例3：
一单摆摆球质量m=0.2kg,摆长L=0.5m.今将摆球拉离与竖直方向成5°角处由静止释放,求摆球运动至平衡位置过程中重力的冲量和合力的冲量.（g=1Om/s2）（0.039N.s）
讨论：
如何计算拉力的冲量？
分析：
∵
据平行四边形定则有，IG和IT为平行四边形的临边，Δp为对角线。
三点一法：
1.对动量定理的理解和作用
1）动量定理反映了冲量的作用效果：
使物体动量发生变化（并非产生动量）.
2）动量定理是适用于任何外力作用的过程定理。
（普适定理）
例4：
一高空作业的工人体重为600N,系一条长为L=5m的安全带,若工人不慎跌落时安全带的缓冲时间t=ls,则安全带受的冲力是多大?
（g取10m/s2）
方法一：
过程的隔离法
方法二：
过程的整体法
（1）所有外力作用时间相等时：
I总=F合t
（2）外力作用时间不相等时：
I总=F1t1+F2t2+
注意：
（1）是否考虑重力？
（2）是否设定了矢量的正方向。
（3）问题的研究对象是谁？
思考:
缓冲过程中,人受到平均冲力多大?
它等于安全带给人的平均冲力吗?
训练1：
（1996年全国）质量为1.Okg的小球从高20m处自由下落到软垫上,反弹后上升的最大高度为5.Om.小球与软垫接触的时间是1.Os,在接触的时间内小球受到的合力的冲量大小为（空气阻力不计,g取10m/s2）（C）
A.10N.sB.2ON·sC.3ON·sD.4ON·s
法一：
隔离反弹过程。
法二：
全过程整体法mg（t1+t3）-It2=0
训练2：
（2002年理综）蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目.一个质量为60kg的运动员,从离水平网面3.2m高处自由下落,着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.Om高处.已知运动员与网接触的时间为1.2s,若把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理,求此力的大小.（取g=1Om/s2）（1500N）
2.用动量定理解释现象：
1）ΔP一定时:
F=ΔP/t∝1/t
2）F一定时:
ΔP=Ft∝t
（分析问题时,要把哪个量一定哪个量变化搞清楚）
例5：
玻璃杯从同一高度自由落下,掉落到硬质水泥地板易碎,掉落到松软地毯上不易碎.这是由于玻璃杯掉到松软地毯上（C）
A.所受合外力的冲量小B.动量的变化量小
C.动量的变化率小D.地毯对杯子的作用力小于杯子对地毯的作用力
训练3：
百米跑运动员在起跑阶段,猛力蹬击踏板,在短时间内完成加速过程,获得很大的起跑速度,起跑的好坏直接影响着比赛成绩,试分析其中包含的物理道理.
解析:
这是一道考查应用理论知识解决实际问题能力的题目,可先假定t相同,讨论力F与υ的关系;或假定υ定,讨论F与t的关系.
（1）起跑时间t相同,则爆发力越大,获得的冲量越大,起跑的速度υ也越大;
（2）要获得某一起跑速度υ,则爆发力F越大,完成加速的时间t就越短.
思考:
在躺着的人身上放一块较大的石板,用大锤快速打击石块,只要石板不碎,人就不会受到伤害,这是为什么?
3.系统的动量定理:
F合t=ΔPA+ΔPB
例6：
如图所示,在光滑的水平面上用细线将质量分别2.Okg和4.0kg的A、B两小球连在一起,沿连线方向突然给球A一个5ON·s的瞬时冲量,导致细线断裂,已知细线断裂时A球的速度为10m/s,求B球的速度为多大?
（7.5m/s）
训练4：
质量为M的金属块和质量为m的木块通过细线系在一起,从静止开始以加速度α在水中下沉,经过时间t细线断了,金属块和木块分开,再经过时间t′木块停止下沉,此时金属块的速度多大?
（设此时金属块还没有碰到水底面）
解析:
金属块和木块在细线未断情况下做匀加速运动说明系统所受的合外力（两块重力和浮力的合力）不变.线断后的受力情况仍未变,且系统内物体运动时间为已知量,因此可考虑对系统应用动量定理.
选金属块和木块组成系统为对象,取向下为正方向，在全过程中：
合外力大小不变F=（M+m）α
作用时间t+t′
系统内物体的动量增量ΔP=ΔP1+ΔP2=Mυ+mυˊ=Mυ+O=Mυ
由动量定理得（M+m）α（t+tˊ）=Mυ
υ=（M+m）α（t+tˊ）/M
思考：
如果金属块和木块初状态以速度υ0匀速运动，情况又怎样？
评注:
动量定理不仅对单个质点成立,对系统也同样适用,只不过系统的内力不予考虑.因只有系统的外力才是引起系统动量变化的原因.而本题是动量定理与牛顿第二定律及运动学知识相结合的综合题,难度较大,但求解时巧妙的利用了整体法,将问题变得容易多了.
3.动量定理在打击、碰撞、爆炸等问题中的应用
1）碰撞、打击、爆炸的特点：
1°时间短；2°作用力大，是变力
2）用F=mα不易解决,但用I=ΔP能较容易地处理。
（涉及到速度的变化和平均冲力等问题）
例7：
据报道,一辆轿车高速强行超车时,与迎面弛来的另一辆轿车相撞.两车身因碰撞挤压,皆缩短了约0.5m,据测算相撞时两车速均约109km/h,试求碰撞过程中车内质量是60kg的人受到平均冲击力约为多少?
（运算过程及结果均保留两位有效数字）
解析:
两车相碰时认为人随车一起做匀减速运动直到停止,此过程位移为0.5m
设人随车做匀减运动的运如时间为t,已知υ0=3Om/s
根据S=υ0t/2得t=2s/t=1/30s
根据动量定理有-Ft=0-mυ0
解得F=5.4×104N
训练5：
科学家设想未来的宇航事业中利用太阳帆来加速星际飞船,设该飞船所在地每秒每单位面积的光子数为n,光子平均波长为λ,太阳帆面积为S,反射率100%,设太阳光垂直射到太阳帆上,飞船总质量m,求飞船加速度的表达式.（光子动量p=h/λ,h为谱朗克常量）
解析：
每个光子照射到帆面后动量变化量为：
ΔP=2h/λ（光子等速反弹）
光子对帆面的作用力F=2nSh/λ
飞船的加速度α=F/m=2nSh/λm
训练6：
（2003年武汉）发生在2001年9·ll恐怖事件中,世贸中心双子楼,被一架飞机“轻松”地摧毁,而双子楼却先后坍塌.世贸的楼体是个钢架结构,两座楼的中间是个方柱子,一直从地下延伸到空中,每个层面有网络式的横条,鼠笼式结构可以从钢度、强度上抗击8级地震,12级台风,7500t的力,飞机充其量可把世贸的表皮撞破,不会伤害大楼筋骨,专家推断,筋骨的破坏是由于钢结构在燃料燃烧中软化造成的,试根据下列数据证实上面的观点。
波音767飞机整体重150t,机身长150m,当时低空飞行的巡航速度在500～600km/h,视为15Om/s,从电视画面看飞机没有穿透大楼,大楼宽不超过100m,飞机在楼内大约运行50m.
解析：
假设飞机在楼内匀减速为零，则S=υ平t150t/2
得t=2S/150=2/3s
由动量定理知-Ft=0-mυ0
解得F=3.375×107N
即飞机撞击大楼的力为3375t，即使按飞机在楼内匀速计算，撞击力也不会达到7500t，可见，上述推断是正确的。
训练7：
如图所示,一个质量m=3kg的物体静止在光滑的水平面上,受到与水平方向成60°角的力F作用,F=9N,经2s时间,求:
（1）物体重力冲量大小;
（2）力F的冲量大小;
（3）物体动量的变化量.
补充：
求各个力的功。
评注:
（1）求解一个力的冲量依据I=Ft,只考虑力和其作用时间两个因素,与该冲量作用的效果无关.而动量的变化量,可以通过合力的冲量来表示,特别对变力或曲线运动显得尤为方便.
（2）求动量变化,既可以利用定义式ΔP=mυt-mυ0求解;也可以利用动量定理ΔP=F合t求解.特别是恒力作用下的曲线运动,利用动量定理比利用定义式方使得多.
练习8：
（北京海淀区试题）离子发动机是一种新型空间发动机,它能给卫星轨道纠偏或调整姿态提供动力.其中有一种离子发动机是让电极发射的电子撞击氙原子,使之电离,产生的氙离子经加速电场加速后从尾喷管喷出,从而使卫星获得反冲力,这种发动机通过改变单位时间内喷出离子的数目和速率,能准确获得所需的纠偏动力.假设卫星（连同离子发动机）总质量为M,每个氙离子的质量为m,电量为q,加速电压为U,设卫星原处于静止状态,若要使卫星在离子发动机起动的初始阶段能获得大小为F的动力,则发动机单位时间内应喷出多少氨离子?
此时发动机发射离子的功率为多大?
解析：
设离子喷出尾喷管时的速度为υ，单位时间内喷出n个离子,
则Δt时间内喷出离子数为nΔt
由动量定理有F=ΔP/Δt=nΔtmυ/Δt=nmυ
发射离子过程，卫星和发出的离子系统动量守恒。
设喷出离子总质量为Δm，则有
Δmυ=（M-Δm）υ星
∵Δm<>υ星
故在离子发动机启动的初始阶段，卫星的速度可以忽略。
右动能定理的qU=mυ2/2υ=（2qU/m）1/2
∴F=nm（2qU/m）1/2∴n=F/（m2qU）1/2
∴P=nqU=qUF/（m2qU）1/2
第二专题动量守恒定律
知识要点:
1.表达式:
1）P=Pˊ（系统相互作用前的总动量P等于相互作用后的总动量pˊ）
2）ΔP=0（系统总动量增量为零）
3）ΔP1=-ΔP2（相互作用的两个物体组成系统,两物体动量增量大小相等、方向相反）
4）m1υ1+m2υ2=m1υ1ˊ+m2υ2ˊ（两物体组成系统,作用前总动量等于作用后总动量）
2.适用条件:
1）系统不受外力或系统所受合外力为零.
2）系统所受的合外力虽不为零,但内力远远大于外力（如碰撞时的
、打击、爆炸时的mg、发射炮弹时的
）.（这是物理学中经常用到的近似处理问题的思想方法）
3）系统F合≠0，但F
=0则ΔP
=0。
3.解题步骤（通过例题3总结）
1）选取研究对象,确定系统由哪几个物体组成,分析系统的受力情况,判断系统动量是否守恒.
2）明确研究的是哪一个过程,确定初、末状态.
3）规定正方向（一般以υ0方向为正）,分析相互作用前后各物体动量的大小及方向（正、负）.
4）用动量守恒定律列方程.
5）解方程求未知量并讨论.
三点一法：
1.怎样理解定律内容中的“系统”“不受外力”“所受外力之和为零”
所有相互作用的物体称为系统.系统中各物体之间的相互作用力叫做内力.外部其他物体对系统的作用力叫做外力.“不受外力”指外部其他物体对系统没有作用力，系统中内力产生的冲量等大反向，使得系统内相互作用的物体的动量改变量等大反向，系统总动量保持不变。
例1：
如图示，A、B两物体质量之比MA∶MB=3∶2，他们原来静止在平板车C上，A、B间有一根被压缩了的弹簧，A、B与平板车上表面间的摩擦因数相同，地面光滑，当弹簧突然释放时，则（B、C）
A.A、B系统动量守恒B.A、B、C系统动量守恒
C.小车向左运动D.小车向左运动
法一：
力的观点FC合决定小车的运动方向。
法二：
动量的观点
选向右为正mBυB+mA（-υA）+m车υ车=0
则υ车=（PA-PB）/m车
思考：
系统机械能是否守恒？
2.“系统总动量不变”：
指在具备动量守恒的整个过程中，系统的总动量都保持不变。
例2：
如图所示,两带电的金属球在绝缘的光滑水平桌面上,沿同一直线相向运动,A球带电为-q,B球带电为+2q.两球之间的作用力正比于它们电量的乘积，反比于它们之间距离的平方,带同号电荷是排斥立，带异号电荷是吸引力,下列说法正确的是（AD）
A.相碰前两球的运动过程中总动量守恒
B.相碰前两球的总动量随着两球的距离逐渐减小而增大
C.相碰分离后两球的总动量小于相碰前两球的总动量
D.相碰分离后任一瞬间两球的总动量等于碰前两球的总动量
例3：
如图所示,在光滑水平面上叠放着质量为mA与mB两物体,A、B间摩擦因数为μ,质量为m的小球以速度υ水平射向A物,以υ/3速度弹回,则A与B相对静止后的速度变为4mυ/3（mA+FB）.
法一：
隔离法
法二：
整体法
思考：
1）如m与A作用时间极短，计算作用结束瞬间A的速度；
2）系统生的热。
Q=Q1+Q2
3）A在B上相对滑行的距离。
S相=Q2/μmg
3.应用动量守恒定律列方程时应注意以下五点
1°矢量性:
列式前须规定正方向,凡与正方向相同正值,反之取负值,将矢量式化为标量式.
2°瞬时性:
定律中速度为相互作用前后的瞬时速度（碰撞、爆炸等）
3°同系性:
定律表达式中所有速度均应是相对于同一惯性参考系而言的,一般选地面为参考系.
4°同时性:
定律表达式m1υ1+m2υ2=m1υ1ˊ+m2υ2ˊ中υ1、υ2表示相互作用前同一时刻两物体的速度,υ1ˊ、υ2ˊ表示相互作用后同一时刻两物体的速度.
5°普适性:
适用于宏观、微观领域内两个或两个以上物体组成系统（核反冲、
粒子散射）
例3一辆质量为6Okg的小车上有一质量为40kg的人（相对车静止）一起以2m/s的速度向前运动,突然人相对车以4m/s的速度向车后跳出去,则车速为多大?
下面是几个学生的解答,请指出错在何处.
解析:
（1）人跳出车后,车的动量为6Oυ,人的动量为40（4+υ）由动量守恒定律:
（60+40）×2=6Oυ+40（4+υ）解得:
υ=0.4m/s（没有注意矢量性）
（2）选车的方向为正,人跳出车后,车的动量为6Oυ,人的动量-40×4,由动量守恒定律:
（60+40）×2=6Oυ-40×4,解得υ=6m/s（没有注意相对性）
（3）选车的方向为正,人跳出车后的动量为60υ,人的动量-40×（4-2）,由动量守恒定律得
（60+40）×2=6Oυ-40×（4-2）,解得υ=
m/s（没有注意瞬时性）
（4）选地为参照物,小车运动方向为正,据动量守恒定律,（60+40）×2=6Oυ-40（4-υ）解得,υ=3.6m/S此法正确.答案:
3.6m/s
训练1：
鱼雷快艇的总质量为M,以速度υ前进,快艇沿前进方向发射一颗质量为m的鱼雷后,快艇速度减为原来的1/3,则鱼雷的发射速度为（2M-m）υ/3m.（不计水的阻力）
注意：
题目中没做说明，则为对地速度。
训练2：
质量为6Okg的人,以5m/s的速度迎面跳上质量为9Okg,速度为2m/s的小车后,与小车共同运动的速度大小为________m/s,方向________.若人是从后面跳上小车的,则人与小车共同运动的速度大小为_____m/s,方向__________.（0.8,人的初速度方向相同.3.2,与人的初速度方向相同）
4.动量守恒定律应用中的临界问题与多体问题
1）相互作用的两物体相距最近、避免相碰的临界条件：
υ甲=υ乙.
2）物体开始反向运动的临界条件：
υ=0
3）两个以上的物体组成的物体系动量守恒：
1°全过程ΔP=0；2°任意两个相互作用物体ΔP=0.
例4：
（2002年沈阳）如图所示,甲乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏.甲和他的冰车质量之和为M=30kg,乙和他的冰车质量之和也是M=3Okg.游戏时,甲推着一个质量m=15kg的箱子以大小为υ0=2m/s的速度滑行,乙以同样大小的速度迎面滑来,为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处,乙迅速抓住.若不计冰面摩擦,求甲至少要以多大速度（相对于地）将箱子推出,才能避免与乙相撞?
（5.2m/s）
分析：
选甲初速度为正
不相撞则末态速度相等：
υ甲=υ乙
甲推出箱子过程：
（M+m）υ0=Mυ甲+mυ
乙接箱子过程：
mυ-Mυ0=（M+m）υ乙
训练3：
（2002年全国）质量为M的小船以速度内行驶,船上有两个质量皆为m的小孩a和b,分别静止站在船头和船尾,现小孩a沿水平方向以速度υ（相对于静止水面）向前跃人水中,然后小孩b沿水平方向以同一速率υ（相对于静止水面）向后跃人水中,求出小孩b跃出后小船的速度。
（M+2m）υ0/M
思考：
1）小孩同时跃出与一前一后跃出有何不同？
为什么？
2）如果υ为对船速度情况又咋样？
5.动量守恒定律的拓展应用：
两个物体无相互作用,也可以把它转化为动量守恒模型.
例5：
在平直公路上,质量为M的汽车拉着质量为m的拖车匀速行驶,速度为υ,在某一时刻拖车脱钩了,若汽车的牵引力保持不变,则在拖车刚停止运动的瞬间,汽车的速度多大?
（M+m）υ/M
思考:
（1）若不用动量守恒,你能用其他方法求解吗?
（2）若拖车停止以后,求汽车的速度,还能用动量守恒求解吗?
训练4：
质量为m的木块和质量M的金属块用细线系在一起,处于深水中静止,剪断线后,木块刚要露出水面时的速度为吨,此时金属块下沉未到水底,求金属块此时的速度是多大?
（mυ0/M）
6.动量守恒定律与数学归纳
例6：
甲、乙两人做抛球游戏,如图所示,甲站在一辆平板车上,车与水平地面间摩擦不计.甲与车的总质量M=100kg,车上的人手拿一质量m=2kg的球,乙站在车的对面的地上,身旁有若干质量不等的球.开始车静止,甲将球以速度υ（相对于地面）水平抛给乙,乙接到抛来的球后,马上将另一只质量为mˊ=2m的球以相同速度υ水平抛回给甲,甲接到后,再以相同速度υ将此球抛给乙,这样反复进行,乙每次抛回给甲的球的质量都等于他接的球的质量的2倍,求:
（l）甲第二次抛出球后,车的速度大小.
（2）从第一次算起,甲抛出多少个球后,再不能接到乙抛回来的球.
解析：
（1）以甲和车及第一个球为系统，选向右
为正方向，设甲第一次抛出球的后退
速度为υ1，由动量守恒得:
0=mυ-Mυ1①
设甲第二次抛出球后速度为υ2，甲接抛2m球过程有：
-2mυ-Mυ1=2mυ-Mυ2②
由①②式得：
Mυ2=22mυ+Mυ1
解出υ2=5mυ/M=υ/10方向向右
2）甲第三次抛出球后速度为υ3,接抛4m球过程有：
-4mυ-Mυ1=4mυ-Mυ2
Mυ3=23mυ+Mυ2③
以此类推••••••
甲第n次抛出球后速度为υnMυn=2nmυ+Mυn-1④
υn=（2n+2n-1+•••+22+1）mυ/M⑤
要使甲接不到乙抛回来的球，必须有υn>υ
即（2n+2n-1+•••+22+1）m/M>1
解得n>4
训练5：
人和冰车的总质量为M,另有一木球,质量为m,M:
m=31:
2,人坐在静止于水平冰面的冰车
上,以速度υ（相对于冰面）将原来静止的木球沿冰面推向正前方的固定档板.球与冰面、
车与冰面的摩擦及空气阻力均可忽略不计,设球与挡板碰撞后反弹速率与碰前速率相等,
人接住球后再以同样的速度υ（相对于冰面）将球沿冰面向正前方推向挡板,求人推多少次
后才不能接到球?
（9次）
法一：
设第n次推球后人和冰车速度为υn,选推球方向为正方向。
第一次推球过程：
Mυ1=mυ
第二次接、推球过程：
-Mυ1-mυ=-Mυ2+mυMυ2=3mυ
第三次接、推球过程：
-Mυ2-mυ=-Mυ3+mυMυ3=5mυ
以此类推••••••
第n次接、推球过程：
-Mυn-1-mυ=-Mυn+mυMυn=（2n-1）mυ
当υn=（2n-1）mυ/M≥υ时不能再接球
又M:
m=31:
2
n≥8.25取n=9
法二：
系统动量定理
每接一次球有Ft=2mυ
n次挡板对球的冲量为I=2nmυ
选人后退方向为正方向，n次后人和m球速度相等时再也接不到球
对人和m球有I=Mυ+mυ
又M:
m=31:
2
n≥8.25取n=9
评注:
本题在求解过程中,需反复运用动量守恒定律关系列式,最终找出第n次推球后人与冰车速度的一般关系表达式从而求得结果.这对同学们的推理演绎能力及数学演算能力要求较高.
训练6：
（2004年天津）如图所示,光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动.两球质量关系为mB=2mA,规定向右为正方向,A、B两球的动量均为6kg.m/s,运动中两球发生碰撞,碰撞后A球的动量增量为-4kg.m/s,则（A）
A.左方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为2:
5
B.左方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为1:
10
C.右方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为2:
5
D.右方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为1:
10
评注:
动量守恒定律的矢量性即是重点又是难点,解题中应遵循以下原则:
先确定正方向,与正方向相同的矢量的取正号,与正方向相反的矢量取负号,未知矢量当作正号代入式中,求出的结果若大于零,则与正方向相同,若小于零则与正方向相反.
训练7：
甲、乙两只小船同时做平行逆向行驶,船和船上的总质量分别是ml=500kg,m2=100Okg,当它们头尾相齐时,由每一只船上各投质量为m=50kg的麻袋到另一个船上去,结果甲船停下来,而乙船则以υ=8.5m/s的速度沿原来的方向继续前进,求交换麻袋前两只船的速度各是多少?
（设水的阻力不计）（甲船速度为υ1=1m/s,乙船速度为υ2=9m/s）
方法一：
选每条船及抛过来的麻袋作为研究的系统而列出
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