两角对应相等的两个三角形相似.docx

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两角对应相等的两个三角形相似

25.4　相似三角形的判定

1.了解三角形相似的三个判定定理的证明过程,能灵活应用三角形相似的三个判定定理证明三角形相似.

2.了解直角边斜边判定定理的证明过程,能应用直角边斜边判定定理证明直角三角形相似.

1.在类比全等三角形的证明方法,探究三角形相似的证明方法过程中,渗透数学中的类比思想和转化思想.

2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.通过应用三角形相似的判定方法解决简单问题,培养学生综合运用知识解决数学问题的能力.

1.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.

2.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.

3.通过类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.

4.通过建立数学模型解决实际问题,培养学生积极进取的精神,增强学习数学的自信心.

【重点】　能灵活运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.

【难点】

1.探索三角形相似的判定定理的证明.

2.灵活运用三角形相似的判定方法证明三角形相似.

3.在实际问题中建立数学模型解决问题.

第

课时

1.了解两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理的证明过程.

2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.

1.在类比全等三角形的证明方法,探究三角形相似的证明方法的过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.

2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.通过应用三角形相似的判定方法解决简单问题,培养学生的应用意识.

1.进一步发展学生的探究、交流能力、合情推理

能力和逻辑推理意识,并能够运用三角形相似的条件判定三角形相似.

2.在三角形相似判定的探究过程中,渗透类比的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.

【重点】　能运用两角对应相等的两个三角形相似这个判定定理证明三角形相似.

【难点】　三角形相似的判定定理的证明过程.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　预习教材P73~75.

导入一:

【课件展示】　你知道金字塔有多高吗?

传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量了金字塔的高度（在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量出金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度（如图所示））,这展示了他非凡的数学及科学才能.

　　[过渡语]　泰勒斯测量金字塔的高度的方法正确吗?

通过学习相似三角形的判定及性质,就可以说明他的测量方法是正确的.

导入二:

（1）证明三角形相似的方法是什么?

（三角形相似的定义、由平行线证明三角形相似）

（2）全等三角形如何定义的?

证明三角形全等有几种方法?

（对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;SSS,SAS,ASA,AAS,HL）

（3）全等三角形与相似三角形有什么关系?

　　[过渡语]　我们能不能用类似探究三角形全等的方法,探究三角形相似的判定定理呢?

导入三:

（观察实物并课件展示）

观察教师手中的一副三角尺和学生手中的三角尺,其中同样两个锐角（30°与60°或45°与45°）.

【思考】

（1）如图所示,两个等腰直角三角形的三角板相似吗?

说说理由.

（2）如图所示,两个含30°角的直角三角形的三角板相似吗?

说说理由.

（3）如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们是否相似?

[导入语]　有三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢?

这就是我们今天要探究的主要内容.

[设计意图]　以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习的兴趣;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利自然地导出本节课的课题.

　　[过渡语]　我们知道,有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.当两角对应相等而夹边不相等时,这两个三角形之间有什么关系呢?

观察思考:

完成导入三中提出的问题.

【师生活动】　教师提示学生用三角形相似的定义可以证明三角形相似,学生独立完成导入三中问题

（1）

（2）,并作出问题（3）中的猜想,教师对学生的回答进行点评,归纳出猜想“如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们相似.”

[设计意图]　完成导入三中的问题,通过用三角形相似的定义证明两个三角形是相似的,然后做出猜想,直接进入本节课的学习,衔接自然,让学生的思维迅速活跃在本节课内容的探究活动中.

做一做:

【课件展示】　如图所示,已知∠α,∠β.

（1）分别以∠α,∠β为两个内角,任意画出两个三角形.

（2）量出这两个三角形各对应边的长,并计算出相应的比.这两个三角形相似吗?

【师生活动】

（1）同桌两个分别画出ΔABC,其中∠A=∠α,∠B=∠β.

（2）同桌分别测量AB,BC,AC的长度,判断两个三角形是否相似.

（3）学生完成测量后,教师几何画板演示:

改变角的大小,但始终保持两个三角形的两角分别相等,观察两个三角形是否相似.

（4）根据操作、测量,师生共同猜想判定三角形相似的方法.

[设计意图]　教师通过让学生动手画图、测量,根据三角形相似的定义,判断出画出的三角形是相似三角形（或通过动画演示观察）,从而作出猜想,很自然地带着学生的思维走入下一个证明猜想环节,培养学生的动手操作能力,让学生经历知识的形成过程,加深对相似三角形的判定方法的理解和掌握.

共同探究　两角对应相等的两个三角形相似

　　[过渡语]　通过观察思考、动手操作,我们都发现有两个角对应相等的两个三角形相似,我们能不能证明我们的猜想是正确的呢?

【课件展示】　如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.

求证ΔABC∽ΔA'B'C'.

思路一

教师引导分析:

（1）除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?

（由平行线证明三角形相似）

（2）如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?

（在ΔABC的边AB,AC（或它们的延长线）上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE）

（3）根据平行线能否证明ΔADE与ΔABC相似?

（能）

（4）根据已知条件ΔA'B'C'与ΔADE是否全等?

（由SAS可证得全等）

（5）你能根据上面的分析,完成证明过程吗?

【师生活动】　学生在教师的引导下积极思考回答问题,完成证明思路的探究活动,然后独立完成证明过程,同时学生板书,教师在巡视中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,规范书写格式,归纳该证明的思路.

（板书）

证明:

如图所示,在ΔABC的边AB,AC（或它们的延长线）上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE.

∵∠A=∠A',

∴ΔADE≌ΔA'B'C'.

∴∠ADE=∠B',∠AED=∠C',DE=B'C'.

又∵∠B=∠B',

∴DE∥B'C'.

∴ΔADE∽ΔABC.

∴

.

∴

.

又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',

∴ΔABC∽ΔA'B'C'.

思路二

教师引导:

除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?

【师生活动】　教师给学生足够的时间进行小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示点评并归纳解题思路,规范学生的书写证明过程.教师在归纳证明思路时,说明若ΔABC≌ΔA'B'C',ΔA'B'C'∽ΔA″B″C″,则ΔABC∽ΔA″B″C″.今后我们可以直接应用它.

（板书）

（证明过程同思路一）

追加提问:

1.通过上面的证明,你能用语言叙述上面的结论吗?

2.怎样用几何语言描述上述结论?

【师生活动】　学生思考回答,师生共同完成相似三角形判定定理的归纳,然后课件展示.

【课件展示】

相似三角形的判定定理:

两角对应相等的两个三角形相似.

几何语言:

如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.则ΔABC∽ΔA'B'C'.

[设计意图]　学生在教师设计的小问题下完成做出的猜想的证明思路,提高学生分析问题、解决问题的能力,通过作辅助线,让学生体会转化思想、数形结合思想在数学中的应用,通过证明猜想、归纳结论等数学活动,提高学生归纳总结能力及严谨的学习态度,培养学生数学思维与能力.

例题讲解

【课件展示】

　（教材74页例1）如图所示,在ΔABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC.

求证ΔADE∽ΔDBF.

【师生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案,教师对学生的板书点评,规范证明过程.

（板书）

证明:

∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠B.

又∵DF∥AC,

∴∠A=∠BDF.

∴ΔADE∽ΔDBF.

[设计意图]　通过例题展示,让学生进一步体会相似三角形判定定理的运用,鼓励学生独立完成,养成独立思考的习惯,通过规范学生的书写过程,培养学生严谨的学习态度.

做一做:

【课件展示】　如图所示,点D在ΔABC的边AB上,过点D作直线截ΔABC,使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条?

请把这些直线画出来.

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,教师要给学生充足的时间讨论,在巡视中引导有困难的学生全面地思考问题,

学生尝试在黑板上画出符合条件的所有直线,教师点评并归纳总结.

追加提问:

点D在RtΔABC的边AB上,过点D作直线截ΔABC,使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条?

[设计意图]　通过该练习,让学生体会相似三角形判定定理的应用,渗透分类思想在数学中的应用,提高学生的归纳概括能力.

[知识拓展]　

1.判断两个三角形相似,在有一组对应角相等的情况下,可以选择突破口:

寻找另一组对应角相等.

2.在应用相似三角形的判定定理时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.

1.相似三角形的判定定理:

两角对应相等的两个三角形相似.

2.判定定理的证明方法及思路.

3.应用三角形相似的判定定理进行计算和证明.

1.有一个角等于110°的两个等腰三角形（　　）

A.全等B.相似

C.既不相似也不全等D.无法确定

解析:

等腰三角形中110°角只能是顶角,顶角相等的等腰三角形的底角也相等,根据两角对应相等的两个三角形相似,可得两个三角形相似.故选B.

2.如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有（　　）

A.1对B.2对

C.3对D.4对

解析:

∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴ΔABC∽ΔACD,ΔACD∽ΔCBD,ΔABC∽ΔCBD,∴有三对相似三角形.故选C.

3.如图所示,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC上一点,且BP=1,点D为AC边上一点,若∠APD=60°,求CD的长.

解:

∵ΔABC为等边三角形,

∴∠ABC=∠PCD=60°,

∴∠APC=∠ABP+∠BAP=60°+∠BAP,

又∠APC=∠APD+∠CPD=60°+∠CPD,

∴∠BAP=∠CPD.

又∵∠ABP=∠PCD=60°,

∴ΔABP∽ΔPCD.

∴

即

.

∴CD=

.

第1课时

共同探究　两角对应相等的两个三角形相似

例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第75页习题A组第1,2题.

【选做题】

教材第76页习题B组第1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.已知一个三角形的两个内角分别是40°,60°,另一个三角形的两个内角分别为60°,80°,则这两个三角形（　　）

A.一定不相似B.不一定相似

C.一定相似D.全等

2.如图所示,要使ΔABC∽ΔADB,需要添加的条件是（　　）

A.∠ADB=∠ACB

B.∠ADB=∠ABC

C.∠CDB=∠CAB

D.∠ABD=∠BDC

3.如图所示,已知ΔABC和ΔADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF等于（　　）

A.1B.2C.3D.4

4.如图所示,ΔABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,则DE的长等于　　　　. 

5.如图所示,已知A（3,0）,B（0,6）,且∠ACO=∠BAO,则点C的坐标为　　　　. 

6.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E.求证ΔABD∽ΔCBE.

7.如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,

求ΔACD与ΔCBD的相似比.

8.如图所示,AB∥FC,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延长FD和CB交于点G.

（1）求证ΔADE≌ΔCFE;

（2）若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长.

【能力提升】

9.如图所示,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN等于（　　）

A.3B.4C.5D.6

10.如图所示,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,求AB的长度.