专题十四 二次函数 难题.docx
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专题十四二次函数难题
专题十四二次函数难题
满分：
100
学校__________班级__________学生__________
一、填空题（本大题共15小题每题2分）
1、某商店经营一种成本为40元每千克的水产品,据市场分析,若按50元每千克销售,一个月能售出500千克；销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,销售单价定为______元时,获得利润最多.
2、已知二次函数y＝（x－2a）2+（a－1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的关系式是y＝__________.
3、如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：
①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.则a、b、c、d的大小关系为__________．
4、若y＝（m2+m）xm2－2m－1是二次函数，则m＝________.
5、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（－1，y1），（2，y2）．试比较y1和y2的大小：
y1__________y2.（填“＞”，“＜”或“＝”）
6、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是______cm2.
7、已知抛物线y＝x2+（m－1）x+（m－2）与x轴相交于A，B两点，且线段AB＝2，则m的值为________．
8、如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点和点（－2，0），则2a－3b______0.（＞，＜或＝）
9、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则点（a+b，c）在第__________象限．
10、廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为
，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是__________米．（精确到1米）
11、若y＝（m2+m）xm2－2m－1是二次函数，则m＝________.
12、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（－1，y1），（2，y2）．试比较y1和y2的大小：
y1__________y2.（填“＞”，“＜”或“＝”）
13、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是______cm2.
14、已知抛物线y＝x2+（m－1）x+（m－2）与x轴相交于A，B两点，且线段AB＝2，则m的值为________．
15、如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点和点（－2，0），则2a－3b______0.（＞，＜或＝）
二、选择题（本大题共20小题每题2分）
1、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的表达式是y=x2－3x+5,则有（ ）
A．b=3.c=7 B．b=－9,c=－15 C．b=3.c=3 D．b=－9,c=21
2、如图所示,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（ ）
3、二次函数y=x2－2x－3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．8
4、如图所示,函数y=ax2+a与
（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
5、如图所示,在直角坐标系中,函数y=－3x与y=x2－1的图象大致是（ ）
6、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图20－4所示,下列结论：
①a+b+c＜0；②a－b+c＞0；③abc＞0；④2a－b=0,其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、已知函数y=x2－2002x+2003与x轴的交点是（m,0）、（n,0）,则（m2－2003m+2003）（n2－2003n+2003）的值是（ ）
A．2005 B．2004 C．2002 D．2003
8、若二次函数y＝ax2+c中，当x取x1、x2（x1≠x2）时对应的函数值y相等，则当x取x1+x2时，y等于（ ）
A．a+c B．a－c C．－c D．c
9、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b+c，N＝a－b+c，P＝4a+b，则（ ）
A．M＞0，N＞0，P＞0
B．M＞0，N＜0，P＞0
C．M＜0，N＞0，P＞0
D．M＜0，N＞0，P＜0
10、设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与x成正比例，则y与x的函数关系是（ ）．
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．反比例函数
11、如图，已知△ABC中，BC＝8，BC上的高h＝4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F（点E不与点A，B重合），设E到BC的距离为x，则△DEF的面积y关于x的函数的图像大致为（ ）．
12、已知A（1，y1），B（
，y2），C（－2，y3）在函数y＝2（x+1）2－
的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）．
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
13、已知二次函数y＝－x2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图像上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
－1
2
3
2
…
A．y1≥y2 B．y1＞y2
C．y1＜y2 D．y1≤y2
14、若把函数y＝x的图像用E（x，x）记，函数y＝2x+1的图像用E（x，2x+1）记，…则E（x，x2－2x+1）可以由E（x，x2）怎样平移得到（ ）．
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
15、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＞m（am+b）（m为不等于1的实数），其中正确的结论有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16、用列表法画二次函数y＝ax2+bx+c的图像时，先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：
20，56，110，182，274，380，506，650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）．
A．506 B．380 C．274 D．182
17、如图，已知△ABC中，BC＝8，BC上的高h＝4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F（点E不与点A，B重合），设E到BC的距离为x，则△DEF的面积y关于x的函数的图像大致为（ ）．
18、已知A（1，y1），B（
，y2），C（－2，y3）在函数y＝2（x+1）2－
的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）．
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
19、已知二次函数y＝－x2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图像上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
－1
2
3
2
…
A．y1≥y2 B．y1＞y2
C．y1＜y2 D．y1≤y2
20、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＞m（am+b）（m为不等于1的实数），其中正确的结论有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题（本大题共30小题每题1分）
1、已知二次函数y=a（x+h）2+k的图象如图所示,则一次函数y=ax+hk的图象不经过哪个象限?
2、画出函数y=x2+x－2的图象,并根据图象回答下列问题：
（1）求抛物线与坐标轴交点的坐标；
（2）当x取何值时,y＞0?
当x取何值时,y＜0?
（3）当x取何值时,y随x的增大而增大?
x取何值时,y随x的增大而减小?
（4）求抛物线y=x2+x－2的对称轴；
（5）该函数有最大值还是有最小值?
x取何值时,y有最大值（或最小值）?
最大值（或最小值）是多少?
3、如图所示,已知二次函数y=ax2－4a的图象的顶点坐标为（0,4）,矩形ABCD在抛物线与x轴围成的图形内,顶点B、C在x轴上,顶点A、D在抛物线上,且A点在D点的右侧.
（1）求二次函数的表达式；
（2）设点A的坐标为（x,y）,试求矩形ABCD的周长l与自变量x的函数关系式；
（3）周长为10的矩形ABCD是否存在?
若存在,请求出顶点A的坐标；若不存在,请说明理由.
4、已知,二次函数y=x2－5x+4的图象如图所示,
（1）观察图象,回答：
x取何值时,y值随x值的增大而增大；x取何值时,y值随x值的增大而减小?
（2）如果将图中的抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,试确定所得到的抛物线的表达式.
（3）设
（2）中的抛物线与x轴交于A、B两点,试在x轴下方的抛物线上确定一点P,使△PAB的面积最大.
5、
已知二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?
（3）若A（m,y1）、B（m+1,y2）两点都在该函数图象上,试比较y1与y2的大小.
6、某日用品零售商店,从某公司批发部每月按销售合同批发价每把8元购进雨伞（数量至少为100把）,该商店根据销售记录把这种雨伞以零售价每把14元出售时,月销售量为100把,如果零售价每降价0.1元,月销售量就能增加5把.现在该公司的批发部为了扩大这种雨年的销售量,给零售商制订了如下优惠措施：
如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把,其超过100把的部分每把按批发价9.5折（即95%）付费,但零售单价每把不能低于10元,则该商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时,才能使这种雨伞的月销售利润最大?
最大月利润是多少?
（销售利润=销售款额－货款额）
7、有一种产品的质量可分成6种不同档次,若工时不变,每天可生产最低档次的产品40件,如果每提高一个档次,每件利润可增加1元,但每天要少生产2件产品.
（1）若最低档次的产品每件获利16元时,生产哪一种档次的产品利润最大?
（2）若最低档次的产品每件可获利润22元时,生产哪一种档次的产品利润最大?
8、如图所示,公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰好在水面中心,OA=1.25米,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成与柱子OA距离为1米处达到水流最大高度2.25米.
（1）如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至落到池外?
（2）若水池喷出的抛物线形状与
（1）相同,水池的半径为3.5米,要使水流不落到池外,此时水流高度应达到多少米?
（精确到0.1米）
9、利用墙壁和10m长的篱笆围成一个矩形的羊圈，如图，要求矩形羊圈的两边相差不超过4m．设矩形羊圈的一边长是xm，其面积是ym2.请求出y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
10、先阅读后解答：
已知点A（－1，m）和B（－2，n）
在二次函数y＝－x2的图象上，比较m和n的大小．
解：
由于当x＜0时，y＝－x2的函数值y随x的增大而增大，而－1＞－2，故m＞n.利用以上的信息解答下面的问题：
已知点A（a2+1，m）与点B（－1，n）在二次函数y＝x2的图象上，试比较m和n的大小．
11、已知函数是关于x的二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，求函数的关系式．
12、如图，要在底边BC＝160cm，高AD＝120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点E、F在BC上，AD交HG于点M，此时
.
（1）设矩形EFGH的长HG＝y，宽HE＝x，确定y与x的函数关系式．
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
（3）以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？
请说明理由．（注：
围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备）
13、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，试确定a，b，c，2a+b，2a－b，a+b+c，a－b+c的符号．
14、求一元二次方程x2+2x－9＝0的近似根．
15、已知二次函数y＝x2－4x+3.
（1）该函数图像与x轴有几个交点？
请作图进行验证．
（2）试说明一元二次方程x2－4x+3＝2的根与函数y＝x2－4x+3的图像的关系，并将方程的根在图像上表示出来；
（3）试问当x为何值时，函数y的值为15?
16、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，试确定a，b，c，2a+b，2a－b，a+b+c，a－b+c的符号．
17、某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，建立如图所示的平面直角坐标系后，抛物线的表达式为
.
（1）若菜农的身高为1.60米，他在不弯腰的情况下，横向活动的范围是几米？
（2）大棚的宽度是多少？
（3）大棚的最高点离地面几米？
18、已知二次函数y＝x2－4x+3.
（1）该函数图像与x轴有几个交点？
请作图进行验证．
（2）试说明一元二次方程x2－4x+3＝2的根与函数y＝x2－4x+3的图像的关系，并将方程的根在图像上表示出来；
（3）试问当x为何值时，函数y的值为15?
19、某校九年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该种水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小丽：
如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．
小强：
如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．
小红：
通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．
（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；
（2）设该超市销售该种水果每天获取的利润为w元，那么，当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？
最大利润是多少元？
（利润＝销售量×（销售单价－进价））
20、如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形B′DEC′，B′C′与AB，AC分别交于点M，N.
（1）求证：
△ADE∽△ABC；
（2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式．当x为何值时y有最大值？
21、如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200m,120m，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3xm,2xm.
（1）用代数式表示三条通道的总面积S；当通道总面积为花坛总面积的
时，求横、纵通道的宽分别是多少？
（2）如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168x元，那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？
并求出最低造价．
（以下数据可供参考：
852＝7225,862＝7396，872＝7569）
22、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
23、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大?
最大利润是多少元?
24、
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n经过A（3，0），B（0，－3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限，连接BM，AM，当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形?
若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
25、
我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：
每投入x万元，可获得利润
.当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：
在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：
每投入x万元，可获利
.
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少?
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少?
（3）根据
（1），
（2），该方案是否具有实施价值?
26、
如图，抛物线
与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位．求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在
（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM，BN.当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形?
问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形?
请说明理由．
27、
如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限．
①当线段
时，求tan∠CED的值；
②当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：
考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
28、
如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限．
①当线段
时，求tan∠CED的值；
②当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：
考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
29、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大?
最大利润是多少元?
30、如图，抛物线y1=ax2－2ax+b经过A（－1，0），C（0，
）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=
，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与
（2）中的函数图象交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形?
若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．
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