苏科版初三《圆》章节知识点复习专题Word文件下载.doc
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外离（图1）无交点；
外切（图2）有一个交点；
相交（图3）有两个交点；
内切（图4）有一个交点；
内含（图5）无交点；
五、垂径定理
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：
此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径②③④弧弧⑤弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：
在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
圆心角定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：
①；
②；
③；
④弧弧
七、圆周角定理
1.圆周角定理：
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2.圆周角定理的推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
半圆或直径所对的圆周角是直角；
圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
在⊙中，∵是直径或∵
∴∴是直径
推论3：
若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：
在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：
过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：
∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：
切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
①过圆心；
②过切点；
③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
∵、是的两条切线
∴
平分
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：
圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
（2）推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
在⊙中，∵直径，
（3）切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
在⊙中，∵、是割线
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：
垂直平分。
∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：
中，；
（2）外公切线长：
是半径之差；
内公切线长：
是半径之和。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：
；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1.扇形：
（1）弧长公式：
（2）扇形面积公式：
：
圆心角：
扇形多对应的圆的半径：
扇形弧长：
扇形面积
2.圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆柱的体积：
（2）圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
一、考点分析与例题分析
1、线段的比
1）比例的合比性质，比例的等比性质
2）线段求比需注意：
单位要统一
2、黄金分割
1）定义：
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×
BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
其中≈0.618。
2）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。
3、相似多边形
性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
（可与定义互推）
1、如果四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′相似，且∠A=68°
，则∠A′=。
2、下列说法中正确的是（）
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
A、所有的矩形都相似B、所有的正方形都相似C、所有的菱形都相似D、所有的等腰梯形都相似
3、已知，ABCDE∽五边形FGHIJ，且AB=2cm，CD=3cm，DE=2.2cm，GH=6cm，HI=5cm，FJ=4cm，
∠A=120°
，∠H=90°
。
求:
（1）相似比等于多少
（2）求FG,IJ,BC,AE,∠F,∠C
4、相似三角形
如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
相似比为k。
几种特殊三角形的相似关系：
两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
2）性质：
两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
3）判定：
①定义法：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
参照三角形全等的判定方法：
③两角对应相等的两个三角形相似。
④三边对应成比例的两个三角形相似。
⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
1、下列各组三角形一定相似的是（）
A．两个直角三角形B．两个钝角三角形C．两个等腰三角形D．两个等边三角形
2、如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，写出对应边的比例式。
3、如图，已知△ABC∽△ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=45°
，
∠ACB=40°
，求：
1）∠AED和∠ADE的度数；
2）DE的长。
5、相似多边形的周长比和面积比
关系：
若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比为k，面积比为k2。
6、位似
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
需注意：
①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。
②两个位似图形的位似中心只有一个。
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
④位似比就是相似比。
①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。
②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。
③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。
练习设计
1、△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF与△ABC与的面积比是（）
A、B、C、D、
2、如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：
△ABC∽△DEF。
3、已知：
如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，求证：
△ADC∽△CDP。
4、已知：
△ADC∽△CDP．
5、如图，正方形ABCD中，E、F分别在AB、BC边上，且AE=CF、BG⊥CE于G。
试证明DG⊥FG。
中考热点
1．比例的基本性质
[例1]．已知，则=＿＿＿＿＿。
2．相似图形的性质
[例2]．在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为____________.
3．相似三角形的判定
[例3]．如图9，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似．你添加的条件是
[例4]．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
[例5]．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.
〖考题训练〗
1．如果＝，那么＝＿＿＿＿＿。
2．已知：
如图2，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（）
A.＝B.＝C.＝D.＝
〖课后作业〗
①．若，则的值是（ ）
A、 B、 C、D、
③．如果两个相似三角形对应高的比是1：
2，那么它们的面积比是。
④．如图，D、E两点分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：
，使得△ADE∽△ABC.
⑤．在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝2，DB＝4，AE＝3，那么EC＝
⑥．在下列命题中，真命题是 （ ）
A、两个钝角三角形一定相似 B、两个等腰三角形一定相似
C、两个直角三角形一定相似 D、两个等边三角形一定相似
⑦．矩形ABCD中,M是BC边上且与B、C不重合的点,点P是射线AM上的点,若以A、P、D为顶点的三角形与△ABM相似,则这样的点有个.
⑧．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，F是CD的中点，一束光线从A点出发，通过BC边反射，恰好落在F点（如图），那么，反射点E与C点的距离为＿＿＿＿＿＿。
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