人教版初一上数学第10讲角教师版.docx
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人教版初一上数学第10讲角教师版
角
1、结合生活情景认识角，知道角的各部分名称，会用不同的方法和材料做出角。
2、在操作活动中体验感知角有大小，会用多种方法来比较角的大小，在探索角的大小比较的过程中，发展数学思考能力。
3、在创造性使用工具和材料来制作角和比较角的大小的过程中，体验解决问题策略的多样性，培养学生的动手实践能力和创新意识。
1.角的定义与表示方法
（1）角的定义：
角的定义有两种，一种是静态的组成定义，一种是动态的形成定义。
角的组成定义：
有______的两条射线组成的图形叫做角，这个______是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
角的形成定义：
由一条射线绕着它的______旋转而形成的图形叫做角。
（2）角的表示方法：
用三个大写的英文字母表示，其中表示顶点的字母应该写在____，如图1所示，表示为∠AOB；用一个大写的英文字母表示，这个字母表示角的____，如图1，还可以表示为∠O（这种方式适用于顶点处只有一个角的情况）。
用一个小写的希腊字母表示，如图2所示，表示∠α；④用数字表示标注，如图3所示，表示为∠1.
（3）易混淆点
角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。
另外，若没有特别说明，一般指的角都是小于平角的角。
2.角的度量及换算
（1）常用的角的度量单位为___、___、___，这种角的度量制叫做角度制。
1ﾟ=__,1’=__。
除角度之外，角的度量还有弧度制、密度制等。
（2）常见的角的分类：
锐角：
大于0ﾟ，小于90ﾟ的角；钝角：
大于90ﾟ，小于180ﾟ的角；1直角=__，1平角=，1周角=。
（3）角的度量工具有：
量角器、经纬仪、测角器等。
（4）借助三角尺可以画出30ﾟ，45ﾟ，60ﾟ，90ﾟ等特殊角，借助量角器可以画出任何给定的角。
3.角的比较与运算
（1）角的比较与运算
______，把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边叠合在一起，再比较另一条边的位置，如图所示。
______，即用量角器量出角的度数，再按照度数比较角的大小。
（2）易混淆点
在用叠合法比较大小时，易忽略两个角的（一边重合，另一边在重合的这条边的同侧）。
4.角平分线
（1）定义：
从一个角的____出发，把这个角分成两个____的角的，叫做这个角的平分线。
（2）角的n等分线：
类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫做角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等。
5.角平分线的几何表示。
6.易混淆点
不能在角平分线的多种几何表达形式之间灵活转换。
7.余角和补角
（1）定义：
如果两个角的和等于90ﾟ，就说这两个角互为__角，简称________，其中一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角，简称________，其中一个角是另一个角的补角。
（2）互余、互补至于两个角的数量关系有关，与位置无关。
8.余角、补角的性质
（1）余角的性质：
同角的余角相等。
（2）补角的性质：
同角的补角相等。
9.方位角
（1）定义：
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动的方向的夹角为方位角。
（2）注意事项：
方位角在叙述是，一般先说____，后说____，如南偏东30ﾟ。
但与南北方向夹角为45ﾟ时，常简称东北、东南、西北、西南，如南偏东____，即为东南方向。
参考答案
1.公共端点公共端点端点中间顶点
2.度分秒60’60”90ﾟ180ﾟ360ﾟ
3.叠合法度量法
4.顶点相等射线
7.余两个角互余180ﾟ两个角互补
9.南北东西45ﾟ
1.角的定义及表示方法
【例1】下列对角的表示方法理解错误的是（ ）
A.角可用三个大写字母表示,顶点字母写在中间
每边上的点写在两旁
B.任何角都可以用一个字母表示
C.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示
D.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示
【解析】A,C,D都符合角的表示方法的要求,B,当角的顶点处只有一个角时,才能用一个字母表示,B说法错误.
答案：
B.
总结：
角的表示方法：
1.角可用三个大写字母表示
2.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示
3.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示
练1.下列关于角的说法正确的个数是（）
①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大;③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；
②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故本选项错误；
③角的边是射线，不能延长，故本选项错误；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．
所以只有④一个选项正确．
答案：
A
练2.下列说法中，不正确的是（）
A.∠AOB的顶点是O点B.∠AOB的边是两条射线
C.射线BO,射线AO分别是∠AOB的边D.∠AOB与∠BOA表示的是同一个角
【解析】A三个大写字母表示角，则中间一个字母表示角的顶点；B角的两边是两条射线；C射线BO端点为B向BO方向延伸，而射线AO延AO方向延伸，而角是由两条射线共端点组成的，所以错误；D角的两边是射线。
答案:
C
练3如图，下列表示角的方法错误的是（）
A.∠1与∠AOB表示同一个角
B.∠AOC可用∠O来表示
C.图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOC
D.∠β表示的是∠BOC
【解析】A同一个角的两种表示方法
B一个端点有多个点公用时，不可以用一个点来表示角。
C、D正确。
答案：
B
2.角的度量与比较大小
【例2】钟表在3点40分时,它的时针和分针所成的钝角的度数是 .用10倍的放大镜观察,这个角应是 .
【解析】每小时分针转360°，时针转动30°；每分钟分针旋转6°，时针旋转0.5°
答案：
130° 130°
总结：
角的大小与角画出的两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。
练4.（2014濮阳一中）已知∠AOB=120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：
3的两个角，那么∠AOC的度数为（）
A．40°B．40°或80°C．30°D．30°或90°
【解析】120除以（1+3）=30°。
由于OC可能靠近OA，或OB所以出现了两种可能，
两种结果，∠AOC=30°或∠AOC=90°
答案：
D
练5.如图,平角AOB被分成的三个角∠AOC,∠COD,∠DOB的比为2∶3∶4,则其中最大的角是 度.
【解析】设∠AOC=2x°,则∠COD=3x°,∠DOB=4x°,
根据题意得:
2x+3x+4x=180,解得:
x=20,
则最大的角是4×20°=80°.
答案：
80
练6.比较大小:
38°15′___ 38.
15度（填“>”“=”或“<”）.
【解析】因为1°=60′,所以38.15°=38°+（0.1
5×60）′=38°9′,所以
38°15′>38
.15度.
答案：
>
练7.51°28′30"=________度
【解析】51度28'30''=51度28.5'=51度+（28.5/600度=51度+0.475度=51.475度
答案：
51.475
3.角平分线
【例3】（2015北京文汇期末）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）
50°B．60°C．65°D．70°
【解析】∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=
∠COE=
×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．
答案：
D
练8.已知直线AB，CD相交于点O，OA平分
，
=70º，则
的度数是多少？
【解析】∵
=70º∴∠EOD=100º
∵OA平分角EOC
∴∠COA=∠EOA=35°
又∵∠BOD=180º-∠EOA-∠EOD=180º-35º-100º
∴∠BOD=55°
答案：
55°
练9.已知∠AOE=100º，∠DOF=80º。
OE平分∠DOC，OF平分∠AOC。
求∠EOF的度数。
【解析】已知∠AOE＝∠AOC+∠COE＝100°，∠DOF＝∠DOC+∠COF＝80°，∠DOC＝
2∠COE，∠AOC＝2∠COF，∠EOF＝∠COE+∠COF。
则有∠AOE+∠DOF＝∠AOC+∠COE+∠DOC+∠COF
＝3∠COF+3∠COE＝3∠EOF＝180°，则∠EOF＝60°
答案：
60°
练10.如图，∠AOB=90º，∠AOC是锐角，OF平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠EOF的度数。
【解析】OF平分∠AOC,∠FOC=1/2*∠AOC
OE平分∠BOC,∠EOC=1/2*∠BOC
∠EOF=∠FOC+∠EOC
=1/2*∠AOC+1/2*∠BOC
=1/2（∠AOC+∠BOC）
=1/2*∠AOB
=1/2*90°
=45°
答案：
45º
4.余角与补角方位角
【例4】如果一个角的补角是120°,则这个角的余角是（ ）
A.150°B.90°C.
60°D.30°
【解析】这个角的补角是120º，那么这个角为60º，所以余角为30º。
答案：
30º
总结：
互为补角的两个角和为180度，互为余角的两个角和为90度。
练11.A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是（）
（A）南偏东60°（B）南偏西60°（C）南偏东30°（D）南偏西30°
【解析】反过来看，参照物不同，位置相反为南偏西30º。
答案：
D
练12.70°的余角是________，补角是_________。
【解析】互为余角的两个角和90º，互为补角的两个角和为180º。
答案：
20º110º
练13.∠（∠<90°）的余角是_________，它的补角是___________。
答案：
90º-∠180º-。
练14.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数。
【解析】设补角为4x度，则余角为x度，据题意列方程得：
4x-x=90º
x=30º
90º-30º =60º
答案：
60º
1.下列说法正确的是（）
A.两点之间直线最短
.用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大
.把一个角分成两个角的射线叫角的平分线
.直线
经过点
，那么点
在直线
上呢
2.下图中，小于平角的角有（ ）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
3.（2014前门外国语期末）如图所示，射线OA表示的方向，射线OB表示的方向,则
∠AOB=（）
A.155°B.205°C.85°D.105°
4题图
3题图
2题图
4.一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么
ABC=（）
A.60°B.15°C.45°D.70°
5.角也可以看作由旋转面形成的图形。
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
1.下列说法中，正确的是（）
A．平角是一条直线。
B.一条直线是一个周角
C．两边成一条直线的角是平角D.直线是平角
2.（2014五中分月考）已知如图：
试用三个大写字母表示:
∠1就是，
∠2就是，∠3就是，∠4就是。
3.在时刻8：
30，时钟上的时针与分针之间的夹角是______,20时15分，时针与分针的夹角是_______,2:
25时，时针与分针的夹角是________.
4.如图，AB是直线，∠1=∠2=50°36′求∠3的度数。
5.在∠AOB的内部引一条射线OC,可得几个小于平角的角
?
引两条射线OC、OD呢?
引三条射线OC、OD、OE呢?
若引n条射线一共会有多少个角?
6.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，
则∠AOC的度数为_____________
7.如图,把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度,得∠A′OB′,指出图中所有相等的角,并简要说明理由.
8.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:
5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数。
9.（2014吉安期末）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，
∠1=40°，求∠2与∠3的度数。
10.如图1，点A在O的北偏东°，点B在O的°
点C在O的°，点D在O的°.
11．如图2所示，下列说法中错误的是（）
A．
的方向是北偏东
B．
的方向是北偏西
C．
的方向是南偏西
D．
的方向是正东南方向
12．（2014中山一中期末）书店、学校、食堂在平面上分别用点
、
、
来表示，书店在学校的北偏西
，食堂在学校的南偏东
，则平面图上的
应该是（）
A．
B．
C．
D．
13．甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B,乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是（）
A.85°B.160°C.125°D.105°
14．
看
的方向是北偏东
，则
看
的方向是.
15.（2014成都中考）如果∠α和∠β互补，且α>β，则下列表示β的余角的式子中正确的有_______
90°—βα—90°½（α+β）
½（α—β）
A.
B.
C.D.
参考答案
当堂检测
1.D2.D3.A4.C5.一条射线绕着它的端点
家庭作业
1.C2.∠ABD∠CBD∠BDA
3.90º157.5º77.5º
4.79º28’
5.3610（n+1）（n+2）/2
6.40º或者80º
7.①∠AOB=∠A′OB′．
因∠A′OB′是由∠AOB旋转得到的．
②∠AOA′=∠BOB′．
∵∠AOB=∠A′OB′，
∴∠AOB-∠A′OB=∠A′OB′-∠A′OB，
∴∠AOA′=∠BOB′．
8.∵BE分∠ABC为2∶5两部分
∴∠ABE：
∠EBC=2：
5
∴2∠EBC=5∠ABE
设∠ABD=x
∴∠EBC=x+21°，∠ABE=x°-21°
∴2（x+21°）=5（x-21°）
∴x=49°
∴∠ABC=2x=98°
9.∠3＝180°－∠FOC－∠1
＝180°－90°－40°
＝50°
∠AOD＝180°－∠3
＝180°－50°
＝130°
∵OE平分∠AOD
∴∠2＝½×∠AOD
＝½×130°
＝65°
10.30南偏东45南偏西75北偏西75
11.A
12.C
13.C
14.南偏西50º
15.B
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