二次函数知识点总结.docx
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二次函数知识点总结
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分二次函数基础知识
相关概念及定义
➢二次函数的概念：
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
➢二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二次函数各种形式之间的变换
➢二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：
y=a（x-h）2+k的形式，其中b4ac-b2
h=-，k=.
2a4a
➢二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①y=ax2；②y=ax2+k；
③y=a（x-h）2；④y=a（x-h）2+k；⑤y=ax2+bx+c.
二次函数解析式的表示方法
➢一般式：
y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）；
➢顶点式：
y=a（x-h）2+k（a，h，k为常数，a0）；
➢两根式：
y=a（x-x1）（x-x2）（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
➢注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
➢二次函数y=ax2的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
（0，0）
y轴
x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．
a0
向下
（0，0）
y轴
x0时，y随x的增大增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．
二次函数y=ax2+c的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质性质
a0
向上
（0，c）
y轴
x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．
a0
向下
（0，c）
y轴
x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．
二次函数y=a（x-h）2的性质：
a的符
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
（h，0）
X=h
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0．
a0
向下
（h，0）
X=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0．
二次函数y=a（x-h）2+k的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
（h，k）
X=h
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k．
a0
向下
（h，k）
X=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．
抛物线y=ax2+bx+c的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
➢a的符号决定抛物线的开口方向：
当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
➢对称轴：
平行于y轴（或重合）的直线记作x=-b.特别地，y轴记作直线x=0.2a
b4ac-b2➢顶点坐标坐标：
（-，）
2a4a
➢顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
抛物线y=ax2+bx+c中，a,b,c与函数图像的关系
➢二次项系数a
二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a0．
⑴当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大
小．
➢一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴在a0的前提下，
当b0时，-b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
2a
当b=0时，-b=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
当b0时，-b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．
2a
⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b0时，-b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
2a
当b=0时，-b=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
当b0时，-b0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
2a
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：
➢常数项c
⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
求抛物线的顶点、对称轴的方法
2b4ac-b2
y=ax2+bx+c=açx+÷+
è2aø4a
b4ac-b2b
-，），对称轴是直线x=-.
2a4a2a
➢配方法：
运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）2+k的形式，得到顶点为（h,k），对称轴是直线x=h.
➢运用抛物线的对称性：
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
用待定系数法求二次函数的解析式
➢一般式：
y=ax2+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
➢顶点式：
y=a（x-h）2+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
➢交点式：
已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：
y=a（x-x）（x-x）.
直线与抛物线的交点
➢y轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为（0,c）.
➢与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点（h,ah2+bh+c）.
➢抛物线与x轴的交点:
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐
标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点0抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）=0抛物线与x轴相切；
③没有交点0抛物线与x轴相离.
➢平行于x轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.
一次函数y=kx+n（k0）的图像l与二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像y=kx+n
G的交点，由方程组的解的数目来确定：
①方程组有两组不同y=ax2+bx+c
的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.
抛物线与x轴两交点之间的距离：
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为
A（x，0），B（x，0），由于x、x是方程ax2+bx+c=0的两个根，故
b24cb2-4ac
aaaa
AB=x1-x2=（x1-x2）2=（x1-x2）2-4x1x2=
二次函数图象的对称:
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
➢关于x轴对称y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；y=a（x-h）2+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）2-k；➢关于y轴对称
y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；y=a（x-h）2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a（x+h）2+k；➢关于原点对称
y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；y=a（x-h）2+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a（x+h）2-k；➢关于顶点对称y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c-b；
2ay=a（x-h）2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）2+k．➢关于点（m，n）对称y=a（x-h）2+k关于点（m，n）对称后，得到的解析式是y=-a（x+h-2m）2+2n-k➢总结：
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变
化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数图象的平移
➢平移步骤：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k，确定其顶点坐标（h，k）；
⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
三点式。
1，
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=a（x-1）２+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。
➢顶点式。
1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=4（x+a）2-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
➢交点式。
1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,（5,0）,求抛物线y=（x-a）（x-b）的解析式。
2，已知抛物线线与x轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=1a（x-2a）（x-b）的解析式。
2
➢定点式。
15-a
1，在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y=-1x2+5-ax+2a-2经过x轴上一定点Q，直线y=（a-2）x+2经过点Q,求抛物线的解析式。
2，抛物线y=x2+（2m-1）x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
➢平移式。
1，把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a（x-h）2+k,求此抛物线解析式。
2，抛物线y=-x2+x-3向上平移,使抛物线经过点C（0,2）,求抛物线的解析式.
➢距离式。
1，抛物线y=ax2+4ax+1（a﹥0）与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=mx2+3mx-4m（m﹥0）与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
➢对称轴式。
1、抛物线y=x2-2x+（m2-4m+4）与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
2、已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点C,且
3
OB-OA=3OC，求此抛物线的解析式。
4
➢对称式。
1，平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。
AD交y轴于E，将三角形ABC沿x轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2，求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。
➢切点式。
1，已知直线y=ax-a2（a≠0）与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2，直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。
➢判别式式。
1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+（m+1）x+3解析式。
2、已知抛物线y=（a+2）x2-（a+1）x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
3、已知抛物线y=（m+1）x2+（m+2）x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0），特别注意a不为零那么y叫做x的二次函数。
y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x=-b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a
抛物线的主要特征：
1有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
口诀一般两根三顶点
（1）一般一般式：
y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）
（2）两根当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c=a（x-x）（x-x），二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a（x-x1）（x-x2）。
如果没有交点，则不能这样表示。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小,a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
（3）三顶点顶点式：
y=a（x-h）2+k（a,h,k是常数，a0）知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
b4ac-b2
x=-2a时，y最值=4a。
如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看-b是否在自变量取值范围
122a
b4ac-b2
x1xx2内，若在此范围内，则当x=-b时，y最值=4ac-b；若不在此范围内，则
2a4a
需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x时，y=ax2+bx+c，当x=x时，y=ax2+bx+c；如果在此范围内，
y随x的增大而减小，则当x=x1时，y=ax12+bx1+c，当x=x2时，y最小=ax22+bx2+c。
☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
当a0时
x=0（y轴）
（0,0）
y=ax2+k
开口向上
x=0（y轴）
（0,k）
y=a（x-h）2
当a0时
x=h
（h,0）
y=a（x-h）2+k
开口向下
x=h
（h,k）
y=ax2+bx+c
bx=-
2a
b4ac-b2（-，）2a4a
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）
a>0
a<0
y
y
图像
0x
0x
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=-b，顶点坐标是（-b，
（2）对称轴是x=-b，顶点坐标是（-b，
2a2a
2a2a
4ac-b2
4ac-b2
）；
4a
）；
4a
（3）在对称轴的左侧，即当x<-时，y随x
（3）在对称轴的左侧，即当x<-b时，y随
2a
2a
性质
的增大而减小；在对称轴的右侧，即当
x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
x>-b时，y随x的增大而增大，简记左减
x>-时，y随x的增大而减小，简记左
2a
2a
右增；
增右减；
（4）抛物线有最低点，当x=-b时，y有最小
（4）抛物线有最高点，当x=-b时，y有最
2a
2a
4ac-b2
4ac-b2
值，y最小值=4a
大值，y最大值=4ac4-ab
2、二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）中，a、b、c的含义：
a表示开口方向：
a>0时，抛物线开口向上
a<0时，抛物线开口向下
b与对称轴有关：
对称轴为x=-
2a
c表示抛物线与y轴的交点坐标：
（0，c）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。
知识点五中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
y如图：
点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为（x1-x2）2+（y1-y2）2A
0
x
B
知识点五二次函数y=ax+bx+c图象的画法
➢五点绘图法：
利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a（x-h）2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
顶点、与y轴的交点（0，c）、以及（0，c）关于对称轴对称的点（2h，c）、与x轴的交点（x1，0），（x2，0）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
➢画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
☆、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）
A、a0，b0，c0B、a0，b0，c0
C、a0，b0，c0D、a0，b0，c0a
☆、函数y=ax2-a与y=a（a0）在同一坐标系中的图象可能是（）
x
特别记忆--同左上加异右下减（必须理解记忆）
说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右
2向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
3、直线斜率：
y-yb为直线在y轴上的截距4、直线方程：
k=tan=21
x2-x1
4、①两点
由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
y-y=kx+b=（tan）x+b=
y2-y1
x（x-x）
此公式有多种变形牢记
②点斜y-y1=kx（x-x1）
3斜截直线的斜截式方程，简称斜截式:
y＝kx＋b（k≠0）
4截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
x+y=1ab
牢记口诀---两点斜截距--两点点斜斜截截距
5、设两条直线分别为，l1：
y=k1x+b1l2：
y=k2x+b2若l1//l2，则有l1//l2k1=k2且b1b2。
若l⊥lkk=-1
6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b（即：
kx-y+b=0）的距离:
kx0-y0+bkx0-y0+b
k2+（-1）2k2+1
7、抛物线y=ax2+bx+c中，abc,的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x=-，故：
①b=0时，对
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