高考数学理科一轮复习直接证明与间接证明学案有答案Word下载.docx
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3b
3a=3b且3a&
3bD3a=3b或3a&
3.设a、b、是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )
A.|a-|≤|a-b|+|-b|
B.a2+1a2≥a+1a
a+3-a+1&
a+2-a
D.|a-b|+1a-b≥2
4.(2010&
广东)在集合{a,b,,d}上定义两种运算⊕和&
#88;
如下:
那么d&
(a⊕)等于( )
A.aB.b.D.d
.(2011&
东北三省四市联考)设x、、z∈R+,a=x+1,b=+1z,=z+1x,则a、b、三数( )
A.至少有一个不大于2B.都小于2
.至少有一个不小于2D.都大于2探究点一 综合法
例1 已知a,b,都是实数,求证:
a2+b2+2≥13(a+b+)2≥ab+b+a
变式迁移1 设a,b,&
0,证明:
a2b+b2+2a≥a+b+
探究点二 分析法
例2 (2011&
马鞍月考)若a,b,是不全相等的正数,求证:
lga+b2+lgb+2+lg+a2&
lga+lgb+lg
变式迁移2 已知a&
0,求证:
a2+1a2-2≥a+1a-2
探究点三 反证法
例3 若x,都是正实数,且x+&
2,
求证:
1+x&
2与1+x&
2中至少有一个成立.
变式迁移3 若a,b,均为实数,且a=x2-2+π2,b=2-2z+π3,=z2-2x+π6求证:
a,b,中至少有一个大于0
转化与化归思想的应用
例 (12分)(2010&
上海改编)若实数x、、满足|x-|>|-|,则称x比远离
(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围.
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:
a3+b3比a2b+ab2远离2abab
多角度审题
(1)本题属新定义题,根据“远离”的含义列出不等式,然后加以求解.
(2)第
(2)小题,实质是证明不等式|a3+b3-2abab|&
|a2b+ab2-2abab|成立.证明时注意提取公因式及配方法的运用.
【答题模板】
(1)解 由题意得x2-1>1,
即x2-1>1或x2-1<-1[2分]
由x2-1>1,得x2>2,即x<-2或x>2;
由x2-1<-1,得x∈&
#8709;
综上可知x的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).[4分]
(2)证明 由题意知即证a3+b3-2abab>a2b+ab2-2abab成立.[6分]
∵a≠b,且a、b都为正数,
∴a3+b3-2abab=&
#61480;
a3&
#61481;
2+&
b3&
2-2a3b3=&
a3-b3&
2=(aa-bb)2,
a2b+ab2-2abab=ab&
a+b-2ab&
=ab(a-b)2=(ab-ba)2,[8分]
即证(aa-bb)2-(ab-ba)2>0,
即证(aa-bb-ab+ba)(aa-bb+ab-ba)>0,
需证&
a-b&
&
a+b&
>0,[10分]
即证(a+b)(a-b)2>0,∵a、b都为正数且a≠b,∴上式成立.故原命题成立.[12分]
【突破思维障碍】
1.准确理解题意,提炼出相应不等式是解决问题的关键.
2.代数式|a3+b3-2abab|与|a2b+ab2-2abab|中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便.
【易错点剖析】
1.推理论证能力较差,绝对值符号不会去.
2.运用能力较差,不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错.1.综合法是从条推导到结论的思维方法,它是从已知条出发,经过逐步的推理,最后达到待证的结论.即由因导果.
2.分析法是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条,最后达到题设的已知条或已被证明的事实.即执果索因,用分析法寻找解题思路,再用综合法书写,这样比较有条理,叫分析综合法.
3.用反证法证明问题的一般步骤:
(1)反设:
假定所要证的结论不成立,即结论的反面(否定命题)成立;
(否定结论)
(2)归谬:
将“反设”作为条,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;
(推导矛盾)
(3)结论:
因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立)(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+=0(a≠0)有有理数根,那么a、b、中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( )
A.假设a、b、都是偶数
B.假设a、b、都不是偶数
.假设a、b、至多有一个偶数
D.假设a、b、至多有两个偶数
济南模拟)a,b,为互不相等的正数,且a2+2=2b,则下列关系中可能成立的是( )
A.a&
b&
B.b&
a
.b&
a&
D.a&
b
3.设a、b、∈(0,+∞),P=a+b-,Q=b+-a,R=+a-b,则“PQR&
0”是“P、Q、R同时大于零”的( )
A.充分而不必要条B.必要而不充分条
.充分且必要条D.既不充分也不必要条
上海普陀2月统考)已知a、b是非零实数,且a&
b,则下列不等式中成立的是( )
Aba&
1B.a2&
b2
.|a+b|&
|a-b|D1ab2&
1a2b
厦门月考)如果△A1B11的三个内角的余弦值分别等于△A2B22的三个内角的正弦值,则( )
A.△A1B11和△A2B22都是锐角三角形
B.△A1B11和△A2B22都是钝角三角形
.△A1B11是钝角三角形,△A2B22是锐角三角形
D.△A1B11是锐角三角形,△A2B22是钝角三角形
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2011&
江苏前黄高级中学模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题:
函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f
(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|&
|x1-x2|,求证:
|f(x1)-f(x2)|&
12那么他的反设应该是______________________________.
7.对于任意实数a,b定义运算a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论:
①对于任意实数a,b,,有a*(b+)=(a*b)+(a*);
②对于任意实数a,b,,有a*(b*)=(a*b)*;
③对于任意实数a,有a*0=a则以上结论正确的是________.(写出你认为正确的结论的所有序号)
8.(2011&
揭阳模拟)已知三棱锥S—AB的三视图如图所示:
在原三棱锥中给出下列命题:
①B⊥平面SA;
②平面SB⊥平面SAB;
③SB⊥A
其中命题正确的是________(填序号).三、解答题(共38分)
9.(12分)已知非零向量a、b,a⊥b,求证:
|a|+|b||a-b|≤2
10.(12分)(2011&
宁波月考)已知a、b、&
a3+b3+3≥13(a2+b2+2)(a+b+).
11.(14分)(2011&
宁波月考)已知a、b、∈(0,1),求证:
(1-a)b,(1-b),(1-)a不能同时大于14学案38 直接证明与间接证明
自主梳理
1.
(1)①推理论证 成立
(2)①要证明的结论 充分条
2.不成立 矛盾
自我检测
1.A [由分析法的定义可知.]
2.D [因为3a&
3b的否定是3a≤3b,
即3a=3b或3a&
3b]
3.D [D选项成立时需得证a-b&
0A中|a-b|+|-b|≥|(a-b)-(-b)|=|a-|,B作差可证;
移项平方可证.]
4.A [由所给的定义运算知a⊕=,d&
=a]
. [a+b+=x+1++1z+z+1x≥6,
因此a、b、至少有一个不小于2]
堂活动区
例1 解题导引 综合法证明不等式,要特别注意基本不等式的运用和对题设条的运用.这里可从基本不等式相加的角度先证得a2+b2+2≥ab+b+a成立,再进一步得出结论.
证明 ∵a2+b2≥2ab,b2+2≥2b,2+a2≥2a,
三式相加得a2+b2+2≥ab+b+a,
∴3a2+3b2+32≥(a2+b2+2)+2(ab+b+a)
=(a+b+)2
∴a2+b2+2≥13(a+b+)2;
∵a2+b2+2≥ab+b+a,
∴a2+b2+2+2(ab+b+a)
≥ab+b+a+2(ab+b+a),
∴(a+b+)2≥3(ab+b+a).
∴原命题得证.
变式迁移1 证明 ∵a,b,&
0,根据基本不等式,
有a2b+b≥2a,b2+≥2b,2a+a≥2
三式相加:
a2b+b2+2a+a+b+≥2(a+b+).
即a2b+b2+2a≥a+b+
例2 解题导引 当所给的条简单,而所证的结论复杂,一般采用分析法.含有根号、对数符号、绝对值的不等式,若从题设不易推导时,可以考虑分析法.
证明 要证lga+b2+lgb+2+lg+a2&
lga+lgb+lg,
只需证lga+b2&
b+2&
+a2&
lg(a&
),
只需证a+b2&
ab(中间结果)
因为a,b,是不全相等的正数,
则a+b2≥ab&
0,b+2≥b&
0,+a2≥a&
且上述三式中的等号不全成立,
所以a+b2&
所以lga+b2+lgb+2+lg+a2&
变式迁移2 证明 要证a2+1a2-2≥a+1a-2,
只要证a2+1a2+2≥a+1a+2
∵a&
0,故只要证a2+1a2+22≥a+1a+22,
即a2+1a2+4a2+1a2+4
≥a2+2+1a2+22a+1a+2,
从而只要证2a2+1a2≥2a+1a,
只要证4a2+1a2≥2a2+2+1a2,
即a2+1a2≥2,而该不等式显然成立,故原不等式成立.
例3 解题导引
(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时,宜用反证法证,反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是①与已知条矛盾,②与假设矛盾,③与定义、公理、定理矛盾,④与事实矛盾等方面,反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具,是数学证明中的一有力武器.
(2)利用反证法证明问题时,要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理,否则,将出现循环论证的错误.
证明 假设1+x&
2和1+x&
2都不成立,
则有1+x≥2和1+x≥2同时成立,
因为x&
0且&
0,
所以1+x≥2,且1+≥2x,
两式相加,得2+x+≥2x+2,
所以x+≤2,
这与已知条x+&
2相矛盾,
因此1+x&
2中至少有一个成立.
变式迁移3 证明 假设a,b,都不大于0,即a≤0,b≤0,≤0
∵a=x2-2+π2,b=2-2z+π3,=z2-2x+π6,
∴x2-2+π2+2-2z+π3+z2-2x+π6
=(x-1)2+(-1)2+(z-1)2+(π-3)≤0,①
又∵(x-1)2+(-1)2+(z-1)2≥0,π-3&
∴(x-1)2+(-1)2+(z-1)2+(π-3)&
0②
①式与②式矛盾,∴假设不成立,即a,b,中至少有一个大于0
后练习区
1.B
2. [由a2+2&
2a&
2b&
a,可排除A、D,令a=2,=1,可得b=2,可知可能成立.]
3. [必要性是显然成立的,当PQR&
0时,若P、Q、R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P&
0,Q&
0,R&
0,则Q+R=2&
0,这与&
0矛盾,即充分性也成立.]
4.D [ba&
1&
#8660;
b-aa&
0&
a(a-b)&
b,∴a-b&
0而a可能大于0,也可能小于0,
因此a(a-b)&
0不一定成立,即A不一定成立;
a2&
b2&
(a-b)(a+b)&
0,∵a-b&
0,只有当a+b&
0时,a2&
b2成立,故B不一定成立;
|a+b|&
|a-b|&
(a+b)2&
(a-b)2&
ab&
而ab&
0也有可能,故不一定成立;
由于1ab2&
1a2b&
a-ba2b2&
(a-b)a2b2&
∵a,b非零,a&
b,∴上式一定成立,因此只有D正确.]
.D [由条知,△A1B11的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B11是锐角三角形,假设△A2B22是锐角三角形,
由sinA2=sA1=sinπ2-A1,sinB2=sB1=sinπ2-B1,sin2=s1=sinπ2-1,得A2=π2-A1,B2=π2-B1,2=π2-1,
那么,A2+B2+2=π2,
这与三角形内角和为π相矛盾,所以假设不成立,所以△A2B22是钝角三角形.]
6.“&
#8707;
x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|&
|x1-x2|,
则|f(x1)-f(x2)|≥12”
7.②③
解析 按新定义,可以验证a*(b+)≠(a*b)+(a*);
所以①不成立;
而a*(b*)=(a*b)*成立,
a*0=(a+1)(0+1)-1=a
所以正确的结论是②③
8.①
解析 由三视图知,在三棱锥S—AB中,底面AB为直角三角形且∠AB=90°
,即B⊥A,
又SA⊥底面AB,
∴B⊥SA,由于SA∩A=A,
∴B⊥平面SA
所以命题①正确.
由已知推证不出②③命题正确.故填①
9.证明 ∵a⊥b,∴a&
b=0(2分)
要证|a|+|b||a-b|≤2,只需证:
|a|+|b|≤2|a-b|,(4分)
平方得:
|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a&
b),(8分)
只需证:
|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,(10分)
即(|a|-|b|)2≥0,显然成立.故原不等式得证(12分)
10.证明 ∵a2+b2≥2ab,a、b、&
∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b),(3分)
∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2,
∴a3+b3≥a2b+ab2(6分)
同理,b3+3≥b2+b2,a3+3≥a2+a2,
将三式相加得,
2(a3+b3+3)≥a2b+ab2+b2+b2+a2+a2(9分)
∴3(a3+b3+3)≥(a3+a2b+a2)+(b3+b2a+b2)+(3+2a+2b)=(a+b+)(a2+b2+2).
∴a3+b3+3≥13(a2+b2+2)(a+b+).(12分)
11.证明 方法一 假设三式同时大于14,
即(1-a)b&
14,(1-b)&
14,(1-)a&
14,(3分)
∵a、b、∈(0,1),
∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)(1-)a&
164
(8分)
又(1-a)a≤1-a+a22=14,(10分)
同理(1-b)b≤14,(1-)≤14,
∴(1-a)a(1-b)b(1-)≤164,(12分)
这与假设矛盾,故原命题正确.(14分)
方法二 假设三式同时大于14,
∵0&
1,∴1-a&
0,(2分)
1-a&
+b2≥&
14=12,(8分)
同理&
1-b&
+2&
12,&
1-&
12,(10分)
三式相加得32&
32,这是矛盾的,故假设错误,
∴原命题正确.(14分)