'xn模'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,angle（xn）,'filled'）;xlabel（'x'）;ylabel（'angle（xn）'）;title（'xn相角'）;
figure
（2）;%画出频谱的幅度谱、频谱实部、频谱虚部
subplot（3,1,1）;stem（k,abs（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'abs（xw）'）;title（'幅度谱'）;
subplot（3,1,2）;stem（k,real（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'real（xw）'）;title（'频谱实部'）;
subplot（3,1,3）;stem（k,imag（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'imag（xw）'）;title（'频谱虚部'）;
1-2.a=0.9,length=10
clc;clf;clear;%清除
n=0:
9;%设置自变量区间
xn=（0.9）.^n;%计算相应的x（n）
k=0:
9;%设置DFT采样长度
xw=dftmtx（10）*xn';%DFT变换
figure
（1）;%画出原序列的实部、虚部、模、相角
subplot（2,2,1）;stem（n,real（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'real（xn）'）;title（'xn实部'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,imag（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'imag（xn）'）;title（'xn虚部'）;
subplot（2,2,3）;stem（n,abs（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'abs（xn）'）;title（'xn模'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,angle（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'angle（xn）'）;title（'xn相角'）;
figure
（2）;%画出频谱的幅度谱、频谱实部、频谱虚部
subplot（3,1,1）;stem（k,abs（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'abs（xw）'）;title（'幅度谱'）;
subplot（3,1,2）;stem（k,real（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'real（xw）'）;title（'频谱实部'）;
subplot（3,1,3）;stem（k,imag（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'imag（xw）'）;title（'频谱虚部'）;
1-3.a=0.9,length=20
clc;clf;clear;%清除
n=0:
19;%设置自变量区间
xn=（0.9）.^n;%计算相应的x（n）
k=0:
19;%设置DFT的采样长度
xw=dftmtx（20）*xn';%DFT变换
figure
（1）;%画出原序列的实部、虚部、模、相角
subplot（2,2,1）;stem（n,real（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'real（xn）'）;title（'xn实部'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,imag（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'imag（xn）'）;title（'xn虚部'）;
subplot（2,2,3）;stem（n,abs（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'abs（xn）'）;title（'xn模'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,angle（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'angle（xn）'）;title（'xn相角'）;
figure
（2）;%画出频谱的幅度谱、频谱实部、频谱虚部
subplot（3,1,1）;stem（k,abs（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'abs（xw）'）;title（'幅度谱'）;
subplot（3,1,2）;stem（k,real（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'real（xw）'）;title（'频谱实部'）;
subplot（3,1,3）;stem（k,imag（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'imag（xw）'）;title（'频谱虚部'）;
2.复指数序列
a=0.5,b=0.8,length=10
clc;clf;clear;%清除
n=0:
9;%设置自变量区间
xn=（0.5+1j*0.8）.^n;%计算相应的x（n）
k=0:
9;%设置DFT的采样长度
xw=dftmtx（10）*xn';%DFT变换
figure
（1）;%画出原序列的实部、虚部、模、相角
subplot（2,2,1）;stem（n,real（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'real（xn）'）;title（'xn实部'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,imag（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'imag（xn）'）;title（'xn虚部'）;
subplot（2,2,3）;stem（n,abs（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'abs（xn）'）;title（'xn模'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,angle（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'angle（xn）'）;title（'xn相角'）;
figure
（2）;%画出频谱的幅度谱、频谱实部、频谱虚部
subplot（3,1,1）;stem（k,abs（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'abs（xw）'）;title（'幅度谱'）;
subplot（3,1,2）;stem（k,real（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'real（xw）'）;title（'频谱实部'）;
subplot（3,1,3）;stem（k,imag（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'imag（xw）'）;title（'频谱虚部'）;
3.从正弦信号x（t）=sin（2πft+delta）抽样得到的正弦序列x（n）=sin（2πfnT+delta）。
如，信号频率f=1Hz，初始相位delta=0，抽样间隔T=0.1秒，序列长length=10。
clc;clf;clear;%清除
n=0:
9;%设置自变量区间
计算相应的x（n）
k=0:
9;%设置DFT的采样长度
xw=dftmtx（10）*xn';%DFT变换
figure
（1）;%画出原序列的实部、虚部、模、相角
subplot（2,2,1）;stem（n,real（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'real（xn）'）;title（'xn实部'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,imag（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'imag（xn）'）;title（'xn虚部'）;
subplot（2,2,3）;stem（n,abs（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'abs（xn）'）;title（'xn模'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,angle（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'angle（xn）'）;title（'xn相角'）;
figure
（2）;%画出频谱的幅度谱、频谱实部、频谱虚部
subplot（3,1,1）;stem（k,abs（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'abs（xw）'）;title（'幅度谱'）;
subplot（3,1,2）;stem（k,real（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'real（xw）'）;title（'频谱实部'）;
subplot（3,1,3）;stem（k,imag（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'imag（xw）'）;title（'频谱虚部'）;
4.从余弦信号x（t）=cos（2πft+delta）抽样得到的余弦序列x（n）=cos（2πfnT+delta）。
如，信号频率f=1Hz，初相位delta=0，抽样间隔T=0.1秒，序列长length=10。
clc;clf;clear;%清除
n=0:
9;%设置自变量区间
计算相应的x（n）
k=0:
9;%设置DFT的采样长度
xw=dftmtx（10）*xn';%DFT变换
figure
（1）;%画出原序列的实部、虚部、模、相角
subplot（2,2,1）;stem（n,real（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'real（xn）'）;title（'xn实部'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,imag（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'imag（xn）'）;title（'xn虚部'）;
subplot（2,2,3）;stem（n,abs（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'abs（xn）'）;title（'xn模'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,angle（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'angle（xn）'）;title（'xn相角'）;
figure
（2）;%画出频谱的幅度谱、频谱实部、频谱虚部
subplot（3,1,1）;stem（k,abs（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'abs（xw）'）;title（'幅度谱'）;
subplot（3,1,2）;stem（k,real（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'real（xw）'）;title（'频谱实部'）;
subplot（3,1,3）;stem（k,imag（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'imag（xw）'）;title（'频谱虚部'）;
5.含两个频率分量的复合函数序列x（n）=sin（2πf1nT）+delta×sin（2πf2nT+phi）。
5-1.phi=0度
clc;clf;clear;%清除
n=0:
9;%设置自变量区间
计算相应的x（n）
k=0:
9;%设置DFT的采样长度
xw=dftmtx（10）*xn';%DFT变换
figure
（1）;%画出原序列的实部、虚部、模、相角
subplot（2,2,1）;stem（n,real（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'real（xn）'）;title（'xn实部'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,imag（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'imag（xn）'）;title（'xn虚部'）;
subplot（2,2,3）;stem（n,abs（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'abs（xn）'）;title（'xn模'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,angle（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'angle（xn）'）;title（'xn相角'）;
figure
（2）;%画出频谱的幅度谱、频谱实部、频谱虚部
subplot（3,1,1）;stem（k,abs（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'abs（xw）'）;title（'幅度谱'）;
subplot（3,1,2）;stem（k,real（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'real（xw）'）;title（'频谱实部'）;
subplot（3,1,3）;stem（k,imag（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'imag（xw）'）;title（'频谱虚部'）;
5-2.phi=90度
clc;clf;clear;%清除
n=0:
9;%设置自变量区间
计算相应的x（n）
k=0:
9;%设置DFT的采样长度
xw=dftmtx（10）*xn';%DFT变换
figure
（1）;%画出原序列的实部、虚部、模、相角
subplot（2,2,1）;stem（n,real（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'real（xn）'）;title（'xn实部'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,imag（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'imag（xn）'）;title（'xn虚部'）;
subplot（2,2,3）;stem（n,abs（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'abs（xn）'）;title（'xn模'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,angle（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'angle（xn）'）;title（'xn相角'）;
figure
（2）;%画出频谱的幅度谱、频谱实部、频谱虚部
subplot（3,1,1）;stem（k,abs（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'abs（xw）'）;title（'幅度谱'）;
subplot（3,1,2）;stem（k,real（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'real（xw）'）;title（'频谱实部'）;
subplot（3,1,3）;stem（k,imag（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'imag（xw）'）;title（'频谱虚部'）;
5-3.phi=180度
clc;clf;clear;%清除
n=0:
9;%设置自变量区间
计算相应的x（n）
k=0:
9;%设置DFT的采样长度
xw=dftmtx（10）*xn';%进行DFT变换得到频谱
figure
（1）;%画出原序列的实部、虚部、模、相角
subplot（2,2,1）;stem（n,real（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'real（xn）'）;title（'xn实部'）;
subplot（2,2,2）;stem（n,imag（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'imag（xn）'）;title（'xn虚部'）;
subplot（2,2,3）;stem（n,abs（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'abs（xn）'）;title（'xn模'）;
subplot（2,2,4）;stem（n,angle（xn）,'filled'）;xlabel（'n'）;ylabel（'angle（xn）'）;title（'xn相角'）;
figure
（2）;%画出频谱的幅度谱、频谱实部、频谱虚部
subplot（3,1,1）;stem（k,abs（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'abs（xw）'）;title（'幅度谱'）;
subplot（3,1,2）;stem（k,real（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'real（xw）'）;title（'频谱实部'）;
subplot（3,1,3）;stem（k,imag（xw）,'filled'）;xlabel（'k'）;ylabel（'imag（xw）'）;title（'频谱虚部'）;
六、实验结果与分析
6-1.各序列的图形及解释
1-1.a=0.5,length=10
1-2.a=0.9,length=10
1-3.a=0.9,length=20
【分析】这三个序列都为正的实序列，因此，原序列的的虚部为0，相角也为0。
而从DFT的频谱结果可
以发现，频谱实部为偶对称，虚部为奇对称。
通过对比三个序列的频谱可得，当a趋向于1时，频谱越集中在0处，即直流分量。
因为当a越接近1，变化越慢，频率为0出的频谱值也就越大。
另外，当n变大时，抽样越接近于真实的频谱序列。
2.复指数序列
a=0.5,b=0.8,length=10
【分析】该序列为复指数序列，序列本身不具有对称性。
其频谱也并不具有对称性。
3.正弦信号x（n）=sin（2πfnT+delta），T=0.1秒，序列长length=10delta=0f=1Hz
【分析】这个序列是正弦函数经过采样后的序列，采样周期为0.1s。
该序列为实序列，并且奇对称，虚部为0。
相角在xn为正时为0，在xn为负时为pi。
因为其序列的对称性，其频谱的实部理论应该为0。
实际观察看出是接近0而不完全是0，这与MATLAB计算时采用离散值有关。
另外，频谱的虚部为奇对称，符合理论规律。
谱线出现在H=1Hz的地方，与原序列的频率吻合。
4.余弦信号x（n）=cos（2πfnT+delta）
f=1Hzdelta=0T=0.1秒序列长length=10
【分析】该序列为偶对称的实序列，虚部为0。
相角与上一个sin函数一致，xn为正时为0，负时为pi。
频谱的实部为偶对称，而虚部理论为0，实际是趋向于0，理由与上一题一致。
5.含两个频率分量的复合函数序列x（n）=sin（2πf1nT）+delta×sin（2πf2nT+phi）
F1=1Hzf2=3Hzdelta=0.5T=0.1slength=10
5-1.phi=0度
5-2.phi=90度
5-3.phi=180度
【分析】这三个序列为两个实序列的结合。
当phi=0以及phi=0.5pi时，序列为奇对称的实序列，虚部为0。
因此，频谱的实部趋向于0，而虚部奇对称。
谱线出现在1Hz与3Hz处，验证的DFT的线性性质。
当phi=0.5pi时，序列并没有对称性，因此频谱没有对称性，也不为0。
6-2.DFT、X（0）、X
（1）、X（N-1）的物理意义
DFT是序列傅里叶变换的等距采样，也是其Z变换在单位元上的等距采样，可以用于序列的频谱分析。
DFT包含了N个离散点出的DTFT结果，分布在0-2pi内。
X（0）的物理意义：
信号直流分量的频谱值。
X
（1）的物理意义：
信号在基频出的幅度与相位。
X（N-1）的物理意义：
信号在N次谐波处的幅度与相位。
6-3.DFT的性质
1）线性：
两个有限长序列x1n和x2n，长度均为N，其N点DFT结果分别为X1k和X2k，如果序列x1n和x2n的线性组合为：
x3n=ax1n+bx2n，则序列x3n的N点DFT为：
X3k=aX1k+bX2k，式中，a、b为任意常数。
2）
帕斯瓦尔定理：
。
3）反转定理：
若xn的DFT结果为Xk，则x（（-n））N的DFT结果为X（（-k））N。
4）序列的循环移位：
若xn的DFT结果为Xk，那么x（（n+m））N的DFT结果为WN-kmXk。
5）对偶性：
把离散谱序列进行DFT，结果是原时域序列反褶的N倍；如果原序列具有偶对称性，则DFT结果是原时域序列的N倍。
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