考点整合与训练第四章 三角函数解三角形 第7节 解三角形应用举例.docx
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考点整合与训练第四章三角函数解三角形第7节解三角形应用举例
第7节 解三角形应用举例
最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
知识梳理
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角:
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°,北偏西45°等.
4.坡度:
坡面与水平面所成的二面角的正切值.
5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系,从而应用正、余弦定理求解.
[微点提醒]
1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易出现错误.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )
(2)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )
解析
(2)α=β;(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
答案
(1)√
(2)× (3)× (4)√
2.(必修5P11例1改编)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为( )
A.50mB.50mC.25mD.m
解析 由正弦定理得=,
又∵∠CBA=30°,
∴AB===50(m).
答案 A
3.(必修5P15练习T3改编)如图所示,D,C,B三点在地面的同一条直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB=________.
解析 由已知得∠DAC=30°,△ADC为等腰三角形,
AD=a,所以在Rt△ADB中,AB=AD=a.
答案 a
4.(2019·雅礼中学月考)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°B.北偏西10°
C.南偏东80°D.南偏西80°
解析 由条件及图可知,∠A=∠CBA=40°,
又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
答案 D
5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=________.
解析 如图,连接正六边形的对角线,将正六边形分成六个边长为1的正三角形,从而S6=6××12×sin60°=.
答案
6.(2018·福州模拟)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为________.
解析 因为sin∠BAC=,且AD⊥AC,
所以sin=,
所以cos∠BAD=,在△BAD中,由余弦定理,
得BD=
==.
答案
考点一 求距离、高度问题
多维探究
角度1 测量高度问题
【例1-1】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.
解析 由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.
又AB=600m,故由正弦定理得=,
解得BC=300(m).
在Rt△BCD中,CD=BC·tan30°=300×=100(m).
答案 100
规律方法 1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.
2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.
3.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
【训练1】如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( )
A.5B.15C.5D.15
解析 在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.
由正弦定理得=,
所以BC=15.
在Rt△ABC中,
AB=BCtan∠ACB=15×=15.
答案 D
角度2 测量距离问题
【例1-2】如图所示,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2个小时的时间进行徒步攀登,已知∠ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1km,AC=3km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米,请问:
两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰?
(即从B点出发到达C点)
解 在△ABD中,由题意知,∠ADB=∠BAD=30°,
所以AB=BD=1km,因为∠ABD=120°,由正弦定理得=,解得AD=km,
在△ACD中,
由AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos150°,
得9=3+CD2+2×CD,
即CD2+3CD-6=0,解得CD=km(负值舍去),
BC=BD+CD=km,
两个小时小王和小李可徒步攀登1250×2=2500米,
即2.5千米,而<==2.5,
所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.
规律方法 1.选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
2.确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
【训练2】海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向,且与A相距10海里的C处,沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.
解析 设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时,如图,则由已知得△ABC中,AC=10,AB=21x,BC=9x,∠ACB=120°.
由余弦定理得:
(21x)2=100+(9x)2-2×10×9x×cos120°,
整理,得36x2-9x-10=0,
解得x=或x=-(舍).
所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.
答案
考点二 测量角度问题
【例2】已知岛A南偏西38°方向,距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?
解 如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x,AC=5,依题意,
∠BAC=180°-38°-22°=120°,
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,
所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.
又由正弦定理得sin∠ABC===,所以∠ABC=38°,
又∠BAD=38°,所以BC∥AD,
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.
规律方法 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
【训练3】如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
解析 依题意可得AD=20m,AC=30m,
又CD=50m,
所以在△ACD中,由余弦定理得
cos∠CAD==
==,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 B
考点三 正(余)弦定理在平面几何中的应用
【例3】(2019·洛阳二模)如图,已知扇形的圆心角∠AOB=,半径为4,若点C是上的一动点(不与点A,B重合).
(1)若弦BC=4(-1),求的长;
(2)求四边形OACB面积的最大值.
解
(1)在△OBC中,BC=4(-1),OB=OC=4,
所以由余弦定理得cos∠BOC==,
所以∠BOC=,
于是的长为×4=π.
(2)设∠AOC=θ,θ∈,则∠BOC=-θ,
S四边形OACB=S△AOC+S△BOC=×4×4sinθ+×4×4·sin=24sinθ+8cosθ=16sin,
由于θ∈,
所以θ+∈,
当θ=时,四边形OACB的面积取得最大值16.
规律方法 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
2.寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果,求解时要灵活利用平面几何的性质,将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.
【训练4】(2019·成都诊断)如图,在平面四边形ABCD中,已知A=,B=,AB=6.在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=,EC=.
(1)求sin∠BCE的值;
(2)求CD的长.
解
(1)在△BEC中,由正弦定理,知=,
因为B=,BE=1,CE=,
所以sin∠BCE===.
(2)因为∠CED=B=,所以∠DEA=∠BCE,
所以cos∠DEA====.
因为A=,所以△AED为直角三角形,又AE=5,
所以ED===2.
在△CED中,
CD2=CE2+DE2-2CE·DE·cos∠CED=7+28-2××2×=49.
所以CD=7.
[思维升华]
利用解三角形解决实际问题时:
(1)要理解题意,整合题目条件,画出示意图,建立一个三角形模型;
(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念;(3)三角函数模型中,要确定相应参数和自变量范围,最后还要检验问题的实际意义.
[易错防范]
在三角形和三角函数的综合问题中,要注意边角关系相互制约,推理题中的隐含条件.
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为( )
A.kmB.kmC.kmD.2km
解析 如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,∴=,
∴AC=2×=(km).
答案 A
2.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:
①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
解析 对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A,B两点间的距离,对于②直接利用余弦定理即可确定A,B两点间的距离.
答案 D
3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )
A.10海里B.10海里
C.20海里D.20海里
解析 如图所示,易知,
在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,
根据正弦定理得=,
解得BC=10(海里).
答案 A
4.(2019·深圳模拟)一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为( )
A.mB.m
C.mD.m
解析 如图所示.
在Rt△ACD中可得CD==BE,
在△ABE中,由正弦定理得=,
则AB=,所以DE=BC=200-=(m).
答案 A
5.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于( )
A.240(-1)mB.180(-1)m
C.120(-1)mD.30(+1)m
解析 如图,
∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60m,
在Rt△ACD中,CD===60(m),
在Rt△ABD中,BD====60(2-)(m),
∴BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).
答案 C
二、填空题
6.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=________.
解析 在△ACD中,由余弦定理可得
cosC==,
则sinC=.
在△ABC中,由正弦定理可得=,
则AB===.
答案
7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.
解析 连接OC,由题意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°.
在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=50.
答案 50
8.如图所示,位于A处的信息中心获悉:
在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ的值为________.
解析 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800⇒BC=20.
由正弦定理,得=
⇒sin∠ACB=·sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=.
由θ=∠ACB+30°,得cosθ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.
答案
三、解答题
9.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后看山顶的俯角为45°,则山顶的高度为多少米?
(取=1.4,=1.7)
解 如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).
又在△ABC中,=,
所以BC=×sin15°=10500(-).
因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC
=10500(-)×=10500(-1)
≈7350(m).
故山顶的高度为10000-7350=2650(m).
10.在△ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.
解 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,
所以a=3.
又由正弦定理,得sinB===,
由题设知0
所以cosB===.
在△ABD中,因为AD=BD,
所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B.
由正弦定理,得AD====.
能力提升题组
(建议用时:
20分钟)
11.(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:
在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为( )
A.210(+)米B.140米
C.210米D.20(-)米
解析 由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米,在△ABC内,由余弦定理:
BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC,
即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420(米).
在△ACH中,AC=420米,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,
由正弦定理:
=.
可得CH=AC·=140(米).
答案 B
12.校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10m(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50s,升旗手应以________m/s的速度匀速升旗.
解析 依题意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,
∴∠EAC=180°-45°-105°=30°.
由正弦定理可知=,
∴AC=·sin∠CEA=20m.
∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=20×=30m.
∵国歌时长为50s,∴升旗速度为=0.6m/s.
答案 0.6
13.某人为测出所住小区的面积,进行了一些测量工作,最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形,测得的数据如图所示,则该图所示的小区的面积是________km2.
解析 如图,连接AC,由余弦定理可知AC==,
故∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠DAC=∠DCA=15°,∠ADC=150°,
由=,
得AD==,
故S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=×1×+××=(km2).
答案
14.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=,AD∶AB=2∶3,BD=,AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值;
(2)若∠BCD=,求CD的长.
解
(1)∵AD∶AB=2∶3,
∴可设AD=2k,AB=3k(k>0).
又BD=,∠DAB=,∴由余弦定理,
得()2=(3k)2+(2k)2-2×3k×2kcos,
解得k=1,∴AD=2,AB=3,
sin∠ABD===.
(2)∵AB⊥BC,∴cos∠DBC=sin∠ABD=,
∴sin∠DBC=,∴=,
∴CD==.