求解对流扩散方程的pade逼近格式.docx
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求解对流扩散方程的pade逼近格式
新疆大学毕业论文（设计）
题目:
求解对流扩散方程的pade迫近格式
所属院系：
数学与系统科学学院____________________
专业：
数学与应用数学________________________
声明
自己郑重申明该毕业论文（设计）是自己在开依沙尔老师指导下独立达成的，自己拥有自主知识产权，没有剽窃、剽窃别人成就，由此造成的知识产权纠葛由自己负责。
申明人（署名）：
2012年
月
日
买买提江.卡热同学在指导老师的指导下，依照任务书的内容，独立达成了该毕业论文（设计），指导教师已经详尽批阅该毕业论文（设计）。
指导教师（署名）：
2012年月日
新疆大学
毕业论文（设计）任务书
班级：
应数08-1姓名：
买买提江.卡热论文（设计）题目:
求解对流扩散方程的pade迫近格式专题：
毕业设计
要求达成的内容：
学习和掌握一维对流扩散方程已有的各
种差分格式的基础上，对流扩散方程对
对空间变量应用二阶中心差分格式失散，对
时间变量应用pade迫近，结构鉴于pade逼
近的扩散方程O3h2
数值格式，议论稳固
性，最后数值例子来考证。
发题日期：
2011
年12月25
日达成日期：
2012
年5月22日
实习实训单位：
地址：
论文页数：
20页；
图纸张数：
8
指导教师：
教研室主任：
院
长：
纲要
本文第一对对流扩散方程经典差分格式进行复习和议论，而后对空间变量中
心差分格式失散，所获得常微分方程组利用指数函数的Pade迫近格式获得截断偏差为O3h2的两层绝对稳固的隐式差分格式，并议论了稳固性，数值结果与Crank-Nicholson格式进行比较，数值结果表示,该方法是有效求解对流扩散方
程的数值计算.
要点词:
扩散方程；Pade迫近；两层隐格式；Crank-Nicolson格式
ABSTRACT
ThispaperfirststudyonsomeclassicalfinitedifferencefortheconvectiondiffusionequationsecondlyweapplycentraldifferenceapproximationofsecondorderfordiscreditingspatialderivativesandpadeapproximationintimedirectionderivedopaltruncationerrorO3h2twolevelunconditionalballsatiableimplicitschemeanddiscussedthestability.NumericalexperimentscomparedwithCrank-Nicolsonscheme.NumericalexperimentsshowsthatthismethodUseful,efficientmethodforsolvingconvection-diffusionequation.
Keywords:
convection-diffusionequation；padeapproximation；twolevelimplicitscheme；Crank-Nicolsonmethod
1前言1
1.1预备知识2
2.对流扩散方程的几种常有的差分格式.4
2.1中心显式差分方法及性质4
2.2Leap-Frog/Dufort-Frankel差分方法及性质：
5
2.3Crank-nicolson型隐式差分方法及性质：
6
2.4隐式迎风格式及性质7
3.本文差分格式的成立8
3.1本文高精度紧致差分格式8
稳固性剖析.9
4．数值实验12
5．结论22
道谢23
参照文件24
1.前言
考虑简单的对流扩散方程
u
u
2u，x
R，t
0此中为,
常数，0
（1）
t
x
x2
对流扩散方程是一类在物理上有侧重要意义的抛物型方程，往常我们将对流方
程和扩散方程的差分方法联合起来就能够获得对流扩散方程的差分方法，当极
小时，方程反应对流方程的特色，当极小时，方程反响扩散方程的特色,但另一方面，对流扩散方程也有其独到的特色，在自然科学中好多现象是用对流扩散方程或方程组描绘的，一般方程的正确解很难获得的，所以大多半状况用数值方法求解。
本文考虑采纳差分格式进行求解。
当前对该问题主要差分格式有中心显
式差分格式,Dufort-Frankel差分格式,Crank-Nicholson格式等[2，3],一些常用的数值解法将会碰到某些共有的困难，比如,计算出来的数值解拥有较大的数
值扩散或较大的非物理性振荡现象[4]所以研究对流扩散问题的新的数值解法具
有十分重要的意义。
文[5]顶用时间隔散方法对对流扩散方程求解获得了空间方
向拥有7阶精度的差分格式,可是在时间方向拥有2阶精度。
本文中对对流扩散方
程x方向应用二阶中心差分别散,t方向保持变，获得对时间变量的常微分方程组，假如x方向分的越细.求解常微分方程组时出现刚性现象,为了防止刚性和有效的求解扩散方程本文用pade迫近方法有效地求解该问题获得截断偏差为
O3h2的两层绝对稳固的隐式差分格式，并议论了稳固性，数值值结果与Crank-Nicholson格式进行比较，数值结果表示,该方法是有效求解对流扩散方程的数值计算.
本文分为三大多半，第一部分简单介绍对流扩散方程的经典差分格式，第二部分主要介绍对流扩散方程的pade迫近格式的结构和稳固性，第三部分给出详细的数值算例，结果与Crank-Nicolson格式，正确值进行比较，最后给出结论
1.1预备知识
利用下边的各样数值微分公式获得不一样的差分格式，
u（xj,tn1）
u（xj,tn）
u（xj,tn1）
u（xj,tn1）
2
u（xj1,tn）
u（xj,tn）
h
u（xj,tn）
u（xj1,tn）
h
u（xi1,tk）
u（xi1,tk）
2h
u（xi1,tk）
2u（xi,tk）
h2
[
u]
n
0（
）,
j
t
[
u
]jn
0（
2
）,
t
[
u]
jn
0（h）,
x
（2）
u]
[
j
n
0（h）,
x
[
u
]i
k
0（h2）,
x
u（xi1,tk）
[
2u
k
0（h
2
）
x
2
]i
截断偏差：
一般说来，微分方程的解不会精准地知足差分方程。
将差分方程中的各个项同时用微分方程的解在相应点的值代入，利用泰勒睁开，就会获得一个偏差项，这个偏差项就是截断偏差。
相容性：
若时间步长以及空间步长h同时趋于0，截断偏差Rnj0，就说差分格式与微分方程是相容的。
一个差分格式与一个微分方程相容，则表示当
h0时，差分算子与微分算子对任一圆滑函数的作用是同样的，所以可用相容的差分格式近似相应的微分方程，而截断偏差则是对这一近似程度的一个胸怀。
收敛性：
观察差分格式在理论上的正确解可否随意迫近微分方程的解。
假如
当时间步长
以及空间步长
h
趋于
0
时，
n
（
）
n
0，我们称差分格式
ej
uxj
tn
uj
是收敛的，即时间步长
以及空间步长h趋于0
时，差分格式的解迫近于微分方
程的解。
稳固性：
差分格式的计算是逐层计算的，计算第n1层上的unj1时，要用到
第n层上计算出来的结果。
计算unj时的舍入偏差，必定会影响到unj1的值，进而就要剖析这类偏差流传的状况。
所以，一个有适用价值的数值方法应当拥有能够控制这类偏差影响的性能，这就是数值方法的稳固性。
精度：
假如一个差分格式的截断偏差EO（qhp），就说差分格式对时间t是q阶精度的，对空间x是p阶精度的。
Lax等价定理[5]：
给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分格式，
则差分格式的稳固性是差分格式收敛性的充足必需条件。
定理1（vonNeumann条件）微分方程
（1）的差分格式稳固的必需条件是当
0，nT,对全部kR有
j（G（,k））1M，j1,2,,p
此中G（,k）为增加因子（或增加矩阵），j（G（,k））表示G（,k）的特色值，M为常数。
定理2假如差分格式的增加矩阵G（,k）是正规矩阵，则vonNeumann条件是差分格式稳固的必需且充足条件。
推论2.1当G（,k）为实对称矩阵，酉矩阵，Hermite矩阵时，vonNeumann条件是差分格式稳固的充足必需条件。
推论
当
p
1时，即G（,k）只有一个元素，则vonNeumann条件是差分
格式稳固的充要条件。
定理3
假如存在常数
K,
0使得
G（,k）
1K
，
0
0，
则差分格式是稳固的。
2.对流扩散方程的几种常有的差分格式
我们考虑以下对流扩散方程齐次边值问题
u
u
2u
[a
xb][0
tT]
t
x
x2
u（x,0）
f（x）
a
x
b
（3）
u（a,t）
0,u（b,t）0,0t
T
下边我们议论（3）各样常有的经典差分格式的结构和稳固性
2.1中心显式差分方法及性质
unj
1unj
unj1
unj1
unj1
2unjunj1
（4）
2h
h2
此中
为常数，易知该格式的截断偏差为
O（
h2）。
假如
0那么式
（1）就是对流方程的一个差分格式。
我们知道这是一个
不稳固的差分格式。
下边关于
0用Fourier
方法议论该格式的稳固性。
若令
r
h
h2
，那么差分格式能够改写为
unj
1
unj
1r（unj1
unj1）
（unj1
2unj
unj1）
（5）
2
求出这个差分格式的增加因子
G（
k）
1
2
（1
cos
kh）
irsinkh,
其模的平方为
2
[1
2
（1
coskh）]2
r
2sin2kh
G（,k）
1
（1
coskh）[4
4
2（1
coskh）
r2（1
coskh）].
因为1coskh
0
，所以G（
k）
1
（此时差分格式稳固）的充足条件为
4
4
2（1
coskh）
r2（1
coskh）
0,
注意到1（1
coskh）[0,1]，所以上边不等式知足的条件为
2
2
8
2
4
2r
2
0,4
2
0,
（2r
）
2r
由此可获得差分格式的稳固性限制为
2
2,
1
h
2
2
说明中心显式差分方法是条件稳固的。
Leap-Frog/Dufort-Frankel差分方法及性质
unj1unj1
2
此中,为常数。
载断剖析：
u（x,t）
Tjn
u（xj,tn
）u（xj,tn）
2
n
n
u
u
tj
xj
unj1unj1
unj1unj
1
unj
1
unj1
2h
h2
（6）
为对流扩散方程的充足圆滑解，那么
u（xj
h,tn）u（xj
h,tn）
u（xjh,tn）
u（xj,tn
）u（xj,tn
）u（xjh,tn）
2h
h2
2u
n
2
2u
n
4
O（
2
h
2
）
O
.
x2
x2
2
j
h
j
h
由此看出，兼容性要求当0，有0，此时，其裁断偏差为O（2h2）
h
稳固性剖析
令r
v
2
2
则差分格式
（2）可改写成
h
h
unj
1
unj
1
r（unj1
unj1）
vunj1
unj
1
unj
1
unj1,
1vunj
1
vrunj1
vrunj1
1vunj
1
因为这个格式是三层格式，由此我们化成与其等价的二层差分方程组
1vunj
1
1vunj
1
[vrunj1
r
vunj1]
设
unj
unj,vnj
1vunj
1
1
vvnj
v
runj1
u
runj1
vnj
1
unj
把上边的方程组写成向量形式
1v0Unj
1
vr0Unj1
01vUjn
vr0Ujn
1
0
1
0
0
1
0
0
0
令Unj
Vneikjh
并将它代入上式获得
1
v
0
Vn
1
vr
0
Vn1eikh
0
1
vVm
v
r0
Vneikh
0
1
0
0
1
0
0
0
由此得增加因子
G,k
vreikh
vreikh
1
v
1
1
v
2vcos
kh
2rsin
kh
1
v
1
v
1
v
i
v
1
v
1
0
1
0
跟据Gerschgorin定理有
2
G,k
G
k
max
gi,j
1
i2j
1
2
2
此中，
gi,j1所以要使该差分格式稳固，一定有
gi,j1即
j
1
j
1
4v2
cos2
kh
4r2rin
2kh
1
v
1
v2
1v
2
1
1
v
2
解不等式易得h
所以，lcap-Frog/DuFort-Frankle
差分方法也是条件稳固的，它稳固的条
件为
2
h
Crank-Nicolson型隐式差分方法及性质
unj
1unj
（unj1ujn1
ujn11unj11）
2
（unj12unj
unj1unj112unj
1unj11）（7）
2
2h
2h
h2
h2
1）Crank-Nicolson格式
考虑以下对流扩散方程的初始界限条件为：
u
u
2u
x
t0
t
x
x2
u（x,0）
f（x）
x1
x
x2
（8）
u（x1,t）
1,u（x2,t）
2
0
tT
2）差分格式为：
1（uj,n
1
uj,n）
[（uj1,n
1
uj
1,n
1）
（u
2h
1/
2
h2[（uj1,n1
2uj,n
1
uj
1,n
1）
（u
j
1,n
uj1,n）]
（9）
j
1,n
2uj,nuj1,n）]
n+1
n
j-1jj+1
进而推导所谓CrankNicholson法
差分格式（5）能够改写为：
（r1
r2）uj1,n1
（1
2r2）uj,n1（r1
r2）uj1,n1
（r2r1）uj1,n
（12r2）uj,n
（r1r2）uj1,n
r1
r2
2h2
（10）
2h
因为不可以直接算出结果，利用了三对角矩阵进行数值计算：
12r2
r1
r2
0
.
0
0
u1,k1
r1r212r2r1r2.
0
0
u2,k
1
0
r1
r2
1
2r2.
0
0
u3,k
1
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
.
12r2
r1
r2
um1,k
1
0
0
0
.
r1
r2
12r2
um,k
1
1
2r2
r1
r2
0
.
0
0
u1,k
r2
r1
1
2r2
r1
r2.
0
0
u2,k
0
r2r1
1
2r2.
0
0
u3,k
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
.
1
2r2
r1
r2
um
1,k
0
0
0
.
r2
r1
1
2r2
um,k
3）截断偏差为：
EO（2h2）
4）稳固条件为：
经过Fourier剖析
2（1
r（1
cos（
pi
/
p）））
2（1
r（1
1
r（1
cos（
pi
/
p））
and
1
1
r（1
cos（
pi
/
p））
（11）
r（u0k1u0k）
0
0
.
0
2r（bM'（k1）bM'（k））
cos（pi/p）））,
所以格式是绝对稳固的。
隐式迎风格式及性质
1）差分格式为：
1
uj,n）
（uj1,n1
1
（12）
（uj,n1
uj1,n1）
2（uj1,n12u
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