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华师大版九年级下册数学知识点总结
第二十六章二次函数
一、二次函数概念:
1、二次函数的概念:
一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2。
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
yax2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
0,0
y轴
x0时,y随x的增大而增大;
x0时,y随x的增大而减小;x0时,y有最小值0。
a0
向下
0,0
y轴
x0时,y随x的增大而减小;
x0时,y随x的增大而增大;x0时,y有最大值0。
2.yax2c的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
0,c
y轴
x0时,y随x的增大而增大;
x0时,y随x的增大而减小;x0时,y有最小值c。
a0
向下
0,c
y轴
x0时,y随x的增大而减小;
x0时,y随x的增大而增大;x0时,y有最大值c。
2
3.yaxh的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
h,0
X=h
xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随x的增大而减小;
xh时,y有最小值0。
a0
向下
h,0
X=h
xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随x的增大而增大;
xh时,y有最大值0。
2
4.yaxhk的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
h,k
X=h
xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随x的增大而减小;xh时,y有最小值k。
a0
向下
h,k
X=h
xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随x的增大而增大;xh时,y有最大值k。
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
2
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2k,确定其顶点坐标h,k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”。
概括成八个字“左加右减,上加下减”。
方法二:
⑴yax2bxc沿y轴平移:
向上(下)平移m个单位,
yax2bxc变成yax2bxcm(或yax2bxcm)
⑵yax2bxc沿轴平移:
向左(右)平移m个单位,
以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
2.当a0时,抛物线开口向下,对称轴为xb,顶点坐标为2a
2增大而增大;当xb时,y随x的增大而减小;当xb时,y有最大值4acb2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
1.
一般式:
y
2ax
bxc(a,b,c为常数,a0);
2.
顶点式:
y
a(x
2
h)2k(a,h,k为常数,a0);
3.
两根式:
y
a(x
x1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示。
二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数yax2bxc中,a作为二次项系数,显然a0。
⑴当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;
⑵当a0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大。
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小。
2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴。
0的前提下,
当b0时,
b0,即抛物线的对称轴在
2a
y轴左侧;
当b
0时,
b
0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
当b
0时,
b
0,即抛物线对称轴在
y轴的右侧。
2a
0的前提下,
结论刚好与上述相反,即
当b
0时,
b
2a
0,
当b
0时,
b
0,
2a
当b
0时,
b
0,
2a
即抛物线的对称轴在
即抛物线对称轴在y轴的左侧。
即抛物线的对称轴就是y轴;
y轴右侧;
总结起来,在a确定的前提下,
ab的符号的判定:
对称轴
b决定了抛物线对称轴的位置。
b
b在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概括的说就是“左2a
同右异”总结:
3.常数项c
⑴当c
⑵当c
⑶当c总结起来,总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的。
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法。
用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便。
一般来说,有如下几种情况:
已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。
y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与
0时,抛物线与
0时,抛物线与
0时,抛物线与
c决定了抛物线与y轴交点的位置。
y轴交点的纵坐标为正;y轴交点的纵坐标为0;y轴交点的纵坐标为负。
1.
2.
3.
4.
九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1.关于x轴对称
yax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
2
yaxhk关于x轴对称后,得到的解析式是
a永远不变。
求抛物
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式。
十、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数:
1
当b24ac0时,图象与x轴交于两点Ax1,0,Bx2,0(x1x2),其中的x1,x2是一元二次方程
2当0时,图象与x轴只有一个交点;
3当0时,图象与x轴没有交点.
1'当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;2'当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0。
3.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交
点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数;下面
以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
0
抛物线与x轴有
两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
0
抛物线与x轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
0
抛物线与x轴无
交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
二次函数图像参考:
一、函数的应用
刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
第二十七章:
《圆》
一、知识回顾
圆的周长:
C=2πr或C=πd、圆的面积:
S=πr2
圆环面积计算方法:
S=πR2-πr2或S=π(R2-r2)(R是大圆半径,r是小圆半径)
、知识要点
一、圆的概念集合形式的概念:
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2
、圆的外部:
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3
轨迹形式的概念:
、圆的内部:
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
1、圆:
到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
固定的端点O为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。
2、垂直平分线:
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;
3、角的平分线:
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)无交点
外切(图2)有一个交点
相交(图3)有两个交点
内切(图4)有一个交点
五、垂径定理垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,
即:
简称2推3定理:
此定理中共5个结论中,
只要知道其中
2个即可推出其它3个结论,
①AB是直径②AB
中任意2个条件推出其他推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
CD③CEDE④弧BC弧BD3个结论。
弧AC
弧AD
即:
在⊙
∴弧
O中,∵AB∥CD
AC弧BD
六、圆心角定理顶点到圆心的角,圆心角定理:
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即:
①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
叫圆心角。
此定理也称1推
七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角。
B
O
1、圆周角定理:
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即:
∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
∴AOB2ACB
2、圆周角定理的推论:
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
即:
在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角
∴CD
推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:
在⊙O中,∵AB是直径或∵C90
∴C90∴AB是直径
推论3:
若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:
在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90注:
此推论实是初二年级几何中矩形的推论:
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:
圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:
在⊙O中,
线;
∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180BD180
DAEC
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:
过半径外端且垂直于半径的直线是切
两个条件:
过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:
∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线
(2)性质定理:
切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:
①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:
∵PA、PB是的两条切线
∴PAPB
PO平分BPA
十一、圆幂定理
(1)相交弦定理:
圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即:
在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P,
∴PAPBPCPD
(2)推论:
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:
在⊙O中,∵直径ABCD,
2
∴CE2AEBE
(3)切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即:
在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线
∴PA2PCPB
(4)割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:
在⊙O中,∵PB、PE是割线
∴PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:
O1O2垂直平分AB。
即:
∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点
∴O1O2垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:
RtO1O2C中,AB2CO12O1O22CO22;
(2)外公切线长:
CO2是半径之差;内公切线长:
CO2是半径之和十四、圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进行:
10
OD:
BD:
OB1:
3:
2;
2)正四边形
2、圆柱:
(1)A圆柱侧面展开图
2
S表S侧2S底=2rh2r2
B圆柱的体积:
Vr2h
(2)A圆锥侧面展开图
S表S侧S底=Rrr2
12
B圆锥的体积:
V1r2h
3
第二十八章样本与总体
重点、难点:
1.重点:
⑴了解普查与抽样调查的概念,并能根据实际情况确定收集数据的方式;
⑵了解总体、个体、样本等概念,能够指出研究对象的总体、个体与样本;⑶学会用科学的随机抽样的方法,选取合适的样本进行抽样调查,用样本估计总体;⑷通过整理和分析数据,准确地作出决策。
2.难点:
⑴正确识别问题中的总体、个体、样本、样本容量等,并能选择合适的样本看总体;⑵能够对数据的来源,处理数据的方法,以及由此得到的结果进行合理的分析。
三.知识梳理:
知识点
内容关注
注意事项
总体、个体、
样本、样本容量
总体是考察对象的主体,个体是组成总体的每一个对象,样本是总体中的一部分个体,样本容量是样本包含的个体数量
样本容量是一个
样本中个体的数量
普查与抽样
调查
普查是对所有对象进行调查,抽样调
查是对部分对象进行调查
普查与抽样调查
的范围不同
简单的随机抽样
使样本具有代表性,不偏向总体中的某些个体,对每个个体都公平的方法,就是用抽签的方法决定个体进入样本
简单的随机抽样对总体中每个个体来说,被抽到的机会是均等的
随机性
在抽样前,不能预测哪些个体会被抽中,这种不能事先预测结果的特性称为随机性
随机性是抽取样本具有代表性的重要保障
抽样调查的可靠性
用随机抽样的方法获取样本,且样本容量合适时,由样本得出的特性会更接近总体的特性
⑴样本在总体中需有代表性;
⑵样本容量应该足够大;
⑶样本要避免遗漏某一个群体
借助调查作
决策
通过媒体收集信息,将信息进行全
面、科学地分析
分析角度不同,得到的结论也会不同
容易误导决策的统计图
媒体中数据很多,有许多有用的信
息,但信息不一定可靠,要全面分析
考虑信息的时效性、可靠性和代表性