高一立体几何练习题.docx
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高一立体几何练习题
东城中学第五周周练（立几
一.选择题:
（12*5=601.设有两条直线a、b和两个平面
α、β
则下列命题中错误的是（
A.若//aα,且//ab,则bα⊂或//bαB.若//ab,且,abαβ⊥⊥,则//αβ
C.若//α
β,且,abαβ⊥⊥,则//abD.若ab⊥,且//aα,则bα⊥
2.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个（（A棱台（B棱锥（C棱柱（D都不对
3、正三棱锥ABCS—的侧棱长和底面边长相等,如果E、F分别为SC,AB的中点,那么异面直线EF与SA所成角为（
A.090B.060C.045D.0304.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中:
①BM与DE平行;
②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角④DM与BN垂直
以上四个命题中,正确的是（
A.①②③
B.②④
C.②③④D.D.③④
5、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
45,腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是（
A.
2
221+B.
22+C.21+D.2
21+
6、给出下列关于互不相同的直线,,mnl和平面,αβ的四个命题:
（1
,mAAlm∉=⊂点αα则
l
与m不共面;（2
l
、m是异面直线,
α
αα⊥⊥⊥nmnlnml则且,,,//,//;（3若
m
lml//,//,//,//则βαβα;（4若
ββαα//,//,,,mlAmlml点=⊂⊂,则β
α//,其中为错误的命题是（个.
A.1个B.2个C.3个D.4个
7、设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题:
①若ba⊥,α⊥a,α⊄b,则α//b;②若α
//a,βα⊥,则β
⊥a;
③若β⊥a
βα
⊥,则α//a或α⊂a;④若ba⊥,α⊥a,β⊥b,则βα⊥
其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.3（
8.定点P不在△ABC所在平面内,过P作平面α,使△ABC的三个顶点到α的距离相等,这样的平面共有（（A1个（B2个
（C3个（D4个
9、下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点中不共面...
的一个图是
P
S
S
Q
R
P
Q
Q
S
S
P
P
Q
S
S
（A（B（C（D
10、如图,在一根长11cm,外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面,用一根细铁丝缠绕,组成10个螺旋,
如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上,则铁丝长度的最小值为
（A61cm（Bcm（Ccm（D10cm11.如图,在长方体
1111DCBAABCD-中,
4
61===AAADAB个平行截面将长方体分成三部分,其体积分别记为111DFDAEAVV-=,CFCBEBVV11113==。
若1:
4:
1:
:
321
=VVV,则截面11EFDA的面积为（A4
（B8（C4（D16
12.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧且相距是1,那么这个球的半径是（A.4
B.3
C.2
D.5
二.填空题:
（4*6=24
13已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是.①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中,正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号.
14.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的
中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为__________
15如图,一个盛满水的三棱锥容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞
F
ED,,,且知
1:
2:
:
:
:
===FSCFEBSEDASD,若仍用这个个容器盛水,则最多可盛水的体积是原来的__
16.平面α∥平面β,过平面α、β外一点P引直线PAB分别交α、β于A、B两点,PA=6,AB=2,引直线PCD分别交α、β于C、D两点.已知BD=12,则AC的长等于_______
A
C
BE
三.解答题:
例1如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:
（1CD⊥AE;（2PD⊥平面ABE.
例2（2012·江苏如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点（点D不同于点C,且AD⊥DE,F为B1C
1的中点.求证:
（1平面ADE⊥平面BCC1B1;（2直线A1F∥平面ADE.
变式2:
（2011·江苏如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:
（1直线EF∥平面PCD;（2平面BEF⊥平面PAD.
（2解:
线段A1B上存在点Q,使A
1
C⊥平面DEQ.
理由如下:
如图,分别取A1C,A
1
B的中点P,Q,则PQ//BC.
又DE//BC,∴DE//PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由（1知,DE⊥平面A1
DC,
1.
DEAC∴⊥
又P是等腰三角形DA1C底边A
1
C的中点,
1,
ACDP
∴⊥∴A
1
C⊥平面DEP.
从而A
1
C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q,使得A
1
C⊥平面DEQ.
例3如图所示,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,试问截面在什么位置时其截面面积最大?
变式3如图,在正方体
ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:
当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
17.如图,在四面体ABCD中,已知所有棱长都为a,点E、F分别是AB、CD的中点.（1求线段EF的长;（EF是两异面直线AB与CD的公垂线;（2求异面直线BC、AD所成角的大小.12分
1812分如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,PQ分别是线段AD1和BD上的点,且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
（1求证PQ∥平面CDD1C1;（2求证PQ⊥AD;.
1912分如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5,点D是AB的中点,（I求证:
AC⊥BC1;（II求证:
AC1//平面CDB1;
20、如图,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且
2
1
aADAF==
G是EF的中点,（1求证平面AGC⊥平面BGC;（2求GB与平面AGC所成角的正弦值..13分
21.（13分如图所示的一组图形为某一四棱锥S—ABCD的侧面与底面,（1请画出四棱锥S—ABCD的示意图,使SA⊥平面ABCD,并指出各侧棱长;（2在（1的条件下,过A且垂直于SC的平面分别交于SB、SC、SD于E、F、G.求证AE⊥平面SBC.
22、（本小题满分14分如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.（Ⅰ求证AE⊥平面BCE;（Ⅱ求二面角B—AC—E的大小;（Ⅲ求点D到平面ACE的距离.
答案
1-4DACD;5-8BADD9-12DACB
13①②④
15
27
2316,AC=9.18
17.（1连CE、DE,在等边△ABC中,EC=DE=
2
a,∴EF是等腰△ECD底边上的高,EF⊥CD,
EF=
2
2CFEC-=
2
2a
（2方法一:
取BC中点G,连AG、DG,易知BC⊥AG、BC⊥DG,
∴BC⊥面AGD,则BC⊥AD,∴BC,AD所成角为900,方法二:
取AC中点H,连EH、FH,则θ=∠EHF是BC、AD所成的角,
由余弦定理得cosθ
=
HF
EHEFHFEH∙-+2222=0,θ=900,
１８．讲解:
（1）在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作QQ1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1.∵D1PDQ5==,PAQB12∴PP1//QQ1.知PQ∥P1Q1由四边形PQQ1P1为平行四边形,而P1Q1Ì平面CDD1C1，
（2）QAD⊥平面D1DCC1，又∵PQ∥P1Q1，所以PQ∥平面CDD1C1∴AD⊥P1Q1，∴AD⊥PQ.１９．解法一：
（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DEÌ平面CDB1，AC1Ë平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；２０．
（1）证明：
正方形ABCDÞCBABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEFCB⊥BG又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∵AG，GBÌ面ABEF，∴CB⊥AG，^AB∵面ABCD⊥面∴AG=BG=AGC，2a，AB=2a，AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG∵CG∩BG=B∴AG⊥平面CBG而AGÌ面故平面AGC⊥平面BGC∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角
（2）解：
如图，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴在Rt△CBG中BH=BC×BG=CGBC×BGBC+BG22=23a3又BG=2a，∴sinÐBGH=BH6=BG3２１．
（1）画出示意图如右，其中，SA=2a,SB=SD=3a,SC=2a.
（2）∵SC⊥平面AEFG，A又AEÌ平面AEFG，∴AE⊥SC，∵SA⊥平面BD，又BCÌ平面BD，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB=A,∴BC⊥平面SBＡ，∴ＢＣ┻ＡＥ∴AE⊥平面SBC，２２．．解：
（Ⅰ）QBF^平面ACE.\BF^AE.∵二面角D—AB—E为直二面角，且CB^AB，\CB^平面ABE.\CB^AE.\AE^平面BCE.…………4分（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，
∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=2，QBF^平面ACE，由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.\ÐBGF是二面角B—AC—E的平面角.…….6分由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，又QAE∴在等腰直角三角形AEB中，BE=又Q直角DBCE中,EC=EB，2.=BC2+BE2=6,BF=BC×BE2´223，==EC36BF\直角DBFG中,sinÐBGF==BG∴二面角B—AC—E等于arcsin（Ⅲ）过点E作EO233=6.32………………………………………9分6.3^AB交AB于点O.OE=1.∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h，QVD-ACE11=VE-ACD,\SDACB×h=SDACD×EO.3311AD×DC×EO´2´2´123QAE^平面BCE，\AE^EC.\h=2=2=.113AE×EC2´622∴点D到平面ACE的距离为23.3………..12分
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