从平面向量到空间向量导学案.docx
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从平面向量到空间向量导学案
从平面向量到空间向量导学案
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学习目标
.了解向量由平面到空间的推导过程
2.理解空间向量的概念
3.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念，并会求直线的方向向量和平面的法向量
学习过程
一、课前准备
复习：
平面向量基本概念：
具有
和
的量叫向量，
叫向量的模（或长度）；
叫零向量，记着
；
叫单位向量.
叫相反向量，
的相反向量记着
.
叫相等向量，向量的表示方法有
，
，
和
共三种方法.
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：
空间向量的相关概念
问题：
1.什么叫空间向量？
2.空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？
3.空间向量如何表示？
4.向量的夹角的概念、表示、垂直与平行如何表示？
探究任务二：
向量、直线、平面的相关概念
问题：
1.直线的方向向量概念
2.平面的法向量概念
※典型例题
例1
见P26思考与交流例子
三、总结提升
※学习小结
.空间向量基本概念；
2.直线的方向向量概念
3平面的法向量的概念
4.向量的夹角及垂直、平行与夹角的关系
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（
）.
A.很好
B.较好
c.一般
D.较差
※当堂检测（时量：
5分钟满分：
10分）计分：
.下列说法中正确的是（
）
A.若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;
B.若与是相反向量，则∣∣=∣∣;
c.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABcD中，一定有.
2.已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（
）
A.
B.
或
c.
D.∣∣=∣∣
3.在四边形ABcD中，若,则四边形是（
）
A.矩形
B.菱形
c.正方形
D.平行四边形
4.下列说法正确的是（
）
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
c.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
§2空间向量的运算
（一）
一、选择题
.下列说法中正确的是
（
）
A.若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;
B.若与是相反向量，则∣∣=∣∣;
c.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABcD中，一定有.
2.已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是
（
）
A.
B.
或
c.
D.∣∣=∣∣
3.下列说法正确的是
（
）
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
c.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
二、填空题
4.长方体中，化简=
.
5.如果都是平面的法向量，则的关系
.
三、解答题
6.已知平行六面体,m为Ac与BD的交点，化简下列表达式：
⑴
;
⑵
;
⑶
；
⑷
.
创新与实践:
已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§2空间向量的运算
一、选择题
.下列说法正确的是
（
）
A.向量与非零向量共线，与共线，则与
共线；
B.任意两个共线向量不一定是共线向量；
c.任意两个共线向量相等；
D.若向量与共线，则.
2.已知平行六面体，m是Ac与BD交点，若，
则与相等的向量是
（
）
A.
B.
c.
D.
3.下列命题中：
①若，则，中至少一个为
②若
且，则
③
④
正确有个数为
（
）
A.0个
B.1个
c.2个
D.3个
二、填空题
3.已知中，所对的边为，且,,则=
4.已知向量满足，，，则________
三、解答题
6.已知平行六面体，点m是棱AA的中点，点G在对角线Ac上，且cG:
GA=2:
1,设=，，试用向量表示向量.
创新与实践:
已知为平行四边形，且，求的坐标.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§3
向量的坐标表示和空间向量基本定理
一、选择题
.则
（
）
A．－15
B．－5
c．－3
D．－1
2.若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（
）
A.
B.
c.
D.
3.已知
，且，则
（
）
A.
B.
c.
D.
二、填空题
4.设i、j、k为空间直角坐标系o-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且
，则点B的坐标是
.
5.已知，且，则x＝
.
三、解答题
6.已知，求：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
（5）.
创新与实践:
已知A、B，求：
⑴线段AB的中点坐标和长度；
⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§3
向量的坐标表示和空间向量基本定理
一、选择题
.若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（
）
A.
B.
c.
D.
2.在下列命题中：
①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为
（
）
A．0
B.1
c.2
D.
3
3.已知,与的夹角为120°，则的值为
（
）
A.
B.
c.
D.
二、填空题
4.在三棱锥oABc中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基
底，试用基底表示＝
.
5.已知关于x的方程有两个实根，，且
，当t＝
时，的模取得最大值.
三、解答题
如图,在单位正方体中，点分别是的一个四等分点.
求与的坐标;
求与所成的角的余弦值．
创新与实践:
如图，正方体的棱长为，
⑴求的夹角；
⑵求证：
.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§4
用向量讨论垂直与平行
（一）
一、选择题
.若＝，＝，则是的
（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
c.充要条件
D.既不充分又不不要条件
2.已知且与互相垂直，则的值是
（
）
A.1
B.
c.
D.
3.下列各组向量中不平行的是
（
）
A.
B.
c.
D.
二、填空题
4.设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系
是
.
5.已知向量，若
，则______；若
则______.
三、解答题
6.设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：
⑴
；
⑵
.
创新与实践:
如图，在四棱锥P—ABcD中，底面ABcD为正方形，PD⊥平面ABcD，且PD=AB=a，E为PB的中点，在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBc。
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§4
用向量讨论垂直与平行
一、选择题
.下列说法正确的是
（
）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
c.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若是直线的方向向量，，则
2.已知，能做平面的法向量的是
（
）
A.
B.
c.
D.
3.已知，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（
）
A.
B.
c.4
D.
二、填空题
4.设分别是平面的法向量，则平面的位置关系
是
.
5.若向量，则这两个向量的位置关系是___________.
三、解答题
6.如图，在四面体中，，点分别是的中点．
求证：
（1）直线面；
（2）平面面．
创新与实践:
用向量方法证明：
如果平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线b,那么直线垂直于直线b在这个平面上的射影.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§5夹角的计算
（一）
一、选择题
.已知向量，若，设，则与轴夹角
的余弦值为
（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2.若，，与的夹角为，则的值为
（
）
A.17或-1
B.-17或1
c.-1
D.1
3.在正方体中，为的交点，则与所成角的
（
）
Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
二、填空题
4.若
，且
，则与的夹角为____________.
5.若向量与的夹角为，，，则
.
三、解答题
6.设空间两个不同的单位向量
与向量的夹角
都等于45.
求和的值；
求的大小.
创新与实践:
如图，已知点P在正方体的对角线上，∠PDA=60°.
求DP与所成角的大小.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§5
夹角的计算
（二）
一、选择题
.若A，B，c，则△ABc的形状是
（
）
A.不等边锐角三角形
B.直角三角形
c.钝角三角形
D.等边三角形
2.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（
）
A.
B.
c.或
D.或
3.如图，在长方体ABcD-A1B1c1D1中，AB=Bc=2,AA1=1,则Bc1与平面BB1D1D所成
角的正弦值为
A.
B.
c.
D.
二、填空题
4.直三棱柱ABc—A1B1c1中，∠AcB=90°，，AA1=6，E为AA1
的中点，则平面EBc1与平面ABc所成的二面角的大小为
.
5.在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面
直线和所成角的余弦值为
.
三、解答题
6.如图3，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，
是直角，，求异面直线与所成角的大小.
创新与实践:
如图，直三棱柱ABc—A1B1c1中，∠AcB=90°，Ac=AA1=1，,AB1与A1B相交于点D，m为B1c1的中点.
（1）求证：
cD⊥平面BDm；
（2）求平面B1BD与平面cBD所成二面角的大小.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§6
距离的计算
（一）
一、选择题
.设，，，则线段的中点到点的距离
为
A.
B.
c.
D.
2.如图，ABcD-A1B1c1D1为正方体，下面结论错误的是
A.BD∥平面cB1D1
B.Ac1⊥BD
c.Ac1⊥平面cB1D1
D.异面直线AD与cB1所成的角为60°
3.四边形为正方形，为平面外一点，，二面角
为，则到的距离为
（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．2
Ｄ．
二、填空题
4.如图，P—ABcD是正四棱锥，是正方体，
其中，则到平面PAD的距离为
.
5.已知正方体的棱长是，则直线与
间的距离为
。
三、解答题
6.如图所示的多面体是由底面为ABcD的长方体被截面AEc1F所截而得到的，其中AB=4,Bc=2,cc1=3,BE=1,求点c到平面AEc1F的距离.
创新与实践:
如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
§6距离的计算
（二）
一、选择题
.正方体的棱长为1，
是的中点，则点到平面距离等于（）
Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
2．一条长为的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是和，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3.三角形ABc的三个顶点分别是，，，则Ac边上的高BD长为
（
）
A.5
B.
c.4
D.
二、填空题
4.已知是异面直线，那么：
①必存在平面过且与平行；
②必存在平面过且与垂直；
③必存在平面与都垂直；
④必存在平面与距离都相等．
其中正确命题的序号是
．
2.已知空间四边形，点分别为的中点，且
,用，，表示，则=______________________.
三、解答题
6.如图，在长方体中，，点在棱上移
（1）证明：
；
（2）当为的中点时，求点到面的距离.
创新与实践:
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.求在侧面内找一点，使面，并计算点到和的距离.
错误反思
题号
错题分析
正确解法
本章小结测试
一、选择题
.已知，则的最小值是
（
）
A.
B.
c.
D.
2.将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线所成角的余弦值为
A.
B.
c.
D.
3.正方体的棱长为，,N是的中点，则＝（
）
A.
B.
c.
D.
二、填空题
4.已知，且，则k＝
.
5.空间两个单位向量与的夹角都等于，则
.
三、解答题
6.如图，在棱长为1的正方体中，点分别为的中点.
⑴求证：
;
⑵求与所成角的余弦值；
⑶求的长.
创新与实践:
如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？
这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？
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