新教材学年人教A版数学必修第二册教师用书第8章 81 第1课时 棱柱棱锥棱台的结构特征.docx

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新教材学年人教A版数学必修第二册教师用书第8章81第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征

8.1　基本立体图形

第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

学习目标

核心素养

1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．（重点）

2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．（难点）

3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．（易混点）

通过空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的核心素养.

1．空间几何体

类别

多面体

旋转体

定义

一般地，由若干个平面多边形围成的几何体

一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体

图形

2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

（1）棱柱的结构特征

定义

一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

图示及相关概念

底面：

两个互相平行的面；

侧面：

底面以外的其余各面；

侧棱：

相邻侧面的公共边；

顶点：

侧面与底面的公共顶点

分类

按底面多边形的边数分：

三棱柱，四棱柱，…

思考1：

棱柱的侧面一定是平行四边形吗？

[提示]　根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一定是平行四边形．

（2）棱柱的分类

直棱柱：

侧棱垂直于底面的棱柱．

斜棱柱：

侧棱不垂直于底面的棱柱．

正棱柱：

底面是正多边形的直棱柱．

平行六面体：

底面是平行四边形的四棱柱．

（3）棱锥的结构特征

定义

有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

图示及相关概念

底面：

多边形面；

侧面：

有公共顶点的各三角形面；

侧棱：

相邻侧面的公共边；

顶点：

各侧面的公共顶点

分类

按底面多边形的边数分：

三棱锥，四棱锥，…，其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥

思考2：

有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？

[提示]　不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．

（4）棱台的结构特征

定义

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台

图示及相关概念

上底面：

原棱锥的截面；

下底面：

原棱锥的底面；

侧面：

除上下底面以外的面；

侧棱：

相邻侧面的公共边；

顶点：

侧面与上（下）底面的公共顶点

分类

由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、…

思考3：

棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？

[提示]　根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．

1．在三棱锥ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为（　　）

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

D　[每个三角形都可以作为底面．]

2．下面说法中，正确的是（　　）

A．上下两个底面平行且是相似的四边形的几何体是四棱台

B．棱台的所有侧面都是梯形

C．棱台的侧棱长必相等

D．棱台的上下底面可能不是相似图形

B　[由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．]

3．下面属于多面体的是（填序号）．

①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．

①②　[①②属于多面体，③④属于旋转体．]

棱柱的结构特征

【例1】　

（1）下列命题中，正确的是（　　）

A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形

（2）如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1.

①这个长方体是棱柱吗？

如果是，是几棱柱？

为什么？

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？

若是，请指出它们的底面．

（1）D　[由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：

①　　　②　　　　③　　

图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错，故选D.]

（2）[解]　①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1MCC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1DCND1.

有关棱柱结构特征问题的解题策略：

（1）有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：

①两个面互相平行；

②其余各面是四边形；

③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．

（2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．

1．下列关于棱柱的说法错误的是（　　）

A．所有棱柱的两个底面都平行

B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行

C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D．棱柱至少有五个面

C　[对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．]

棱锥、棱台的结构特征

【例2】　

（1）下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②棱锥的侧面只能是三角形；

③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中正确说法的序号是．

（2）判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？

（1）①②③　[①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]

（2）[解]　①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．

关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：

（1）举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

（2）直接法

棱锥

棱台

定底面

只有一个面是多边形，此面即为底面

两个互相平行的面，即为底面

看侧棱

相交于一点

延长后相交于一点

2．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是（　　）

A．①是棱台　　　　　B．②是圆台

C．③是棱锥D．④不是棱柱

C　[图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台；图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中的几何体是棱锥．图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C.]

多面体的表面展开图

[探究问题]

1．棱柱的侧面展开图是什么图形？

正方体的表面展开图又是怎样的？

[提示]　棱柱的侧面展开图是平行四边形；正方体的表面展开图如图：

2．棱台的侧面展开图又是什么样的？

[提示]　棱台的侧面展开图是多个相连的梯形．

【例3】　

（1）某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（对面是相同的图案）（　　）

（2）如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？

[思路探究]　

（1）正方体的平面展开图⇒以其中一个面不动把其他面展开．

（2）常见几何体的定义与结构特征⇒空间想象或动手制作平面展开图进行实践．

（1）A　[由选项验证可知选A.]

（2）[解]　图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示：

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．

1.将本例

（1）中改为：

水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（　　）

A．1　　　　B．6　　　　C．快　　　　D．乐

B　[将图形折成正方体知选B.]

2．将本例

（2）的条件改为：

一个几何体的平面展开图如图所示．

（1）该几何体是哪种几何体？

（2）该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？

“你”字面相对的是哪个面？

[解]　

（1）该几何体是四棱台．

（2）与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．

多面体展开图问题的解题策略

（1）绘制展开图：

绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

（2）由展开图复原几何体：

若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．

1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．

2．棱柱、棱台、棱锥关系图

1．判断正误

（1）棱柱的侧面都是平行四边形．（　　）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．（　　）

（3）用一平面去截棱锥底面和截面之间的部分叫棱台．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×

2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（　　）

A．四棱柱　　　　B．四棱锥

C．三棱柱D．三棱锥

D　[根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]

3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（　　）

A　　　　B　　　　C　　　　　D

D　[A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．]

4．一个棱柱至少有个面，顶点最少的一个棱台有条侧棱．

5　3　[面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．]

5．画一个三棱台，再把它分成：

（1）一个三棱柱和另一个多面体；

（2）三个三棱锥，并用字母表示．

[解]　画三棱台一定要利用三棱锥．

（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，另一个多面体是B′C′CBB″C″.

（2）如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，

B′A′BC，C′A′B′C.

①　　　　　　　②