高中数学 22直接证明与间接证明练习 新人教A版选修22Word文档下载推荐.docx
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2x>
0，所以b＝1＋x>
＝a，所以a<
b<
c.
[
点评] 可用特值法：
取x＝，则a＝1，b＝，c＝2.
5．已知y>
x>
0，且x＋y＝1，那么（ ）
A．x<
y<
2xyB．2xy<
y
C．x<
2xy<
yD．x<
[解析] ∵y>
0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<
y，故排除A、B、C，选D.
6．已知函数f（x）＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f（），C＝f
，则A、B、C的大小关系为（ ）
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤AD．C≤B≤A
[答案] A
[解析] ≥≥，又函数f（x）＝（）x在（－∞，＋∞）上是单调减函数，
∴f（）≤f（）≤f（）．
二、填空题
7．已知a>
0，b>
0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
[答案] m>
n
[解析] 因为（＋）2＝a＋b＋2>
a＋b>
0，所以>
，所以m>
n.
8．设a＝，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小关系为________．
[答案] a>
c>
b
[解析] b＝，c＝，显然b<
c，
而a2＝2，c2＝8－2＝8－<
8－＝2＝a2，
所以a>
也可用a－c＝2－＝－>
0显然成立，即a>
9．如果a＋b>
a＋b，则实数a、b应满足的条件是________．
[答案] a≠b且a≥0，b≥0
[解析] a＋b>
a＋b⇔a＋b－a－b>
0⇔a（－）＋b（－）>
0⇔（a－b）（－）>
0⇔（＋）（－）2>
只需a≠b且a，b都不小于零即可．
三、解答题
10．（2013·
华池一中高三期中）已知n∈N*，且n≥2，求证：
>
－.
[证明] 要证>
－，
即证1>
n－，
只需证>
n－1，
∵n≥2，∴只需证n（n－1）
（n－1）2，
只需证n>
n－1，只需证0>
－1，
最后一个不等式显然成立，故原结论成立．
11．（2013·
大庆实验中学高二期中）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）>
f（x）成立，则（ ）
A．3f（ln2）>
2f（ln3）B．3f（ln2）<
2f（ln3）
C．3f（ln2）＝2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定
[解析] 令F（x）＝（x>
0），则F′（x）＝，∵x>
0，∴lnx∈R，∵对任意x∈R都有f′（x）>
f（x），∴f′（lnx）>
f（lnx），∴F′（x）>
0，∴F（x）为增函数，∵3>
2>
0，
∴F（3）>
f
（2），即>
，∴3f（ln2）<
2f（ln3）．
12．要使－<
成立，a、b应满足的条件是（ ）
A．ab<
0且a>
bB．ab>
0且a<
bD．ab>
b或ab<
[解析] －<
⇔a－b＋3－3<
a－b.∴<
.
∴当ab>
0时，有<
，即b<
a；
当ab<
0时，有>
，即b>
a.
13．（2014·
哈六中期中）若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋<
m2－3m有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－1,4）B．（－∞，－1）∪（4，＋∞）
C．（－4,1）D．（－∞，0）∪（3，＋∞）
[解析] ∵x>
0，y>
0，＋＝1，∴x＋＝（x＋）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m>
x＋有解，应有m2－3m>
4，∴m<
－1或m>
4，故选B.
14．（2014·
广东梅县东山中学期中）在f（m，n）中，m、n、f（m，n）∈N*，且对任意m、n都有：
（1）f（1,1）＝1，
（2）f（m，n＋1）＝f（m，n）＋2，（3）f（m＋1,1）＝2f（m,1）；
给出下列三个结论：
①f（1,5）＝9；
②f（5,1）＝16；
③f（5,6）＝26；
其中正确的结论个数是（
）个．
（ ）
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] ∵f（m，n＋1）＝f（m，n）＋2，∴f（m，n）组成首项为f（m,1），公差为2的等差数列，
∴f（m，n）＝f（m,1）＋2（n－1）．
又f（1,1）＝1，∴f（1,5）＝f（1,1）＋2×
（5－1）＝9，
又∵f（m＋1,1）＝2f（m,1），∴f（m,1）构成首项为f（1,1），公比为2的等比数列，∴f（m,1）＝f（1,1）·
2m－1＝2m－1，∴f（5,1）＝25－1＝16，∴f（5,6）＝f（5,1）＋2×
（6－1）＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.
15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，
则cos（α－β）＝________.
[答案] －
[解析] 由题意sinα＋sinβ＝－sinγ①
cosα＋cosβ＝－cosγ②
①，②两边同时平方相加得
2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1
2cos（α－β）＝－1，
cos（α－β）＝－.
16．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，
求证：
＋＞.
[证明] 要证明＋＞，
只需证明＋－＞0即可．
∵＋－＝
，
∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，
∴（a＋m）（b＋m）（c＋m）＞0，
∵a（b＋m）（c＋m）＋b（a＋m）（c＋m）－c（a＋m）（b＋m）＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2
＝2abm＋abc＋（a＋b－c）m2，
∵△ABC中任意两边之和大于第三边，
∴a＋b－c＞0，∴（a＋b－c）m2＞0，
∴2abm＋abc＋（a＋b－c）m2＞0，
∴＋＞.
17．求证：
－2cos（α＋β）＝.
[证明] 要证明原等式成立．
即证明sin（2α＋β）－2sinαcos（α＋β）＝sinβ，
又因为sin（2α＋β）－2sinαcos（α＋β）
＝sin[（α＋β）＋α]－2sinαcos（α＋β）
＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα－2sinαcos（α＋β）
＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα
＝sin[（α＋β）－α]＝sinβ.
所以原命题成立．
选修2-2 第二章 2.2 2.2.2
1．（2014·
微山一中高二期中）用反证法证明命题“如果a>
b>
0，那么a2>
b2”时，假设的内容应是（ ）
A．a2＝b2 B．a2<
b2
C．a2≤b2D．a2<
b2，且a2＝b2
2．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于（ ）
A．0 B．
C． D．1
[解析] 三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<
1，与已知矛盾．
3．（2013·
浙江余姚中学高二期中）用反证法证明命题：
“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
[解析] “至少有一个”的对立面是“一个都没
有”．
4．实数a、b、c不全为0等价于（ ）
A．a、b、c均不为0B．a、b、c中至多有一个为0
C．a、b、c中至少有一个为0D．a、b、c中至少有一
个不为0
[解析] “不全为0”的含义是至少有一
个不为0，其否定应为“全为0”．
[点评] 要与“a、b、c全不为0”加以区别，“a、b、c全不为0”是指a、b、c中没有一个为0，其否定应为“a、b、c中至少有一个为0”．
5．（2013·
大庆实验中学高二期中）设a、b、c∈（－∞，0），则a＋，b＋，c＋（ ）
A．都不大于－2B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2
[解析] 假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋>
－6，
但（a＋）＋（b＋）＋（c＋）
＝（a＋）＋（b＋）＋（c＋）≤－2＋（－2）＋（－2）＝－6，矛盾．
6．若m、n∈N*，则“a>
b”是“am＋n＋bm＋n>
anbm＋ambn”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] am＋n＋bm＋n－anbm－ambn＝an（am－bm）＋bn（bm－am）＝（am－bm）（an－bn）>
0⇔或，不难看出a>
b⇒/am＋n＋bm＋n>
ambn＋anbm，am＋n＋bm＋n>
ambn＋bman⇒/a>
b.
7．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．
[答案] x≠0或y≠0
[解析] “p且q”的否定形式为“¬
p或¬
q”．
8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________．
[答案] 异面
[解析] 假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．
9．在空间中有下列命题：
①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；
②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；
③垂直于同一直线的两直线平行；
④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________________．
[答案] ①
[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；
四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；
正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；
空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．
泰州二中高
二期中）已知n≥0，试用分析法证明：
－<
[证明] 要证上式成立，需证＋<
2，
需证（＋
）2<
（2）2，
需证<
n＋1，
需证（n＋1）2>
n2＋2n，
需证n2＋2n＋1>
只需证1>
因为1>
0显然成立，所以原命题成立．
11．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>
0”是P、Q、R同时大于零的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
[解析] 若P>
0，Q>
0，R>
0，则必有PQR>
0；
反之，若PQR>
0，也必有P>
0.因为当PQR>
0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<
0，Q<
0，即a＋b<
c，b＋c<
a，两式相加得b<
0，这与已知b∈R＋矛盾，因此必有P>
0.
12．若x、y>
0且x＋y>
2，则和的值满足（ ）
A．和中至少有一个小于2
B．和都小于2
C．和都大于2
D．不确定
[解析] 假设≥2和≥2同时成立．
因为x>
∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加得1＋x＋1＋y≥2（x＋y），
即x＋y≤2，这与x＋y>
2相矛盾，
因此和中至少有一个小于2.
13．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（ ）
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
14．用反证法证明命题：
“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°
＋90°
＋∠C>
180°
，这与三角形内角和为180°
相矛盾，则∠A＝∠
B＝90°
不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°
正确顺序的序号排列为________．
[答案] ③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
15．求证：
1、、2不能为同一等差数列的三项．
[证明] 假设1、、2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，
则1＝－md,2＝＋nd，其中m，n为两个正整数，
由上面两式消去d，得n＋2
m＝（n＋m）．
因为n＋2m为有理数，而（n＋m）为无理数，
所以n＋2m≠（n＋m），矛盾，因此假设不成立，
即1，，2不能为同一等差数列的三项．
16.如图所示，在△ABC中，AB>
AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：
点M不在线段CD上．
[证明] 假设点M在线段CD上，则BD<
BM＝CM<
CD，且AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2＝BD2＋AD2<
BM2＋AD2<
CD2＋AD2＝AC2，即AB2<
AC2，所以AB<
AC.这与AB>
AC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．
17．已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a、b∈R.
（1）若a＋b≥0，求证：
f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）；
（2）判断
（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．
[解析]
（1）证明：
∵a＋b≥0，∴a≥－b.
∵f（x）在R上单调递增，∴f（a）≥f（－b）．
同理，a＋b≥0⇒b≥－a⇒f（b）≥f（－a）．
两式相加即得：
f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．
（2）逆命题：
f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）⇒a＋b≥0.
下面用反证法证之．
假设a＋b<
0，那么：
⇒f（a）＋f（b）<
f（－a）＋f（－b）．
这与已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命题得证．
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