完整word版苏科版九年级上册数学《圆》章节知识点2129良心出品必属精品.docx

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完整word版苏科版九年级上册数学《圆》章节知识点2129良心出品必属精品

§2.1圆

【知识点总结】

1、圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O位圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”0圆可以看成是定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形。

例1：

下列说法：

①经过点P的圆又无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为2cm且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，2cm长为半径的圆又无数个，其中错误的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个

2、点和圆的位置关系

设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则

点P在圆内

d＜r

点P在圆上

d=r

点P在圆外

d＞r

例2：

在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，则下列说法中，不正确的是（）

A.当a＜5时，点B在⊙A内B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内

C.当a＜1时，点B在⊙A外D.当a＞5时，点B在⊙A外

3、圆中的相关概念

（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.

（2）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都在半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧

（3）顶点在圆心的角叫做圆心角

（4）

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

（5）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧

例3：

下列说法中不正确的是：

①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②优弧大于劣弧，半圆是弧；

③长度相等的两条弧是等弧；④圆心不同的圆不可能是等圆.

【典例展示】

题型一性质的简单应用

例1：

如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（　　）

A．a＞b＞cB．a=b=cC．c＞a＞bD．b＞c＞a

题型二简单的证明题

例2：

如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD

（1）试说明A、E、C、F四点共圆

（2）设线段BD与

（1）中的圆相交于点M、N，说明BM=ND

题型三分类讨论题

例3：

某点到圆周上的最长距离为8cm，最短距离为6cm。

求圆的半径

题型四探索性试题

例4：

如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm

（1）若以点A位圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何?

（2）

若以点A位圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？

题型五计算题

例5：

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数.

题型六生活中的应用

例6：

某部队在灯塔的周围进行爆破作业，灯塔A周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行？

为什么？

题型七运动变化题

例7：

如图，AB是⊙O的直径，它把⊙O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当C点在上半圆（不包括A、B两点）上运动时，试探求点P的位置.

【误区警示】

误点1审题不清，画错图形

例1：

设AB=2cm，画图说明：

点A、B的距离都小于1.5cm的点的集合

误点2忽视分类讨论，产生漏洞

例2：

如图，已知半径为5的⊙O，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

§2.2圆的对称性

【知识点总结】

1、圆的对称性

圆是中心对称图形，圆心是对称中心

圆是由旋转不变性，即圆围绕圆心旋转任何角度后，仍然与原来的圆重合

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴

例1：

如图是由一个圆和一个平行四边形组成的图形，要求画出一条直线，把圆与平行四边形的面积平分，应如何分割？

请保留作图痕迹.

二、圆心角、弧、弦之间的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等.可简称为“等对等定理”或“三个概念的相等关系”

例2：

如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，

=弧CE，请探求并至少写出图中三对具有相等关系的量（除对顶角和半圆相等外）

2、圆心角的度数与它所对的弧的度数关系

1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.一般地，n°的圆心角对着的n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角.

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.

例3：

如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，∠OAB=50°，求弧BC的度数.

4、

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平方弦所对的弧.

推广：

一条直线：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）

；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，只要具备其中两个条件，就能推出其他三个.

例4：

如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若

则⊙O的半径为

【典例展示】

题型一概念辨析题

例1：

下列说法：

①圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴；②垂直于弦的直线平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的两条弧也相等，其中，不正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型二简单计算题

例2：

如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC=，CD=

题型三几何说理题

例3：

如图，∠AOB=90°，C、D为

的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，那么AE、CD、BF之间有什么数量关系？

请说明你的理由.

例4：

如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明.

题型四作图题

例5：

某居民小区一处圆柱形输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；

（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

题型五运动变化题

例6：

如图，⊙O的半径为5cm，C是⊙O内的一点，过点C的最短弦AB为8cm，

（1）若P是弦AB上一动点，且点P与圆心O的距离为整数，这样的点P有几个？

（2）

如果最短弦AB的两端点在圆上滑动（AB弦长不变），那么弦AB的中点形成怎样的图形？

题型六实际应用题

例7：

某地有一圆弧拱桥，桥下水面的宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m.现有一艘宽3m，船舱船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？

【误区警示】

误点1平行弦间的位置不清而导致错误

例1：

已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为（）

A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm

误点2不能正确理解圆心角、弧与弦之间的关系

例2：

如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（）

A.

＞2

B.

＜2

C.

=2

D.

与2

大小关系不确定

§2.3圆周角

【知识点总结】

1、圆周角的概念

顶点在圆上，并且两边都相交的角的叫做圆周角

例1：

下列图形中，表示圆周角的是（填写序号）

①②③④⑤

2、圆周角定理

同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半

例2：

如图，OB是⊙O的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB=27°，则∠OBD=°.

三、圆周角与直径的关系

（1）直径或半圆所对的圆周角是直角

（2）90°的圆周角所对的弦是直径

例3：

如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为（）

A.116°B.32°C.58°D.64°

【典例展示】

题型一网格题

例1：

如图所示，⊙O的半径为

，圆心与坐标原点重合，在平面直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点.

（1）写出⊙O上所有格点的坐标：

（2）设

为经过⊙O上任意两个格点的直线.

①满足条件的直线l共有多少条？

②求直线l同时经过第一、二、四象限的概率．

题型二计算题

例2：

（1）如图①，D为AC上一点，O为边AB上一点，AD=DO，以O为圆心，OD长为半径作圆，交AC于点F、G，连接EF.若∠BAC=32°，则∠EFG=

（2）如图②，ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=

，则⊙O半径为.

题型三探究题

例3：

如图，点A、B、D、E在圆上，弦AE的延长线于弦BD的延长线交于点C.给出下列三个条件：

（1）AB是圆的直径；

（2）D是BC的中点；（3）AB=AC．

请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．

例4：

如图，A、B、C三点都在⊙O上，BE是⊙O的直径，AD是△ABC的高.

（1）现在不添加任何线或角的情况下，图中除直角外，还有相等的角吗？

如果有，请写出来并加以说明；没有请说明理由

（2）如果⊙O的半径R=4cm，AD=6cm，求AB·AC的值

题型四操作探索题

例5：

如图∠APC的顶点在圆外，两边与圆相交，称它为圆外角.

（1）请你按以下步骤操作：

①在图①内，连接OA、OD；

①②③

②用量角器测出下列各角的度数.

∠APC=，∠AOC=,

∠DOE=.（精确到1°）

（2）根据上面的数据猜想：

∠APC与∠AOC、∠DOE之间有什么数量关系？

（3）证明你的猜想；

（4）如图②、③，若点O不在PC上，则

（2）的结论成立吗？

请说明理由.

（5）用语言描述你的发现.

题型五学科内综合题

例6：

如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点C为圆心，

长为半径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交⊙O于点D，连接AE、AD、DC.

【误区警示】

误点1忽视圆心角，圆周角2倍关系的前提

例1：

如图，在⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的内部，∠AOB=α，∠AOC=β，∠BOC=θ，下列关系式中正确的是（）

A.θ=α+βB.θ=2α+2βC.α+β+θ=180°D.α+β+θ=360°

误点2忽视圆中不是直径的弦所对的圆周角有两种类型

例2：

如果圆的弦等于半径，那么这条弦所对的圆周角的度数等于

§2.4确定圆的条件

【知识点总结】

1、确定圆的条件

不在同一条直线上的三点确定一个圆

例1：

平面上有A、B、C三点，若经过这三点画圆，则可以画（）

A.0个B.1个C.0个或1个D.无数个

2、三角形的外接圆

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，这个圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等

例2：

如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，P是劣弧AB上不同于点B的任意一点，则∠BPC的度数为

【典例展示厅】

题型一网格题

例1：

小英家的圆形桌子被打碎了，她拿了如图所示（网格中的每个小正方形的边长为1）的一块碎片到玻璃片到玻璃店。

配成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A.2B.

C.

D.3

题型二辨析题

例2：

下列说法中不正确的是（）

A.三点确定一个圆

B.任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形

C.三角形的外心是三角形三条角平分线的交点

D.三角形的外心道三个顶点的距离相等

题型三开放题

例3：

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，点P在AO上（点P不与A、O重合），则∠BPC可能为（写出一个即可）

题型四探索题

例4：

在⊙O的内接四边形ABCD中，AD∥BC，试探索四边形ABCD的形状，并说明理由.

题型五证明题

例5：

如图，△ABC内接于⊙O，高BE、AD相交于点P，延长BE、AD，分别交⊙O于点M、N，求证：

（1）PE=ME，PD=ND;

（2）点C是△PMN的外心

题型六操作探索题

例6:

我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆.

（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？

请写出你所得到的结论；（不要求证明）

（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？

请说明理由．

【误区警示】

误点1不能准确根据圆的半径确定符合条件的圆的个数

例1：

已知M、N，若经过点M、N画圆，则半径为3cm的圆有个

误点2忽视三角形外心的不同位置而产生漏解

例2：

如果点O是△ABC的的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC的度数为（）

A.35°B.110°C.145°D.35°或145°

§2.5直线与圆的位置关系

【知识点总结】

1、直线与圆的位置关系

（1）直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交

（2）直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.

（3）直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离

例1：

下列命题中，正确的是（）

A.直线与圆不相交就是相离

B.如果一条直线与圆有公共点，那么这条直线与圆必须有公共点

C.如果一条直线是圆的切线，那么这条直线与圆必有公共点

D.直线与圆相切时，“唯一公共点”是指有一个公共点

2、直线与圆的位置之间的数量关系的确定

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线

的距离为d，那么：

方法一：

根据公共点的个数确定

方法二：

（1）直线

与⊙O相交d＜r

（2）

直线

与⊙O相切d=r

（3）直线

与⊙O相离d＞r

例2：

已知⊙O的半径为r，在直线

上有一点P，OP=r，则直线

与⊙O的位置关系是（）

A.

相离B.相切C.相交D.相切或相交

3、切线的判定

圆的切线垂直于经过切点的半径

例3：

如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，B是优弧CDA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为

4、切线的判定

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直径是圆的切线.

例4：

如图，⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C=90°，BE平分∠ABC.

求证：

直线AC是⊙O的切线

例5：

如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切与点D

求证：

AC与⊙O相切

五、三角形的内切圆

与三角形三边都相切的圆只有一个，这个圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边距离相等.

例6：

如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DEF的度数是（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

6、切线长定理

（1）

经过圆外一点引圆的切线，这点与切点之间线段的长，称为这点到这个圆的切线长.

（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角

（3）切线长定理体现了圆的轴对称性

例7：

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P=

【典例展示】

题型一网格型试题

例1：

已知⊙O1经过A（-4,2）、B（-3,3）、C（0,2）、O（0,0）四点，一次函数y=-x-2的图像是直线

，直线

与y轴交于点D.

（1）在右边的平面直角坐标系中画出⊙O1，直线l与⊙O1的交点坐标为；

（2）若⊙O1上存在整点P（横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点），使得△APD为等腰三角形，所有满足条件的点P坐标为；

（3）将⊙O1沿x轴向右平移个单位时，⊙O1与y相切；

（4）将⊙O1沿x轴向右平移个单位时，⊙O1与

相切．

题型二几何计算题

例2：

如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC且⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

题型三几何说理题

例3：

如图，AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC于点D，且交⊙O于点E.

（1）求证：

∠OPB=∠AEC

（2）若C为半圆弧ABC的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？

并说明理由．

题型四作图题

例4：

如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．

题型五探索条件题

例5：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD为斜边AB上的高.以点C为圆心作圆，圆的半径为r.

（1）当r取何值时，⊙C与直线AB相离

（2）当r取何值时，⊙C与直线AB只有一个公共点？

有两个公共点？

没有公共点？

（3）若r=1，⊙C随着其圆心从点C沿直线CA方向移动，设移动后的圆心为P.则当点C移动的距离为距离为多少时，⊙P与直线AB相切？

题型六探索谈论题

例6：

如图1，线段PB过圆心O。

交⊙O于点A、B两点，PC切⊙O于点点C，过点A作AD⊥PC，垂足为D，连接AC、BC.

（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；

（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C，E两点，AE与BC交于点M，AD⊥PE，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；

（3）在图2中，证明：

AD•AB=AC•AE．

题型七学科内综合题

例7：

如图①、②，⊙O在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4,0），以点A位圆心，4为半径的圆与x轴交于O、B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP.

（1）求∠OAC的度数；

（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；

（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？

题型八阅读理解题

例8：

阅读材料：

如图①，△ABC的周长为

，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积.

（1）理解与应用：

利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；

（2）类比与推理：

若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图

（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；

（3）拓展与延伸：

若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

【误区警示】

误点1考虑问题不周全，导致漏解

例1：

已知⊙O的直径为6，P为直线

上一点，OP=3，那么直线

与⊙O的位置关系为

误点2误用切线的判定方法

例2：

如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB与以P为圆心，PD为半径的圆相切吗？

为什么？

误点3对切线长性质的理解不透彻而致错

例3：

如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，C是

上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若△PDE的周长为12，则PA的长为（）

A.12

B.6

C.8

D.无法确定

§2.6圆与圆的位置关系

【知识点总结】

1、两圆的位置关系

例1：

如图是一个小熊的头像，图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是有一种位置关系没有反映出来，它是

2、圆与圆位置关系的确定

方法一：

根据公共点的个数确定

方法二：

根据两圆半径R、r与圆心的距离的关系确定.

两圆外离d＞R+r两圆外切d=R+r两圆相交d＜R+r（R≥r）

两圆内切R-r＜d＜R+r两圆内含d＜R-r（R＞r）

例2：

已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论中，正确的是（）

A.0≤d＜1B.d＞5C.0≤d＜1或d＞5D.d＜1或d＞5

【典例展示】

题型一确定两圆的位置

例1：

（1）已知⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程

辆实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距d=5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是

（2）如图，⊙O1与⊙O2的半径分别为1和3，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=8,若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切次．

题型二分类讨论题

例2：

（1）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5，若两圆相切，则圆心距O1O2的值是（）

A.2或4B.6或8C.2或8D.4或6

（2）如图，⊙O1与⊙O2内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆外切时，则点O2移动的长度是（）

A.4B.8C.16D.8或16

题型三多圆相切题

例3：

已知⊙O1与⊙O2外切，半径分别为1cm和3cm，那么半径为5cm且与⊙O1、⊙O2都相切的圆可以作出个.

题型四类比与创新题

例4：

设边长为2a的正方形的中心A在直线

上，它的一组对边垂直于直线

，半径为r的⊙O的圆心O在直线上运动，点A、O之间的距离为d.

（1）如图1，当r＜a时，根据d与a，r之间关系，请你将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

∴当r＜a时，⊙O与正方形的公共点可能有个

（2）如图2，当r=a时，根据d与a，r之间关系，请你将⊙O与正方形的公共点个数填入上表.∴当r=a时，⊙O与正方形的公共点可能有个

【误区警示】

误点考虑问题不全面，导致错误

例1：

已知⊙O1、⊙O2相切，若⊙O1的半径为1，两圆的圆心距为5，则⊙O2的半径为（）

A.4B.6C.3或6D.4或6

例2：

若两圆下面那个切，圆心距为7，其中一圆的半径是9，则另一个圆的半径是

例3：

若半径分别为6和8的两圆相离，则圆心距d的取值范围是

§2.7正方形与圆

【知识点总结】

1、正方形的概念

各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.

例1：

下列说法中，正确的是（）

A.平行四边形是正四边形B.矩形是正四边形C.菱形是正四边形D正方形是正四边形

2、正多边形的画法

利用量角器可以画出任意正多边形；利用直尺和圆规可以作出一些特殊的正多边形.

例2：

画出边长为1cm的圆的内接正六边形.

【典例展示】

题型一对称性问题