人教A版选修22高中数学22直接证明与间接证明222 导学案及答案.docx
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人教A版选修22高中数学22直接证明与间接证明222导学案及答案
2.2.2 反证法
[学习目标]
1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
[知识链接]
1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？
为什么？
答 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．
2．反证法主要适用于什么情形？
答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
[预习导引]
1．反证法定义
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题
例1 已知x，y>0，且x＋y>2.
求证：
，
中至少有一个小于2.
证明 假设
，
都不小于2，
即
≥2，
≥2.
∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2（x＋y），
即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．
∴
，
中至少有一个小于2.
规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．
跟踪演练1 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：
a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明 假设a，b，c，d都是非负数，
∵a＋b＝c＋d＝1，
∴（a＋b）（c＋d）＝1.
又∵（a＋b）（c＋d）＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
∴ac＋bd≤1.
这与已知ac＋bd>1矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题
例2 求证对于直线l：
y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：
3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax（a为常数）对称．
证明 假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有
（1）直线l：
y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；
（2）点A、B在直线l：
y＝kx＋1上；（3）线段AB的中点
在直线y＝ax上，所以
由
得（3－k2）x2－2kx－2＝0.④
当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．
由②、③得a（x1＋x2）＝k（x1＋x2）＋2⑤
由④知x1＋x2＝
，代入⑤整理得：
ak＝3，这与①矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．
规律方法 证明“唯一性”问题的方法：
“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法（假设“有另外一个”，推出矛盾）或同一法（假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”）证明，而用反证法有时比用同一法更方便．
跟踪演练2 求证方程2x＝3有且只有一个根．
证明 ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2（b1≠b2），
则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．
∴b1－b2＝0，则b1＝b2.
∴假设不成立，从而原命题得证．
要点三 用反证法证明否定性命题
例3 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋
，S3＝9＋3
.
（1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
（2）设bn＝
（n∈N*），求证：
数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
（1）解 设公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋
，Sn＝n（n＋
）．
（2）证明 由
（1）得bn＝
＝n＋
.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比数列，则b
＝bpbr，
即（q＋
）2＝（p＋
）（r＋
），
∴（q2－pr）＋（2q－p－r）
＝0.
∵p，q，r∈N*，
∴
∴
2＝pr，（p－r）2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
规律方法
（1）当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
（2）反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
跟踪演练3 已知f（x）＝ax＋
（a>1），证明方程f（x）＝0没有负数根．
证明 假设x0是f（x）＝0的负数根，则x0<0且x0≠－1且ax0＝－
，由0<1，
解得
故方程f（x）＝0没有负数根．
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设（ ）
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
答案 B
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°
答案 B
3．“aA．a≠bB．a>b
C．a＝bD．a＝b或a>b
答案 D
4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于cB．a，b都不垂直于c
C．a⊥bD．a与b相交
答案 D
5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．
证明 （反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．
设a＝2n＋1（n∈Z），则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4（n2＋n）是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶数．
1．反证法证明的基本步骤
（1）假设命题结论的反面是正确的；（反设）
（2）从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；（推谬）
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．（结论）
2．用反证法证题要把握三点：
（1）必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
（2）反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
（3）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.
一、基础达标
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是（ ）
①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾
A．①②B．①③
C．①③④D．①②③④
答案 D
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（ ）
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
答案 C
解析 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
3．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“ay或xA．0个B．1个
C．2个D．3个
答案 B
解析 ①错：
应为a≤b；②对；③错：
应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：
应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
4．用反证法证明命题：
“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）
A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除
答案 B
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
5．用反证法证明命题：
“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________
答案 a，b，c都不是偶数
解析 a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．
答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
7．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a、b、c均为整数，且f（0），f
（1）均为奇数．求证f（x）＝0无整数根．
证明 设f（x）＝0有一个整数根k，则
ak2＋bk＝－c.①
又∵f（0）＝c，f
（1）＝a＋b＋c均为奇数，
∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k＝2n＋1（n∈Z），
则ak2＋bk＝（2n＋1）·（2na＋a＋b）为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f（x）＝0无整数根．
二、能力提升
8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝
（n＝1,2，…），试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为（ ）
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使xn≤xn＋1
答案 D
解析 “任意”的反语是“存在一个”．
9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋
，b＋
，c＋
（ ）
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
答案 C
解析 假设a＋
<2，b＋
<2，c＋
<2，
则
＋
＋
<6.
又
＋
＋
＝
＋
＋
≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
10．若下列两个方程x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤－2或a≥－1
解析 若两方程均无实根，则Δ1＝（a－1）2－4a2＝（3a－1）（－a－1）<0，∴a<－1或a>
.Δ2＝（2a）2＋8a＝4a（a＋2）<0，∴－211．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证a>0，b>0，c>0.
证明 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－（a＋b），
又a＋b<0，∴c（a＋b）<－（a＋b）（a＋b）
ab＋c（a＋b）<－（a＋b）（a＋b）＋ab
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－（a2＋ab＋b2）<0，即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
12．已知a，b，c∈（0,1），求证（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不可能都大于
.
证明 假设三个式子同时大于
，
即（1－a）b>
，（1－b）c>
，（1－c）a>
，
三式相乘得（1－a）a·（1－b）b·（1－c）c>
，①
又因为02＝
.
同理0，0，
所以（1－a）a·（1－b）b·（1－c）c≤
，②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
三、探究与创新
13．已知f（x）是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：
（1）若a＋b＞0，则f（a）＋f（b）＞f（－a）＋f（－b）；
（2）若f（a）＋f（b）＞f（－a）＋f（－b），则a＋b＞0.
证明
（1）因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，
又因为f（x）是R上的增函数，所以f（a）＞f（－b），
f（b）＞f（－a），
由不等式的性质可知f（a）＋f（b）＞f（－a）＋f（－b）．
（2）假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，
因为f（x）是R上的增函数，所以f（a）≤f（－b），f（b）≤f（－a），
所以f（a）＋f（b）≤f（－a）＋f（－b），
这与已知f（a）＋f（b）＞f（－a）＋f（－b）矛盾，
所以假设不正确，所以原命题成立.
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