步步高《单元滚动检测卷》高考数学文京津地区精练五平面向量.docx

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步步高《单元滚动检测卷》高考数学文京津地区精练五平面向量

高三单元滚动检测卷·数学

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间120分钟，满分150分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

单元检测五　平面向量

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2015·宜昌一中模拟）已知向量a＝（4,2），向量b＝（x,3），且a平行b，则x等于（　　）

A．9B．6

C．5D．3

2．已知向量a＝（1,2），b＝（0,1），c＝（k，－2），若（a＋2b）⊥c，则k等于（　　）

A．2B．－2

C．8D．－8

3．（2015·南昌调研）设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝（a－1）e1＋e2，＝be1－2e2（a>0，b>0），若A，B，C三点共线，则ab的最大值是（　　）

A.B.

C.D.

4．（2015·资阳模拟）已知a，b为平面向量，若a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，则等于（　　）

A.B.

C.D.

5．（2015·安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是（　　）

A．|b|＝1B．a⊥b

C．a·b＝1D．（4a＋b）⊥

6．向量＝（4，－3），向量＝（2，－4），则△ABC的形状为（　　）

A．等腰非直角三角形B．等边三角形

C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形

7．（2015·芜湖模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.AC＝3，BC＝4，P为线段AB上的点，且＝x·＋y·，则xy的最大值为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

8．如图为函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0）的部分图象，B，C分别为图象的最高点和最低点，若·＝||2，则ω等于（　　）

A.B.

C.D.

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）

9．（2014·四川改编）平面向量a＝（1,2），b＝（4,2），c＝ma＋b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.

10.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

11．（2015·开封高级中学检测）已知向量＝（3，－1），＝（0,2），若·＝0，＝λ，则实数λ的值为________．

12．（2015·攸县一中模拟）若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.

13.如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则（＋）·（＋）＝________.

14．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（13分）已知向量a＝（sinθ，cosθ－2sinθ），b＝（1,2）．

（1）若a∥b，求tanθ的值；

（2）若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

16．（13分）（2015·惠州二调）设向量a＝（sinx，sinx），b＝（cosx，sinx），x∈[0，]．

（1）若|a|＝|b|，求x的值；

（2）设函数f（x）＝a·b，求f（x）的最大值．

17.（13分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1,1），B（2,3），C（3,2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且＝m＋n（m，n∈R）．

（1）若m＝n＝，求||；

（2）用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

18．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin（A－B）sinB＋cos（A＋C）＝－.

（1）求cosA的值；

（2）若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．

19.（14分）（2015·德州高三期末）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（sinA,1），n＝（cosA，），且m∥n.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．

20．（14分）（2015·河南天一大联考）已知向量m＝，n＝，记f（x）＝m·n.

（1）若f（α）＝，求cos的值；

（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）－k在上有零点，求实数k的取值范围．

答案解析

1．B　[由题意得4×3－2x＝0得到x＝6，故选B.]

2．C　[因为a＝（1,2），b＝（0,1），所以a＋2b＝（1,4），又（a＋2b）⊥c，c＝（k，－2），所以（a＋2b）·c＝0⇒k－8＝0⇒k＝8，故选C.]

3．B　[若A，B，C三点共线，则＝λ，

∴（a－1）e1＋e2＝λ（be1－2e2），

即∴b＝2－2a.

∴ab＝a（2－2a）＝2a（1－a）≤＝，

当且仅当a＝，b＝1时，（ab）max＝.]

4．D　[如图所示．

在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，

＝a＋b，∠BAC＝，∠DAC＝∠ACB＝.

在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝.

故选D.]

5．D　[在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以（4a＋b）·＝（4a＋b）·b＝4a·b＋|b|2＝4×（－1）＋4＝0，所以（4a＋b）⊥，故选D.]

6．C　[∵＝（4，－3），＝（2，－4），

∴＝－＝（－2，－1），

∴·＝（2,1）·（－2,4）＝0，

∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.

∴△ABC是直角非等腰三角形．]

7．C　[＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ（0≤λ≤1），又＝＋，

∴

∴xy＝12（1－λ）λ＝－122＋3≤3，当且仅当λ＝时取“＝”，∴xy的最大值是3.故选C.]

8．C　[由题意知||＝2||，由·＝||2知－||·||cos∠ABC＝||2，得cos∠ABC＝－，则∠ABC＝120°，过B作BD垂直于x轴于D，则||＝3，所以＝3，则T＝12，ω＝＝，故选C.]

9．2

解析　c＝ma＋b＝（m＋4,2m＋2），

由题意知＝，

即

＝，

即5m＋8＝，

解得m＝2.

10．2

解析　∵O是BC的中点，∴＝（＋）．

又∵＝m，＝n，

∴＝＋.

∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.

11．2

解析　设＝（x，y），∵＝（－3,3），

∴由向量的运算可知，

·＝－3x＋3y＝0，

∴x＝y，＝（x－3，y＋1）

＝λ＝（0,2λ），

∴　∴λ＝2.

12．－

解析　·＝（－）·（－）

＝（－）·（－）

＝·－（）2－（）2＝－.

13．5

解析　由于＝＋，＝＋，

所以＋＝＋＋＋

＝－.

（＋）·（＋）＝（－）·（＋）

＝||2－||2＝9－4＝5.

14．5

解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝m，P（0，t）（t∈[0，m]），由题意可知，A（2,0），B（1，m），所以＝（2，－t），＝（1，m－t），＋3＝（5,3m－4t），所以|＋3|＝≥5，当且仅当t＝m时取等号，故|＋3|的最小值为5.

15．解　

（1）因为a∥b，

所以2sinθ＝cosθ－2sinθ.

于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.

（2）由|a|＝|b|知，

sin2θ＋（cosθ－2sinθ）2＝12＋22，

所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.

从而－2sin2θ＋2（1－cos2θ）＝4，

即sin2θ＋cos2θ＝－1，

于是sin（2θ＋）＝－.

又由0<θ<π知，<2θ＋<，

所以2θ＋＝或2θ＋＝.

所以θ＝或θ＝.

16．解　

（1）由|a|＝＝2，

|b|＝＝1，

及|a|＝|b|，得sin2x＝.

又x∈[0，]，从而sinx＝，所以x＝.

（2）f（x）＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x

＝sin2x－cos2x＋＝sin（2x－）＋.

当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，所以当2x－＝，即x＝时，sin（2x－）取得最大值1，所以f（x）的最大值为.

17．解　

（1）∵m＝n＝，＝（1,2），＝（2,1），

∴＝（1,2）＋（2,1）＝（2,2），

∴||＝＝2.

（2）∵＝m（1,2）＋n（2,1）＝（m＋2n,2m＋n），

∴

两式相减，得m－n＝y－x.

令y－x＝t，由图知，

当直线y＝x＋t过点B（2,3）时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.

18．解　

（1）由2cos2cosB－sin（A－B）sinB＋cos（A＋C）＝－，

得[cos（A－B）＋1]cosB－sin（A－B）sinB－cosB

＝－，

∴cos（A－B）cosB－sin（A－B）sinB＝－，

∴cos（A－B＋B）＝－，

即cosA＝－.

（2）由cosA＝－，0

由正弦定理，有＝，

所以sinB＝＝.

由题意知a>b，则A>B，故B＝.

根据余弦定理，有（4）2＝52＋c2－2×5c×（－），

解得c＝1或c＝－7（舍去）．

故向量在方向上的投影为||cosB＝.

19．解　

（1）根据m∥n，可得到tanA＝.

注意到A∈（0，π），得到A＝.

（2）由正弦定理可得：

sinB＝＝，

因为a

当B＝时，sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosA·sinB＝，

所以S△ABC＝absinC＝1＋；

当B＝时，sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosA·sinB＝，

所以S△ABC＝absinC＝－1.

故△ABC的面积为1＋或－1.

20．解　f（x）＝sincos＋cos2

＝sin＋.

（1）由已知f（α）＝，得sin＋＝，

于是α＝4kπ＋，k∈Z，

所以cos＝cos＝1.

（2）将函数y＝f（x）图象向右平移个单位得到函数g（x）＝sin＋的图象，当x∈时，－≤x－≤π，所以－≤sin≤1，所以0≤sin＋≤，若函数y＝g（x）－k在上有零点，则k∈.