高中数学第1章算法初步11算法的含义教学案苏教版必修3.docx
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高中数学第1章算法初步11算法的含义教学案苏教版必修3
2019-2020年高中数学第1章算法初步1.1算法的含义教学案苏教版必修3
1．算法的含义是什么？
2．算法有哪些特征？
1．算法的概念
对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．
2．算法的特征
（1）算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题，其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．
（2）算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．
1．下列说法中不是算法的是________．
①解方程2x＋7＝0的过程是移项再把x的系数化为1.
②从南京到北京先乘汽车到飞机场，再乘飞机到北京．
③解方程：
x2－2x－3＝0.
④利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积为π×32.
答案：
③
2．下列关于算法的说法：
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
④算法执行后一定产生确定的结果．
其中正确的有________．
解析：
由算法的特征知②③④正确，①错误．
答案：
②③④
算法的概念
[典例] 下列语句表达中是算法的有________．
①方程x2－1＝0有两个实根．
②求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6，6＋4＝10得最终结果是10.
③
x>2x＋4.
④求M（1,2）与N（－3，－5）两点连线的方程，可先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．
[解析] 算法是解决问题的步骤与过程，②④都表达了一种算法．
[答案] ②④
（1）针对这个类型的问题，正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键．
（2）注意算法的特征：
有限性、确定性、可行性．
[活学活用]
1．下列有关算法的说法中正确的是________．
①算法是解决问题的方法和步骤；
②算法中的运算次数是有限的；
③算法中的每一步操作都是可执行的，都能得到正确的结果．
解析：
根据算法的特征可知①②③都正确．
答案：
①②③
2．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是________．
①S＝1＋2＋3＋…＋100.
②S＝1＋2＋3＋…＋100＋….
③S＝1＋2＋3＋…＋n（n≥1且n∈N）．
解析：
算法的设计要求步骤是可行的，并且在有限步之内能完成任务．故①③可设计算法求解．
答案：
①③
算法的设计
[典例]
（1）试写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法；
（2）已知直角坐标系中的两点A（－2,3），B（1，－3）写出求直线AB方程的一个算法．
[解]
（1）算法一：
第一步 计算方程判别式的值并判断它的符号，Δ＝（－2）2－4×（－3）＝16>0；
第二步 将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝
，得x1＝－1，x2＝3.
算法二：
第一步 移项，得x2－2x＝3；①
第二步 ①式两边同时加上1并配方，得（x－1）2＝4；②
第三步 ②式两边开平方，得x－1＝±2；③
第四步 解③得x1＝－1，x2＝3.
（2）算法一：
第一步 求出直线AB的斜率，k＝
＝－2；
第二步 选定点A（－2,3），用点斜式写出直线AB的方程：
y－3＝－2（x＋2）；
第三步 将第二步所得结果化简，得方程2x＋y＋1＝0.
算法二：
第一步 设直线AB的方程为y＝kx＋b；
第二步 将A（－2,3），B（1，－3）代入第一步所设方程，得3＝－2k＋b，－3＝k＋b；
第三步 解第二步所得方程构成的方程组，得k＝－2，b＝－1；
第四步 将第三步所得结果代入第一步所设方程，得y＝－2x－1；
第五步 将第四步所得结果整理，得方程2x＋y＋1＝0.
算法三：
第一步 将A（－2,3），B（1，－3）代入两点式方程，得
＝
；
第二步 将第一步所得结果化简得方程2x＋y＋1＝0.
（1）在设计算法时，首先要考虑是否有公式可以利用，若有应围绕公式设计算法．
（2）在算法中，顺序是十分重要的．
（3）算法具有不唯一性，设计算法时要选用步骤少、条理清晰，具有通用性的算法．
[活学活用]
1．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分．请填入适当文字，使下列步骤成为求他的总分和平均成绩的一个算法：
第一步 取A＝89，B＝96，C＝99；
第二步 __________________________________________；
第三步 __________________________________________.
第四步 输出结果．
答案：
计算A＋B＋C 计算
（A＋B＋C）
2.写出求两底半径分别为1和4，高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．
解：
算法步骤如下：
第一步 取r1＝1，r2＝4，h＝4；
第二步 计算l＝
；
第三步 计算S1＝πr
，S2＝πr
，S侧＝π（r1＋r2）l；
第四步 计算S表＝S1＋S2＋S侧；
第五步 计算V＝
（S1＋
＋S2）h.
[层级一 学业水平达标]
1．有关算法的描述有下列几种说法：
①对一类问题都有效；
②对个别问题有效；
③可以一步一步地进行，每一步都有唯一的结果；
④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．
其中描述正确的为________．
解析：
算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，所以①正确，②错误．由于算法必须是明确的，有效的，而且在有限步内完成，故③④正确．
答案：
①③④
2．某人坐飞机去外地办一件急事，下面是他自己从家里出发到坐在机舱内的主要算法，请补充完整．
第一步，乘车去飞机场售票处；
第二步，____________________________；
第三步，凭票登机对号入座．
答案：
在售票处购买飞机票
3．已知算法：
第一步，输入n.第二步，判断n是否是2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．第三步，依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，若不能整除n，满足条件．该算法的功能是________．
解析：
因为2是质数，且大于2的任何数，只要它不能被2,3，…，n－1整除，则n一定为质数．故上述步骤是判断n是否为质数的算法．
答案：
判断所给的数是否为质数
4．写出求长、宽、高分别为3,2,4的长方体表面积的算法：
第一步 取a＝3，b＝2，c＝4；
第二步 ____________________________________________________；
第三步 输出结果S.
答案：
计算S＝2ab＋2bc＋2ac
5．已知函数y＝
试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．
解：
算法如下：
第一步 输入x的值；
第二步 当x≤－1时，计算y＝－x2－1，否则执行第三步；
第三步 计算y＝x3；
第四步 输出y.
[层级二 应试能力达标]
1．已知球的表面积为16π，求球的体积的一个算法如下：
第一步 取S＝16π；
第二步 _____________________________________________________；
第三步 _____________________________________________________.
将其补充完整．
答案：
计算R＝
（由于S＝4πR2） 计算V＝
πR3
2．下面是求2×4×6×8×10的一个算法，请将它补充完整．
第一步 计算2×4得8；
第二步 将第一步中的运算结果8与6相乘得48；
第三步 _________________________________________________________；
第四步 _________________________________________________________.
答案：
将第二步中的运算结果48与8相乘得384
将第三步中的运算结果384与10相乘得3840
3．求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最值的一个算法如下，请将其补充完整：
（1）计算m＝
.
（2）________________________________________________________________．
（3）________________________________________________________________．
解析：
m是最大值还是最小值由a的正负确定，依据二次函数求最值的方法，确定第二、三步的内容．
答案：
如果a>0，则得到ymin＝m，否则执行第三步
得到ymax＝m
4．有蓝和黑两种墨水瓶，但是现在却错把蓝墨水装在黑墨水瓶中，黑墨水装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，下面是将其互换的一个算法，请将其补充完整．
第一步 准备一个干净的空瓶；
第二步 将黑墨水瓶中的蓝墨水倒入空瓶中，并将黑墨水瓶洗干净；
第三步 _______________________________________________________；
第四步 _______________________________________________________.
答案：
将蓝墨水瓶中的黑墨水倒入黑墨水瓶中，并将蓝墨水瓶洗干净 将蓝墨水倒入蓝墨水瓶中
5．如下算法：
第一步 输入x的值；
第二步 若x≥0成立，则y＝2x，否则执行第三步；
第三步 y＝log2（－x）；
第四步 输出y的值．
若输出结果y的值为4，则输入的x的值为________．
解析：
算法执行的功能是给定x，
求分段函数y＝
对应的函数值．
由y＝4知2x＝4或log2（－x）＝4.∴x＝2或－16.
答案：
2或－16
6．已知数字序列：
2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法．
第一步 输入实数a.
第二步 __________________________________________________________.
第三步 输出a＝18.
解析：
从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到．
答案：
若a＝18，则执行第三步，否则返回第一步
7．给出下列算法：
第一步 输入x的值．
第二步 当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．
第三步 计算y＝
.
第四步 输出y.
当输入x＝10时，输出y＝__________.
解析：
∵x＝10＞4，∴计算y＝x＋2＝12.
答案：
12
8．下面给出一个问题的算法：
第一步 输入x；
第二步 若x≥4，则执行第三步，否则执行第四步；
第三步 输出2x－1；
第四步 输出x2－2x＋3.
（1）这个算法解决的问题是______________________________________________．
（2）当输入x值为________时输出的值最小？
解析：
（1）这个算法解决的问题是求分段函数
f（x）＝
的函数值问题．
（2）当x≥4时，f（x）＝2x－1≥7，
当x<4时，f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2≥2.
∴当x＝1时，f（x）min＝2.
即当输入x的值为1时，输出的值最小．
答案：
（1）求函数f（x）＝
的函数值
（2）1
9．写出求a，b，c中最小值的算法．
解：
算法如下：
第一步 比较a，b的大小，当a>b时，令“最小值”为b；否则，令“最小值”为a；
第二步 比较第一步中的“最小值”与c的大小，当“最小值”大于c时，令“最小值”为c；否则，“最小值”不变；
第三步 “最小值”就是a，b，c中的最小值，输出“最小值”．
10．已知直线l1：
3x－y＋12＝0和l2：
3x＋2y－6＝0，求l1，l2，y轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．
解：
算法如下：
第一步 解方程组
得l1，l2的交点P（－2,6）；
第二步 在方程3x－y＋12＝0中令x＝0得y＝12，从而得到A（0,12）；
第三步 在方程3x＋2y－6＝0中令x＝0得y＝3，
得到B（0,3）；
第四步 求出△ABP底边AB的长AB＝12－3＝9；
第五步 求出△ABP的底边AB上的高h＝2；
第六步 代入三角形的面积公式计算S＝
AB·h；
第七步 输出结果．
2019-2020年高中数学第1章算法初步1.1算法的含义自我检测苏教版必修
自我检测
基础达标
1．下列关于算法的说法中,正确的是（ ）
A．算法就是某个问题的解题过程
B．算法执行后可以不产生确定的结果
C．解决某类问题的算法不是唯一的
D．算法可以无限地操作下去不停止
答案：
C
2．算法的有穷性是指（ ）
A．算法的最后包含输出
B．算法中每个操作步骤都是可执行的
C．算法的步骤必须有限
D．以上说法都不正确
答案：
C
3．著名数学家华罗庚“烧水泡茶”的例子，给出下面三个算法，则最节省时间的算法是（ ）
A．洗开水壶、灌水、烧水，在等待水开的时候，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，等水开了泡茶喝
B．洗开水壶、洗茶壶茶杯、拿茶叶，一切就绪，灌水烧水，等待水开了泡茶喝
C．洗开水壶、灌水、烧水，等待水开，开了之后拿茶叶、洗茶壶茶杯、泡茶喝
答案：
A
4．下列语句表达中是算法的有___________．
①2是质数 ②判断7是否为质数，应首先看7除被1和它本身整除外，是否还能被其他数整除 ③2x=x+5 ④求梯形面积应首先给出上、下底长和高，然后根据公式S=（a+b）h求解
答案：
②④
5．设计一个算法，将70分解成素因数的乘积．
解：
第一步：
若70是素数，则分解结束；
第二步：
若70不是素数，则确定70的最小素因数得70=2×35；
第三步：
若35是素数，则分解结束；否则重复第二步以后的过程；
第四步：
输出70=2×5×7．
6．已知直角坐标系中的两点A（1，0），B（-3，2），写出求直线AB的方程的一个算法．
解：
求直线AB的斜率k==；
用点斜式写出直线AB的方程，得y=（x-1）．
7．设计一个算法，求圆外一点到该圆的切线长．
解：
第一步：
求圆心与该点之间的距离d；
第二步：
利用勾股定理，计算切线长l=
8．已知直角三角形的两条直角边长分别为a、b，设计一个求该三角形周长的算法．
解：
由勾股定理，可求出斜边c=,从而周长l=a+b+
算法步骤如下：
第一步：
计算c=；
第二步：
计算l=a+b+c；
第三步：
输出l．
9．写出作△ABC内切圆的一个算法．
解：
第一步：
作∠BAC的平分线l1；
第二步：
作∠BCA的平分线l2，交直线l1于点M；
第三步：
经点M向边AB作垂线，垂足为N；
第四步：
以点M为圆心，MN为半径作圆，则圆M就是△ABC的内切圆．
10．写出一个能找出a、b、c、d中最大数的算法．
解：
第一步：
假设max=a（即令最大值max是第一个数）；
第二步：
如果b>max，则max=b；否则max的值不变；
第三步：
如果c>max,则max=c；否则max的值不变
第四步：
如果d>max,则max=d；否则max的值不变；
第五步：
max就是a、b、c、d中的最大值．
更上一层
1．写出求1至1000内7的倍数的数的算法．
解：
第一步：
A=0；
第二步：
将A不断加1，每加一次，就将A除以7，若余数为0，则找到一个7的倍数，将其输出；
第三步：
反复做步骤二，直到A=1000结束．
2．一个大油瓶装有8kg油，还有两个空油瓶，一个能装5kg油，另一个能装3kg油．请设计一种算法，将这8kg油平均分成两份．
解：
将8kg、5kg和3kg油瓶编号为1，2，3号．
第一步：
将1号瓶中油倒入2号瓶，再将2号瓶中油倒入3号瓶．此时，1号、2号、3号瓶中油各为3，2，3；
第二步：
将3号瓶中油倒入1号瓶，2号瓶中油倒入3号瓶．此时1号、2号、3号瓶中油各为6，0，2；
第三步：
将1号瓶中油倒入2号瓶，2号瓶中油倒入3号瓶，此时1号、2号、3号瓶中油各为1，4，3；
第四步：
将3号瓶油倒入1号瓶，此时1号、2号瓶中油各为4，4．
3．任意给定两个大于1的正整数a,b，设计一个算法求出a,b的最大公约数．
解：
第一步：
比较a,b的大小，假定a≤b；
第二步：
找某一个2~a之间的素数去整除a,B．若找到，则用它去除a,b得商a1,b1；
第三步：
对a1,b1重复第二步的过程，直到找不到这样的能整除an,bn的质数为止；
第四步：
将以上找得的各质数相乘，积即为最大公约数．
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