相似三角形与圆的综合应用.docx

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相似三角形与圆的综合应用

个性化辅导讲义:

课题

相似三角形与圆的综合应用

教学目标

1.了解相似图形与相似三角形的左义，掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质

2.掌握与圆的相关性质，以及与圆相关的角的槪念及性质，理解切线及切线长左理在圆中的应用

3.掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的相关位巻关系，了解相似三角形在圆中的应用

重点、难点

1.相似三角形的定义及相似三角形的判定定理与性质

2.与圆相关的性质

3.与圆相关的位置关系

4.相似三角形在圆中的应用

考点及考试

要求

考点一:

相似三角形，了解相似图形与相似三角形的怎义，掌握相似三角形的判定怎理及相似三角形的性质。

考点二:

圆的基本性质及与圆相关的位置关系，掌握圆的基本性质，特别就是垂径左理、圆周角及圆心角;理解与圆相关的位宜关系.特殊就是直线与圆位宜关系中的相切关系与圆与圆的位置关系。

教学内容

知识框架

相似三角形的概念与判定

（一）定义:

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。

相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。

（二）判定:

1平行于三角形一边的直线与其她两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3有两个角对应相等的两个三角形相似。

4三条边对应成比例的两个三角形相似。

5一条直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

相似三角形的性质

1、相似比:

相似三角形对应边的比值

2、相似三角形各组对应角相等

3、相似三角形各组对应边的比值相等

4、相似三角形对应髙线的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

5、相似三角形周长的比等于相似比

6、相似三角形而积的比等于相似比的平方

7、直角三角形中，斜边上的高线就是两条直角边在斜边上的射影的比例中项

圆的性质

1、旋转不变性

2、圆就是中心对称图形，对称中心就是圆心.

3、轴对称:

4、与圆有关的角

（1）圆心角⑵圆周角

点与圆、圆与圆的位置关系

1、点与圆的位宜关系

2、判左直线与圆的位置关系的方法有两种

3、常用的辅助线就是:

圆心到直线的垂线段

圆与圆的位置关系：

1•两圆的位垃关系有五种

2、根据两圆交点个数判断两圆的位置关系

3、根据圆心距与两圆半径的与的数星关系

圆中常见的辅助线

1•作半径，利用同圆或等圆的半径相等；

2.作弦心距，利用垂径立理进行证明或计算；

3.作半径与弦心距,构造由“半径、半弦与弦心距”组成的直角三角形进行计算;

4•作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；

5、作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角；

6、遇到三角形的外心常连结外心与三角形的各顶点。

考点一:

相似三角形

典型例题

1在厶ABC中,AB=AC,ZA=36°,ZABC的平分线BD与AC交于D,求证:

（1）BC=BD

△ABCs/xBDC

2、两个相似三角形对应中线之比就是3:

7,周长之与为30cm,则它们的周长分别就是

3•如图，已知错误!

二错误！

二错误!

，求证:

AABD-AACE

4、在RtAABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,则BD：

AD等于（）（A）a:

b（B）a:

:

b2（C）错误！

：

错误！

（D）不能确左

CE1

5.如图，在AABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,DE丄AC于E,亓=~

A

求错误!

的值。

知识概括、方法总结与易错点分析

相似三角形的概念与判定

（一）泄义:

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。

相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。

（二）判定:

1平行于三角形一边的直线与其她两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3有两个角对应相等的两个三角形相似。

4三条边对应成比例的两个三角形相似。

5一条直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

相似三角形的性质

1、相似比:

相似三角形对应边的比值

2、相似三角形各组对应角相等

3、相似三角形各组对应边的比值相等

4、相似三角形对应髙线的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

5、相似三角形周长的比等于相似比

6、相似三角形而积的比等于相似比的平方

7、直角三角形中，斜边上的髙线就是两条直角边在斜边上的射影的比例中项

针对性练习

1.两个相似三角形的对应角平分线的长分別为10cm与20cm,若它们的周长的差就是60cm,则较

大的三角形的周长就是,若它们的而积之与为260cm2,则较小的三角形的而积为

cm*

2.如图,PLMN为矩形，AD丄BC于D,PL:

LM=5:

9,且BC二36cm.AD二12cm,求矩形PLMN的周长

3、如图，在RtAABD中，ZADB二90°,CD丄AB于C,AC=20cm,BC=9cm,求AB及BD的长

3、已知:

如图」B就是00的直径，点P在BA的延长线上,PD切O0于点C,BD丄PD,垂足为D,连接

BC。

求证:

（1）BC平分ZPBD；

（2）BC?

=AB・BD

4、如图.AB就是00的直径,BC丄AB^AD〃OC、

求证:

CD就是0O的切线。

知识概括、方法总结与易错点分析

圆的性质

1、旋转不变性:

圆就是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都与原来图形重合；

2、圆就是中心对称图形，对称中心就是圆心.

性质：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧,两条弦•两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。

3、轴对称：

圆就是轴对称图形，经过圆心的任一直线都就是它的对称轴.

4、与圆有关的角

⑴圆心角：

顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的性质：

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

⑵圆周角：

顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：

1圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半、

2同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的狐相等.

390°的圆周角所对的弦为直径;半圆或宜径所对的圆周角为直角.

点与圆的位置关系

1.点在圆外d>r

2.点在圆上d=r

3.点在圆内d

直线与圆的位置关系

判定方法有两种

（1）根据肚义，由直线与圆的公共点的个数来判断；

⑵根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断

常用的辅助线就是:

圆心到直线的垂线段

圆与圆的位置关系

（1）当两圆有唯一的公共点时,叫做两圆相切，唯一的公共点叫做切点。

相切的两个圆除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的外部时，我们就说这两个圆外切（如图1）；，相切的两个圆，除了切点外，一个圆上的点都在対一个圆的内部时，我们就说这两个圆内切（如图2）。

（1）两圆相交OR-r

⑵两圆外离Od>R+r;

（3）两圆内含<=>dr）;

圆中常见的辅助线

1、作半径，利用同圆或等圆的半径相等；

2.作弦心距，利用垂径泄理进行证明或计算；

3、作半径与弦心距,构造由“半径、半弦与弦心距”组成的直角三角形进行计算；

4、作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；

5、作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角；

6.遇到三角形的外心常连结外心与三角形的各顶点。

针对性练习：

1•如图,AB就是00的直径，弦DE丄AB,垂足为C,过点D作00的切线交BA的延长线于点P,tanZ

（1）求O0的半径；

（2）求0C的长;

⑶若F为弧AE的中点，求cosZA0F的值。

2、已知：

如图，直线PA交00于A、E两点,PA的垂线DC切。

0于点C,过A点作。

O的直径AB。

（1）求证：

AC平分ZDAB；

（2）若DC=4,DA=2t求00的直径。

3、PC切00于点C,过圆心的割线PAB交00于A、B两点，BE丄PE,垂足为E,BE交OO于点D,F

G

就是PC上一点,且PF二AF,FA的延长线交00于点Go求证：

⑴ZFGD=2ZPBC；

（2）竺Q

AGAB

4、已知直线L与00相切于点A,直径AB=6t点P在L上移动，连接0P交00于点C,连接BC并延

长BC交直线L于点D,

（1）若AP二4,求线段PC的长

（2）若APA0与ABADltH以，求ZAPO的度数与四边形0ADC的面积（答案要求保留根号）

巩固作业

1、如图,PA、PB就是OO的切线,A、B为切点，若ZAPB二60°，则ZABO二

（第1题）（第2题）（第3题）

2、如图，在ZL4BC中,乙4二90°,AB=AC=2cm,OA与BC相切于点D则04的半径为cm.

3、如图，已知ZAOB=3Q°,旳为0〃边上一点，以刈为圆心、2cm为半径

作OW、若点M任0B边上运动，则当cm时QM与CM相切、

4、如图屮力为00的切线川为切点,P0交00于点B.PA=\OA=4,则cosAAPO的值为（）

（A）-|-（B）|（C）错误！

5、已知正三角形的内切圆半径为卑cm,则它的边长就是（）

（D）错误!

cm

（A）2cm（B）错误!

cm（C）2错误!

cm6、已知半径均为1厘米的两圆外切,半径为2厘米，且与这两圆都相切的圆共有（）

（A）2个

（B）3个

（C）4个

（D）5个

7•如图・AD、AE分别就是OO的切线,D、E为切点,BC切OO于F,交AD、AE于点B、C,若AD二&

C、

D、不能

则三角形ABC的周长就是（）

A.8B、10

确龙8、如图,BC就是閃的直径，弦AE丄BC,垂足D,倍期,AE与BF相交于点G、

求证:

（1）BE=EF;

（2）BG=GE

9.如图，已知AB就是G>0的直径,00过BC的中点D,且DE丄AC、

（1）求证:

DE就是0O的切线、

10、如图，在ZkABC中，ZABC=90,AB=6,BC=&以AB为直径的00交AC于D,E就是BC的中点,

连接ED并延长交BA的延长线于点Fo

⑴求证:

DE就是©O的切线;

（2）求。

6的长;

11＞已知:

如图，以RtAABC的斜边AB为直径作O0,D就是00上的点，且有AC二CD“过点C作。

0

的切线，与BD的延长线交于点E,连结CD。

（1）试判断BE与CE就是否互相垂直?

请说明理由;

（2）若CD=2岳，tanZDCE=l,求0O的半径长。

12、已知：

如图BC中MG%以万C为直径的©0交于点2过点Q作DELAC于点鸟

交万。

的延长线于点尸、

求证:

（1）AD=BD;

（2）。

尸就是00的切线.